Целочисленная решетка - Integer lattice

В математике , то п - мерное число решетка (или кубическая решетка ), обозначается Z ^п , является решетка в евклидове пространства R ^п решетка которого точка п -наборы из целых чисел . Двумерная целочисленная решетка также называется квадратной решеткой или решетчатой ​​решеткой. Z ⁿ - это простейший пример решетки корней . Целочисленная решетка является нечетной унимодулярной решеткой .

Группа автоморфизмов

Группа автоморфизмов (или группа конгруэнций ) целочисленной решетки состоит из всех перестановок и изменений знака координат и имеет порядок 2 ⁿ n !. Как группа матриц он задается набором всех матриц перестановок со знаком размера n × n . Эта группа изоморфна полупрямому произведению

${\ displaystyle (\ mathbb {Z} _ {2}) ^ {n} \ rtimes S_ {n}}$

где симметрическая группа S _n действует на ( Z ₂ ) ⁿ перестановкой (это классический пример сплетения ).

Для квадратной решетки это группа квадрата или группа диэдра порядка 8; для трехмерной кубической решетки мы получаем группу куба или октаэдрическую группу порядка 48.

Диофантова геометрия

При изучении диофантовой геометрии квадратную решетку точек с целочисленными координатами часто называют диофантовой плоскостью . С математической точки зрения диофантова плоскость - это декартово произведение кольца всех целых чисел . Изучение диофантовых фигур фокусируется на выборе узлов на диофантовой плоскости так, чтобы все попарные расстояния были целыми. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {Z}}$

Грубая геометрия

В грубой геометрии целочисленная решетка грубо эквивалентна евклидову пространству .

Смотрите также

• Обычная сетка

Ссылки

• Olds, CD et al. (2000). Геометрия чисел . Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-643-3.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )