Постоянная Ландау – Рамануджана - Landau–Ramanujan constant

В математике и области теории чисел , то Ландау-Ramanujan константа является положительным числом б , что происходит в теореме , доказанной Эдмунда Ландау в 1908 году, заявив , что для большого , числа положительных чисел ниже , которые являются суммой два квадрата числа ведут себя асимптотически как${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ dfrac {bx} {\ sqrt {\ log (x)}}}.}$

Эта константа b была заново открыта в 1913 году Шринивасой Рамануджаном в первом письме, которое он написал Г.Х. Харди .

Суммы двух квадратов

По теореме о сумме двух квадратов числа, которые могут быть выражены как сумма двух квадратов целых чисел, - это те числа, для которых каждое простое число, конгруэнтное 3 по модулю 4, появляется с четным показателем в их простой факторизации . Например, 45 = 9 + 36 - это сумма двух квадратов; при разложении на простые множители 3 ²  × 5 простое число 3 появляется с четным показателем, а простое число 5 конгруэнтно 1 по модулю 4, поэтому его показатель может быть нечетным.

Теорема Ландау утверждает, что если количество натуральных чисел меньше, чем это, является суммой двух квадратов, то ${\ Displaystyle N (х)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ \ left ({\ dfrac {N (x)} {\ dfrac {x} {\ sqrt {\ log (x)}}}} \ right) = b \ приблизительно 0,764223653589220662990698731250092328116790541}$(последовательность A064533 в OEIS ),

где - постоянная Ландау – Рамануджана. ${\ displaystyle b}$

История

Эта константа была указана Ландау в приведенной выше предельной форме; Рамануджан вместо этого был аппроксимирован интегралом с той же константой пропорциональности и с медленно растущим членом ошибки. ${\ Displaystyle N (х)}$

использованная литература