Джон Р. Столлингс - John R. Stallings

Джон Р. Столлингс
Stallings.jpg
Фото Столлингса 2006 г.
Родившийся ( 1935-07-22 )22 июля 1935 г.
Моррилтон, Арканзас , США
Умер 24 ноября 2008 г. (2008-11-24)(73 года)
Беркли, Калифорния , США
Национальность Американец
Альма-матер Принстонский университет Арканзаса
Известен доказательство гипотезы Пуанкаре в размерностях больше шести ; Теорема Столлингса о концах групп ; Графы и автоматы сваливания
Награды Премия Фрэнка Нельсона Коула по алгебре (1971)
Научная карьера
Поля Математика
Учреждения Калифорнийский университет в Беркли
Докторант Ральф Фокс
Докторанты Марк Каллер
Стивен М. Герстен
Дж. Хьям Рубинштейн

Джон Роберт Столлингс-младший (22 июля 1935 - 24 ноября 2008) был математиком, известным своим плодотворным вкладом в геометрическую теорию групп и топологию 3-многообразий . Столлингс был почетным профессором кафедры математики Калифорнийского университета в Беркли, где он работал преподавателем с 1967 года. Он опубликовал более 50 статей, преимущественно в области геометрической теории групп и топологии 3-многообразий . Наиболее важные вклады Столлингса включают доказательство в статье 1960 года гипотезы Пуанкаре в размерностях больше шести и доказательство в статье 1971 года теоремы Столлингса о концах групп .

Биографические данные

Джон Столлингс родился 22 июля 1935 года в Моррилтоне, штат Арканзас .

Столлингс получил степень бакалавра наук. из Университета Арканзаса в 1956 году (где он был одним из первых двух выпускников университетской программы с отличием) и получил степень доктора философии. получил степень бакалавра математики в Принстонском университете в 1959 году под руководством Ральфа Фокса .

После получения докторской степени Столлингс занимал ряд постдокторских и преподавательских должностей, в том числе был постдокторантом NSF в Оксфордском университете, а также преподавал и занимал должность преподавателя в Принстоне. Столлингс поступил в Калифорнийский университет в Беркли в качестве преподавателя в 1967 году, где он оставался до выхода на пенсию в 1994 году. Даже после выхода на пенсию Столлингс продолжал руководить аспирантами Калифорнийского университета в Беркли до 2005 года. Столлингс был научным сотрудником Альфреда П. Слоана с 1962 по 1965 г. и научный сотрудник Института Миллера с 1972 по 1973 г. За свою карьеру у Столлингса было 22 докторанта, включая Марка Каллера , Стивена М. Герстена и Дж. Хайама Рубинштейна, а также 100 потомков докторантов. Он опубликовал более 50 работ, преимущественно в области геометрической теории групп и топологии трехмерных многообразий .

Столлингс выступил с приглашенной речью на Международном конгрессе математиков в Ницце в 1970 году и на лекции Джеймса К. Уиттемора в Йельском университете в 1969 году.

Столлингс получил премию Фрэнка Нельсона Коула по алгебре от Американского математического общества в 1970 году.

Конференция "Геометрические и топологические аспекты теории групп", состоявшаяся в Научно-исследовательском институте математических наук в Беркли в мае 2000 года, была посвящена 65-летию Столлингса. В 2002 году специальный выпуск журнала Geometriae Dedicata был посвящен Столлингсу по случаю его 65-летия. Столлинг умер от рака простаты 24 ноября 2008 года.

Математические вклады

Большинство математических работ Столлингса относятся к области геометрической теории групп и топологии малой размерности (особенно топологии 3-многообразий ), а также к взаимодействию между этими двумя областями.

Одним из первых значительных результатов Столлингса является его доказательство гипотезы Пуанкаре в измерениях больше шести в 1960 году . (Доказательство Столлингса было получено независимо от другого доказательства Стивена Смейла, который установил тот же результат в размерностях больше четырех, и вскоре после них ).

Используя методы "поглощения", аналогичные тем, которые использовались в его доказательстве гипотезы Пуанкаре для n > 6, Столлингс доказал, что обычное евклидово n -мерное пространство имеет единственную кусочно-линейную, а значит, и гладкую структуру, если n не равно 4. Это приобрело дополнительное значение, когда в результате работы Майкла Фридмана и Саймона Дональдсона в 1982 году было показано, что 4-пространство имеет экзотические гладкие структуры , на самом деле несчетное количество таких.

В статье 1963 года Столлингс построил пример конечно определенной группы с бесконечно порожденной 3-мерной целочисленной группой гомологий и, более того, не того типа , то есть не допускающей классифицирующего пространства с конечным 3-скелетом. Этот пример получил название группы Столлингса и является ключевым примером в изучении свойств гомологической конечности групп. Позже Роберт Биери показал, что группа Столлингса - это в точности ядро ​​гомоморфизма от прямого произведения трех копий свободной группы на аддитивную группу целых чисел, которая отправляет шесть элементов, получаемых из выбора свободных баз для трех копий группы. . Биери также показал, что группа Столлингса вписывается в последовательность примеров групп типа, но не типа . Группа Столлингса является ключевым объектом в версии дискретной теории Морса для кубических комплексов, разработанной Младеном Бествиной и Ноэлем Брэди, а также в исследовании подгрупп прямых произведений предельных групп .

Самая известная теорема Столлингса в теории групп - это алгебраическая характеристика групп с более чем одним концом (то есть с более чем одной «связной компонентой на бесконечности»), которая теперь известна как теорема Столлингса о концах групп . Столлингс доказал, что конечно порожденная группа G имеет более одного конца тогда и только тогда, когда эта группа допускает нетривиальное расщепление как объединенное свободное произведение или как расширение HNN над конечной группой (то есть в терминах теории Басса – Серра , если и только если группа допускает нетривиальное действие на дереве с конечными реберными стабилизаторами). Точнее, теорема утверждает , что конечно порожденная группа G имеет более чем один конец тогда и только тогда , когда либо G допускает расщепление в качестве объединенной свободного продукта , где группа С конечна и , или G допускает расщепление как расширение HNN где конечные подгруппы из H .

Столлингс доказал этот результат в серии работ, сначала посвященных случаю без кручения (т. Е. Группе без нетривиальных элементов конечного порядка ), а затем общему случаю. Теорема Столлинга дала положительное решение давней открытой проблемы о характеризации конечно порожденных групп когомологической размерности один как в точности свободных групп . Теорема Столлингса о концах групп считается одним из первых результатов в собственно геометрической теории групп, поскольку она связывает геометрическое свойство группы (имеющей более одного конца) с ее алгебраической структурой (допускающей расщепление над конечной подгруппой). Теорема Столлингса породила множество последующих альтернативных доказательств другими математиками (например), а также множество приложений (например). Теорема также мотивировала несколько обобщений и относительных версий результата Столлингса для других контекстов, таких как изучение понятия относительных концов группы по отношению к подгруппе, включая связь с кубическими комплексами CAT (0) . Подробный обзор, в котором обсуждаются, в частности, многочисленные приложения и обобщения теоремы Столлингса, дан в статье CTC Wall за 2003 год .

Другой влиятельной статьей Столлингса является его статья 1983 года «Топология конечных графов». Традиционно, алгебраическая структура подгрупп из свободных групп была изучена в комбинаторной теории групп с помощью комбинаторных методов, таких как метод перезаписи шрейерового и преобразования Нильсена . В статье Столлингса предложен топологический подход, основанный на методах теории покрывающих пространств, которые также используют простую теоретико-графовую основу. В статье было введено понятие того, что сейчас обычно называют графом подгрупп Столлингса для описания подгрупп свободных групп, а также введена техника сворачивания (используемая для аппроксимации и алгоритмического получения графов подгрупп) и понятие того, что теперь известно как Стойки складывающиеся . Большинство классических результатов о подгруппах свободных групп получили простые и понятные доказательства в этой постановке, и метод Столлингса стал стандартным инструментом в теории для изучения подгрупповой структуры свободных групп, включая как алгебраические, так и алгоритмические вопросы (см.). В частности, графы подгрупп Столлингса и свертки Столлингса использовались в качестве ключевых инструментов во многих попытках приблизиться к гипотезе Ханны Нойман .

Графы подгрупп Столлингса также можно рассматривать как конечные автоматы, и они также нашли применение в теории полугрупп и в информатике .

Метод сверток Столлингса был обобщен и применен к другим контекстам, в частности, в теории Басса – Серра для аппроксимации групповых действий на деревьях и изучения подгрупповой структуры фундаментальных групп графов групп . Первая статья в этом направлении была написана самим Столлингсом с несколькими последующими обобщениями методов сворачивания Столлингса в контексте теории Басса – Серра другими математиками.

В статье Столлингса 1991 г. «Неположительно искривленные треугольники групп» было введено и изучено понятие треугольника групп . Это понятие стало отправной точкой для теории комплексов групп (многомерный аналог теории Басса – Серра ), развитой Андре Хефлигером и другими. Работа Столлингса указала на важность наложения каких-то условий «неположительной кривизны» на комплексы групп для того, чтобы теория работала хорошо; такие ограничения не нужны в одномерном случае теории Басса – Серра.

Среди вкладов Столлингса в топологию 3-многообразий наиболее известна теорема Столлингса о расслоении . Теорема утверждает, что если M - компактное неприводимое трехмерное многообразие , фундаментальная группа которого содержит нормальную подгруппу , такое, что эта подгруппа конечно порождена и фактор-группа по этой подгруппе бесконечна циклическая , то M расслаивается над окружностью. Это важный структурный результат в теории многообразий Хакена , породивший множество альтернативных доказательств, обобщений и приложений (например), включая многомерный аналог.

Статья Столлингса 1965 года «Как не доказывать гипотезу Пуанкаре» дала теоретико-групповую переформулировку знаменитой гипотезы Пуанкаре . Газета началась с юмористического признания: «Я совершил грех, ложно доказав гипотезу Пуанкаре. Но это было в другой стране; к тому же до сих пор об этом никто не знал». Несмотря на свое ироничное название, статья Столлингса во многом повлияла на последующие исследования по изучению алгебраических аспектов гипотезы Пуанкаре (см., Например,).

Избранные работы

Заметки

Внешние ссылки