Изогеометрический анализ - Isogeometric analysis

Изогеометрический анализ - это вычислительный подход, который предлагает возможность интеграции анализа методом конечных элементов (FEA) в обычные инструменты проектирования САПР на основе NURBS . В настоящее время необходимо преобразовывать данные между пакетами CAD и FEA для анализа новых проектов во время разработки, что является сложной задачей, поскольку два вычислительных геометрических подхода различаются. Изогеометрический анализ использует сложную геометрию NURBS (основу большинства пакетов САПР) непосредственно в приложении FEA. Это позволяет разрабатывать, тестировать и настраивать модели за один раз, используя общий набор данных.

Пионерами этой техники являются Том Хьюз и его группа из Техасского университета в Остине . Эталонная бесплатная программная реализация некоторых методов изогеометрического анализа - это GeoPDE. Точно так же другие реализации можно найти в Интернете. Например, PetIGA - это открытая среда для высокопроизводительного изогеометрического анализа, в значительной степени основанная на PETSc . Кроме того, MIGFEM - это еще один код IGA, который реализован в Matlab и поддерживает разделение IGA обогащения Unity для 2D и 3D разрушения. Кроме того, G + Smo - это открытая библиотека C ++ для изогеометрического анализа. В частности, FEAP - это программа анализа методом конечных элементов, которая включает в себя библиотеку изогеометрического анализа FEAP IsoGeometric (версия FEAP84 и версия FEAP85). Отчет о разработках, приведших к IGA, был задокументирован в.

Преимущества IGA по отношению к FEA

Изогеометрический анализ имеет два основных преимущества по сравнению с методом конечных элементов:

• Ошибка геометрической аппроксимации отсутствует, так как область представлена ​​точно.
• Волновые проблемы распространения, возникающая, например , в сердечной электрофизиологии , акустике и эластодинамике , лучше описываются, благодаря уменьшению численной дисперсии и диссипации ошибок.

Сетки

В рамках IGA определены понятия как управляющей сетки, так и физической сетки.

Контрольная сетка состоит из так называемых контрольных точек и получается их кусочно- линейной интерполяцией . Контрольные точки также играют роль степеней свободы (DOF).

Физическая сетка лежит непосредственно на геометрии и состоит из участков и узловых участков. В зависимости от количества исправлений, которые используются в конкретной физической сетке, эффективно применяется подход с одним или несколькими фрагментами. Патч отображается из эталонного прямоугольника в двух измерениях и из эталонного кубоида в трех измерениях: его можно рассматривать как всю вычислительную область или меньшую ее часть. Каждый фрагмент можно разложить на участки узлов, которые представляют собой точки , линии и поверхности в 1D, 2D и 3D соответственно. Узлы вставляются внутрь узловых пролетов и определяют элементы. Базовые функции относятся к узлам со степенью полинома и кратности конкретного узла, а также между определенным узлом и следующим или предыдущим узлом. ${\ displaystyle C ^ {pm}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$

Узел вектор

Узловой вектор, обычно обозначаемый как , представляет собой набор нисходящих точек. это узел, это число функций, относится к порядку базисных функций. Узел делит пролет узла на элементы. Узловой вектор является однородным или неоднородным в зависимости от того, что его узлы, если не учитывать их множественность, равноудалены или нет. Если первый и последний узлы появляются несколько раз, вектор узла называется открытым. ${\ Displaystyle \ Xi = \ {\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, ..., \ xi _ {n + p + 1} \}}$${\ Displaystyle \ xi _ {я} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle i ^ {th}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p + 1}$

Базовые функции

После того, как определение вектора узла предоставлено, в этом контексте можно ввести несколько типов базисных функций, таких как B-сплайны , NURBS и T-сплайны .

B-шлицы

B-сплайны могут быть получены рекурсивно из кусочно-постоянной функции с помощью : ${\ displaystyle p = 0}$

${\ Displaystyle N_ {я, 0} (\ xi) = {\ mathcal {I}} _ {[\ xi _ {i}, \ xi _ {i + 1})} (s) \ quad 1 \ leq i \ leq n}$

Используя алгоритм Де Бура , можно генерировать B-сплайны произвольного порядка : ${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle N_ {i, p} (\ xi) = {\ frac {\ xi - \ xi _ {i}} {\ xi _ {i + p} - \ xi _ {i}}} N_ {i, p-1} (\ xi) + {\ frac {\ xi _ {i + p + 1} - \ xi} {\ xi _ {i + p + 1} - \ xi _ {i + 1}}} N_ {i + 1, p-1} (\ xi) \ quad 1 \ leq i \ leq n}$

справедливо как для равномерных, так и для неоднородных узловых векторов. Для предыдущей формулы работать должным образом, пусть разделение двух нулей быть равна нулю, т . ${\ displaystyle {\ dfrac {0} {0}}: = 0}$

Сгенерированные таким образом B-сплайны обладают как свойствами разбиения единицы, так и свойствами положительности, то есть:

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} N_ {я, p} (\ xi) = 1 \ quad \ forall \ xi}$

${\ Displaystyle N_ {я, p} (\ xi) \ geq 0 \ quad \ forall \ xi}$

Таким образом , чтобы рассчитать производные или порядка из В-сплайнов степени , другой рекурсивная формула может быть использована: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle i ^ {th}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {k}} {d ^ {k} \ xi}} N_ {i, p} (\ xi) = {\ frac {p!} {(pk)!}} \ sum _ {j = 0} ^ {k} \ alpha _ {k, j} N_ {i + j, pk} (\ xi)}$

куда:

${\ Displaystyle \ альфа _ {0,0} = 1}$

${\ displaystyle \ alpha _ {k, 0} = {\ frac {\ alpha _ {k-1,0}} {\ xi _ {i + p-k + 1} - \ xi _ {i}}}, }$

${\ displaystyle \ alpha _ {k, j} = {\ frac {\ alpha _ {k-1, j} - \ alpha _ {k-1, j-1}} {\ xi _ {я + p + j -k + 1} - \ xi _ {i + j}}} \ quad j = 1, ..., k-1,}$

${\ displaystyle \ alpha _ {k, k} = {\ frac {- \ alpha _ {k-1, j-1}} {\ xi _ {i + p + 1} - \ xi _ {i + k} }}.}$

всякий раз, когда знаменатель коэффициента равен нулю, весь коэффициент также должен быть равен нулю. ${\ displaystyle \ alpha _ {j, j}}$

B-сплайн-кривую можно записать следующим образом:

${\ displaystyle {\ textbf {C}} (\ xi) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} N_ {i, p} (\ xi) {\ textbf {B}} _ {i}}$

где - количество базисных функций , а - контрольная точка с размером пространства, в которое погружена кривая. ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle N_ {я, р}}$${\ displaystyle {\ textbf {B}} _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle i ^ {th}}$${\ displaystyle d}$

Расширение на двумерный случай может быть легко получено из кривых B-сплайнов. В частности, B-шлицевые поверхности представлены как:

${\ displaystyle {\ textbf {S}} (\ xi, \ eta) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {m} N_ {i, p} (\ xi) M_ {j, q} (\ eta) {\ textbf {B}} _ {i, j}}$

где и является числом базисных функций и определяются на два разных векторах узлов , , представляет теперь матрицу контрольных точек (также называемый контроль нетто). ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle N_ {я, р}}$${\ displaystyle M_ {j, q}}$${\ Displaystyle \ Xi = \ {\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, ..., \ xi _ {n + p + 1} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ {\ eta _ {1}, \ eta _ {2}, ..., \ eta _ {m + q + 1} \}}$${\ displaystyle {\ textbf {B}} _ {я, j}}$

Наконец, твердые тела B-сплайнов, которым требуются три набора базисных функций B-сплайнов и тензор контрольных точек, могут быть определены как:

${\ displaystyle {\ textbf {S}} (\ xi, \ eta, \ zeta) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ sum _ {k = 1} ^ {l} N_ {i, p} (\ xi) M_ {j, q} (\ eta) L_ {k, r} (\ zeta) {\ textbf {B}} _ {i, j, k}}$

NURBS

В IGA базисные функции также используются для разработки вычислительной области, а не только для представления численного решения. По этой причине они должны обладать всеми свойствами, позволяющими точно представлять геометрию. Например, B-шлицы из-за своей внутренней структуры не могут создавать правильные круглые формы. Чтобы обойти эту проблему, неоднородные рациональные B-сплайны, также известные как NURBS, вводятся следующим образом:

${\ displaystyle R_ {i} ^ {p} (s) = {\ frac {N_ {i, p} (s) \ omega _ {i}} {W (s)}}}$

где - одномерный B-сплайн, называется весовой функцией , и, наконец, - вес. ${\ Displaystyle N_ {я, р}}$${\ displaystyle W (s) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} N_ {i, p} (s) \ omega _ {i}}$${\ displaystyle \ omega _ {я}}$${\ displaystyle i ^ {th}}$

Следуя идее, развитой в подразделе о B-сплайнах, NURBS-кривые генерируются следующим образом:

${\ displaystyle {\ textbf {C}} (s) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} ^ {p} (s) {\ textbf {B}} _ {i}}$

с вектором контрольных точек. ${\ displaystyle {\ textbf {B}} _ {i}}$ ${\ displaystyle i ^ {th}}$

Расширение базисных функций NURBS на многообразия более высоких размерностей (например, 2 и 3) дается следующим образом:

${\ Displaystyle R_ {я, j} ^ {p, q} (s, t) = {\ frac {N_ {i, p} (s) M_ {j, q} (t) \ omega _ {i, j }} {\ sum _ {a = 1} ^ {n} \ sum _ {b = 1} ^ {m} N_ {a, p} (s) M_ {b, q} (t) \ omega _ {a , b}}}}$

${\ Displaystyle R_ {я, j, k} ^ {p, q, r} (s, t, w) = {\ frac {N_ {i, p} (s) M_ {j, q} (t) L_ {k, r} (w) \ omega _ {i, j, k}} {\ sum _ {a = 1} ^ {n} \ sum _ {b = 1} ^ {m} \ sum _ {c = 1} ^ {l} N_ {a, p} (s) M_ {b, q} (t) L_ {c, r} (w) \ omega _ {a, b, c}}}}$

hpk-доработки

В IGA есть три метода, которые позволяют расширить пространство базисных функций, не затрагивая геометрию и ее параметризацию.

Первый известен как вставка узла (или h-уточнение в структуре FEA), где получается из с добавлением большего количества узлов, что подразумевает приращение как количества базисных функций, так и контрольных точек. ${\ displaystyle {\ overline {\ Xi}} = \ {{\ overline {\ xi _ {1}}} = \ xi _ {1}, {\ overline {\ xi _ {2}}}, ... , {\ overline {\ xi _ {n + m + p + 1}}} = \ xi _ {n + p + 1} \}}$${\ Displaystyle \ Xi = \ {\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, ..., \ xi _ {n + p + 1} \}}$

Второй называется повышением степени (или p-уточнением в контексте FEA), который позволяет увеличить полиномиальный порядок базисных функций.

Наконец, третий метод, известный как k-уточнение (без аналога в FEA), основан на двух предыдущих методах, то есть объединяет повышение порядка с добавлением уникального узла . ${\ Displaystyle \ Xi}$

использованная литература

внешние ссылки

• GeoPDEs: бесплатный программный инструмент для изогеометрического анализа на основе Octave
• MIG (X) FEM: бесплатный код Matlab для IGA (FEM и расширенный FEM)
• PetIGA: платформа для высокопроизводительного изогеометрического анализа на основе PETSc
• G + Smo (модули Geometry plus Simulation): библиотека C ++ для изогеометрического анализа, разработанная в RICAM, Linz
• FEAP: программа общего назначения для анализа методом конечных элементов, разработанная в Калифорнийском университете в Беркли для исследовательских и образовательных целей.
• Bembel: библиотека изогеометрических граничных элементов с открытым исходным кодом для задач Лапласа, Гельмгольца и Максвелла, написанная на C ++.
• Т. Дж. Р. Хьюз, Дж. А. Коттрелл, Ю. Базилевс: «Изогеометрический анализ: САПР, конечные элементы, NURBS, точная геометрия и уточнение сетки», Компьютерные методы в прикладной механике и инженерии, Elsevier, 2005, 194 (39-41), стр 4135 -4195.