Метод конечных элементов - Finite element method

Визуализация того, как автомобиль деформируется при асимметричной аварии, с использованием анализа методом конечных элементов

Метод конечных элементов ( МКЭ ) - широко используемый метод численного решения дифференциальных уравнений, возникающих в инженерно- математическом моделировании . Типичные проблемные области, представляющие интерес, включают традиционные области структурного анализа , теплопередачи , потока жидкости , массопереноса и электромагнитного потенциала .

FEM - это общий численный метод решения уравнений в частных производных с двумя или тремя пространственными переменными (т. Е. Некоторых краевых задач ). Чтобы решить проблему, FEM подразделяет большую систему на более мелкие и простые части, которые называются конечными элементами . Это достигается определенной пространственной дискретизацией по пространственным измерениям, которая реализуется путем построения сетки объекта: числовой области для решения, имеющей конечное число точек. Постановка краевой задачи методом конечных элементов в конечном итоге приводит к системе алгебраических уравнений . Метод аппроксимирует неизвестную функцию по области. Простые уравнения, моделирующие эти конечные элементы, затем собираются в более крупную систему уравнений, которая моделирует всю проблему. Затем FEM приближает решение, минимизируя связанную функцию ошибок с помощью вариационного исчисления .

Изучение или анализ явления с помощью FEM часто называют анализом конечных элементов ( FEA ).

Базовые концепты

Пример 2D-сетки
Сетка МКЭ, созданная аналитиком перед поиском решения магнитной проблемы с помощью программного обеспечения МКЭ. Цвета указывают на то, что аналитик установил свойства материала для каждой зоны, в данном случае катушка проводящего провода оранжевого цвета; ферромагнитный компонент (возможно , железа ) в светло - голубой; и воздух серым. Хотя геометрия может показаться простой, было бы очень сложно рассчитать магнитное поле для этой установки без программного обеспечения FEM, используя только уравнения .
FEM_example_of_2D_solution
Решение задачи слева с помощью МКЭ, включающее магнитный экран цилиндрической формы . Ферромагнитная цилиндрическая часть защитная области внутри цилиндра путем подачи магнитного поля , созданное с помощью катушки (прямоугольной области справа). Цвет представляет амплитуду от плотности магнитного потока , как показано в масштабе легенде вставки, красный является высокой амплитудой. Область внутри цилиндра имеет низкую амплитуду (темно-синий, с широко разнесенными линиями магнитного потока), что говорит о том, что экран работает так, как он был разработан.

Разделение всего домена на более простые части имеет ряд преимуществ:

  • Точное отображение сложной геометрии
  • Включение разнородных свойств материала
  • Легкое представление общего решения
  • Захват локальных эффектов.

Типичная работа над методом включает:

  1. разделение области задачи на набор подобластей, каждая подобласть представлена ​​набором элементных уравнений исходной задачи
  2. систематическая рекомбинация всех наборов элементарных уравнений в глобальную систему уравнений для окончательного расчета.

Глобальная система уравнений имеет известные методы решения и может быть вычислена по начальным значениям исходной задачи, чтобы получить числовой ответ.

На первом шаге, описанном выше, элементные уравнения представляют собой простые уравнения, которые локально аппроксимируют исходные комплексные уравнения, подлежащие изучению, где исходные уравнения часто являются уравнениями в частных производных (УЧП). Чтобы объяснить приближение в этом процессе, метод конечных элементов обычно вводится как частный случай метода Галеркина . На математическом языке процесс состоит в построении интеграла от внутреннего произведения невязки и весовых функций и обнулении интеграла. Проще говоря, это процедура, которая сводит к минимуму ошибку аппроксимации путем подбора пробных функций в УЧП. Невязка - это ошибка, вызванная пробными функциями, а весовые функции - это полиномиальные аппроксимирующие функции, которые проецируют невязку. Процесс исключает все пространственные производные из PDE, таким образом аппроксимируя PDE локально с помощью

Эти наборы уравнений являются уравнениями элементов. Они линейны, если лежащие в основе PDE линейны, и наоборот. Наборы алгебраических уравнений, возникающие в стационарных задачах, решаются с использованием численных методов линейной алгебры , в то время как наборы обыкновенных дифференциальных уравнений , возникающие в нестационарных задачах, решаются путем численного интегрирования с использованием стандартных методов, таких как метод Эйлера или метод Рунге-Кутта .

На шаге (2) выше глобальная система уравнений генерируется из уравнений элементов посредством преобразования координат из локальных узлов подобластей в глобальные узлы домена. Это пространственное преобразование включает в себя соответствующие настройки ориентации, применяемые по отношению к опорной системе координат . Этот процесс часто выполняется программным обеспечением FEM с использованием координатных данных, генерируемых из подобластей.

FEM лучше всего понять из его практического применения, известного как анализ методом конечных элементов (FEA) . FEA, применяемый в инженерии, представляет собой вычислительный инструмент для выполнения инженерного анализа . Он включает использование методов создания сетки для разделения сложной проблемы на мелкие элементы, а также использование программного обеспечения, закодированного с помощью алгоритма FEM. При применении FEA, комплекс проблемы, как правило , физическая система с подстилающей физикой , такими как уравнение Эйлера-Бернулли пучка , в уравнении теплопроводности , или уравнения Навьего-Стокс , выраженных в любом PDE или интегральных уравнениях , в то время как разделить маленькие элементы сложные проблемы представляют собой разные области физической системы.

FEA - хороший выбор для анализа проблем в сложных областях (таких как автомобили и нефтепроводы), когда область изменяется (как во время твердотельной реакции с движущейся границей), когда желаемая точность изменяется по всей области или когда раствору не хватает гладкости. Моделирование методом FEA является ценным ресурсом, поскольку устраняет многочисленные экземпляры создания и тестирования твердых прототипов для различных ситуаций с высокой точностью. Например, при моделировании лобового столкновения можно повысить точность прогнозирования в «важных» областях, таких как передняя часть автомобиля, и уменьшить ее в его задней части (таким образом, снижая стоимость моделирования). Другой пример - это численное прогнозирование погоды , где более важно иметь точные прогнозы развития сильно нелинейных явлений (таких как тропические циклоны в атмосфере или водовороты в океане), а не относительно спокойных районов.

История

Хотя трудно назвать дату изобретения метода конечных элементов, этот метод возник из-за необходимости решать сложные задачи анализа упругости и конструкции в гражданской и авиационной технике . Его развитие восходит к работам А. Хренникова и Р. Куранта в начале 1940-х годов. Еще одним пионером был Иоаннис Аргирис . В СССР внедрение метода в практику обычно связывают с именем Леонарда Оганесяна . Он также был независимо повторно открыт в Китае Фэн Кангом в конце 1950-х - начале 1960-х годов на основе расчетов конструкций плотин, где он был назван методом конечных разностей, основанным на принципе вариации . Хотя подходы, используемые этими первопроходцами, различны, у них есть одна важная характеристика: сеточная дискретизация непрерывной области на набор дискретных подобластей, обычно называемых элементами.

Работа Hrennikoff в discretizes домен с помощью решетки аналогию, в то время как подход делит Куранта домен , указанный в конечных треугольных подобластей для решения второго порядка эллиптических уравнений с частными производными, которые возникают из задачи кручения в виде цилиндра . Вклад Куранта носил эволюционный характер, он опирался на большое количество более ранних результатов для PDE, разработанных Рэлеем , Ритцем и Галеркиным .

Метод конечных элементов получил свой настоящий импульс в 1960-х и 1970-х годах благодаря разработкам Дж. Х. Аргириса с коллегами из Штутгартского университета , Р. В. Клафа с коллегами из Калифорнийского университета в Беркли , О. К. Зенкевича с коллегами Эрнеста Хинтона , Брюса Айронса. и другие из Университета Суонси , Филиппа Дж. Чиарле из Парижского университета 6 и Ричарда Галлахера с коллегами из Корнельского университета . Дальнейший импульс в эти годы был придан доступным программам конечных элементов с открытым исходным кодом. НАСА спонсировало первоначальную версию NASTRAN , а Калифорнийский университет в Беркли сделал программу конечных элементов SAP IV широко доступной. В Норвегии классификационное общество судов Det Norske Veritas (ныне DNV GL ) разработало Sesam в 1969 году для использования в анализе судов. Строгая математическая основа метода конечных элементов была предоставлена ​​в 1973 году публикацией Strang and Fix . С тех пор этот метод был обобщен для численного моделирования физических систем в самых разных инженерных дисциплинах, например, в электромагнетизме , теплопередаче и гидродинамике .

Техническое обсуждение

Структура методов конечных элементов

Метод конечных элементов характеризуется вариационной формулировкой , стратегией дискретизации, одним или несколькими алгоритмами решения и процедурами последующей обработки.

Примерами вариационной постановки являются метод Галеркина , разрывный метод Галеркина, смешанные методы и т. Д.

Под стратегией дискретизации понимается четко определенный набор процедур, охватывающих (а) создание сеток из конечных элементов, (б) определение базовой функции на опорных элементах (также называемых функциями формы) и (в) отображение опорных элементов. элементы на элементы сетки. Примерами стратегий дискретизации являются h-версия, p-версия , hp-версия , x-FEM , изогеометрический анализ и т. Д. Каждая стратегия дискретизации имеет определенные преимущества и недостатки. Разумным критерием при выборе стратегии дискретизации является достижение почти оптимальной производительности для самого широкого набора математических моделей в конкретном классе моделей.

Различные алгоритмы численного решения можно разделить на две большие категории; прямые и итерационные решатели. Эти алгоритмы предназначены для использования разреженности матриц, которая зависит от выбора вариационной формулировки и стратегии дискретизации.

Процедуры постобработки предназначены для извлечения интересующих данных из решения методом конечных элементов. Чтобы соответствовать требованиям проверки решения, постпроцессоры должны обеспечивать апостериорную оценку ошибки с точки зрения представляющих интерес величин. Когда ошибки аппроксимации больше, чем считается приемлемым, дискретизация должна быть изменена либо автоматизированным адаптивным процессом, либо действиями аналитика. Есть несколько очень эффективных постпроцессоров, которые обеспечивают реализацию сверхсходимости .

Иллюстративные задачи P1 и P2

Мы продемонстрируем метод конечных элементов на двух примерах задач, из которых можно экстраполировать общий метод. Предполагается, что читатель знаком с исчислением и линейной алгеброй .

P1 - одномерная задача

где задана, - неизвестная функция от , - вторая производная от по .

P2 - двумерная задача ( задача Дирихле )

где - связная открытая область на плоскости с хорошей границей (например, гладкое многообразие или многоугольник ), а и обозначают вторые производные по и соответственно.

Проблема P1 может быть решена непосредственно путем вычисления первообразных . Однако этот метод решения краевой задачи (BVP) работает только тогда, когда существует одно пространственное измерение, и не распространяется на проблемы более высокой размерности или подобные проблемы . По этой причине мы разработаем метод конечных элементов для P1 и опишем его обобщение для P2.

Наше объяснение состоит из двух шагов, которые отражают два важных шага, которые необходимо предпринять для решения краевой задачи (BVP) с использованием FEM.

  • На первом этапе мы перефразируем исходный BVP в его слабой форме. Для этого шага обычно не требуется никаких вычислений. Преобразование выполняется вручную на бумаге.
  • Второй шаг - это дискретизация, когда слабая форма дискретизируется в конечномерном пространстве.

После этого второго шага у нас есть конкретные формулы для большой, но конечномерной линейной задачи, решение которой приближенно решает исходную BVP. Затем эта конечномерная задача реализуется на компьютере .

Слабая формулировка

Первый шаг - преобразовать P1 и P2 в их эквивалентные слабые составы .

Слабая форма P1

Если решает P1, то для любой гладкой функции , удовлетворяющей граничным условиям смещения, т. Е. При и , мы имеем

(1)

И наоборот, если with удовлетворяет (1) для каждой гладкой функции, то можно показать, что это решит P1. Доказательство проще для дважды непрерывно дифференцируемых ( теорема о среднем значении ), но также может быть доказано в распределительном смысле.

Мы определяем новый оператор или карту , используя интегрирование по частям в правой части (1):

(2)

где мы использовали предположение, что .

Слабая форма P2

Если мы проинтегрируем по частям, используя форму тождеств Грина , мы увидим, что если решает P2, то мы можем определить для любого следующим образом:

где обозначает градиент и обозначает скалярное произведение в двумерной плоскости. Еще раз может быть превращен во внутренний продукт на подходящем пространстве из когда-то дифференцируемых функций, которые равны нулю . Мы также предположили, что (см. Пространства Соболева ). Также можно показать существование и уникальность решения.

Схема доказательства существования и единственности решения.

Мы можем условно представить себе абсолютно непрерывные функции, которые находятся в и (см. Пространства Соболева ). Такие функции (слабо) один раз дифференцируемы, и оказывается, что симметричное билинейное отображение затем определяет скалярное произведение, которое превращается в гильбертово пространство (подробное доказательство нетривиально). С другой стороны, левая часть также является внутренним продуктом, на этот раз в пространстве Lp . Применение теоремы Рисса о представлении для гильбертовых пространств показывает, что существует единственное решение (2) и, следовательно, P1. Это решение является априори только членом , но, используя эллиптическую регулярность, будет гладким, если есть.

Дискретность

Функция с нулевыми значениями на концах (синий) и кусочно-линейной аппроксимацией (красный)

P1 и P2 готовы к дискретизации, что приводит к общей подзадаче (3). Основная идея - заменить бесконечномерную линейную задачу:

Найдите такое, что

с конечномерной версией:

(3) Найдите такое, что

где есть конечномерное подпространство в . Есть много возможных вариантов (одна из них приводит к спектральному методу ). Однако в качестве метода конечных элементов мы берем пространство кусочно-полиномиальных функций.

Для задачи P1

Берем интервал , выбираем значения с и определяем :

где мы определяем и . Обратите внимание, что функции в не дифференцируемы согласно элементарному определению исчисления. Действительно, если то производная , как правило , не определен в любом , . Однако производная существует при любом другом значении, и эту производную можно использовать для интегрирования по частям .

Кусочно-линейная функция в двух измерениях

Для задачи P2

Нам нужен набор функций . На рисунке справа мы проиллюстрировали триангуляцию 15-сторонней многоугольной области на плоскости (внизу) и кусочно-линейную функцию (вверху, по цвету) этого многоугольника, которая является линейной на каждом треугольнике триангуляции; пространство будет состоять из функций, линейных на каждом треугольнике выбранной триангуляции.

Можно надеяться, что по мере того, как нижележащая треугольная сетка становится все более тонкой, решение дискретной задачи (3) в некотором смысле сходится к решению исходной краевой задачи P2. Чтобы измерить эту мелкость сетки, триангуляция индексируется параметром с действительным знаком, который считается очень маленьким. Этот параметр будет связан с размером самого большого или среднего треугольника в триангуляции. При уточнении триангуляции пространство кусочно-линейных функций также должно измениться с . По этой причине часто вместо литературы читают . Поскольку мы не проводим такой анализ, мы не будем использовать эти обозначения.

Выбор основы

Интерполяция функции Бесселя.
Шестнадцать треугольных базисных функций, использованных для восстановления J0
16 масштабированных и сдвинутых треугольных базисных функций (цветов), используемых для восстановления функции Бесселя нулевого порядка J 0 (черный).
Суммирование базисных функций
Линейная комбинация базисных функций (желтый) воспроизводит J 0 (черный) с любой желаемой точностью.

Для завершения дискретизации, мы должны выбрать базис из . В одномерном случае для каждой контрольной точки выберем кусочно-линейную функцию, в которой значение равно at и равно нулю в каждой , т. Е.

для ; эта основа - сдвинутая и масштабируемая функция палатки . Для двумерного случая мы снова выбираем одну базисную функцию на вершину триангуляции плоской области . Функция является единственной функцией , значение которого на и ноль при каждом .

В зависимости от автора слово «элемент» в «методе конечных элементов» относится либо к треугольникам в области, либо к кусочно-линейной базисной функции, либо к обоим. Так, например, автор, интересующийся изогнутыми доменами, может заменить треугольники изогнутыми примитивами и таким образом описать элементы как криволинейные. С другой стороны, некоторые авторы заменяют «кусочно линейный» на «кусочно-квадратичный» или даже «кусочно-полиномиальный». Тогда автор мог бы сказать «элемент более высокого порядка» вместо «многочлен более высокой степени». Метод конечных элементов не ограничивается треугольниками (или тетраэдрами в трехмерном пространстве, или симплексами более высокого порядка в многомерных пространствах), но может быть определен в четырехугольных подобластях (шестигранники, призмы или пирамиды в трехмерном пространстве и т. Д.) . Формы более высокого порядка (криволинейные элементы) могут быть определены с помощью полиномиальных и даже неполиномиальных форм (например, эллипса или круга).

Примерами методов, использующих кусочно-полиномиальные базисные функции более высокой степени, являются hp-FEM и спектральный FEM .

Более продвинутые реализации (адаптивные методы конечных элементов) используют метод оценки качества результатов (на основе теории оценки ошибок) и модифицируют сетку во время решения с целью достижения приближенного решения в некоторых пределах от точного решения задачи континуума. . Адаптивная сетка может использовать различные методы, наиболее популярными из которых являются:

  • движущиеся узлы (r-адаптивность)
  • уточняющие (и необработанные) элементы (h-адаптивность)
  • изменение порядка базовых функций (p-адаптивность)
  • комбинации вышеперечисленного ( hp-адаптивность ).

Малая опора основания

Решение двумерной задачи в круге с центром в начале координат и радиусом 1 с нулевыми граничными условиями. (а) Триангуляция.
(б) Разреженная матрица L дискретизированной линейной системы
(c) Вычисленное решение,

Основное преимущество такого выбора основы состоит в том, что внутренние продукты

а также

будет нулем почти для всех . (Матрица , содержащая в месте известна как Определитель Грама .) В одномерном случае, то поддержка из интервала . Следовательно, подынтегральные выражения от и всегда тождественно равны нулю .

Аналогично, в плоском случае, если и не имеют общего ребра триангуляции, то интегралы

а также

оба равны нулю.

Матричная форма задачи

Если написать и тогда задача (3), взяв за , примет вид

для (4)

Если мы обозначим через и векторы-столбцы и , и если мы положим

а также

- матрицы, элементы которых

а также

тогда мы можем перефразировать (4) как

(5)

Не надо предполагать . Для общей функции задача (3) с for фактически становится проще, поскольку матрица не используется,

, (6)

где и для .

Как мы обсуждали ранее, большинство записей и равны нулю, потому что базовые функции имеют небольшую поддержку. Итак, теперь нам нужно решить линейную систему в неизвестном, где большинство элементов матрицы , которые нам нужно инвертировать, равны нулю.

Такие матрицы известны как разреженные матрицы , и существуют эффективные решатели таких проблем (гораздо более эффективные, чем фактическое обращение матрицы). Кроме того, они симметричны и положительно определены, поэтому предпочтение отдается такому методу, как метод сопряженных градиентов . Для задач, которые не являются слишком большими, разреженные LU-разложения и разложения Холецкого по- прежнему хорошо работают. Например, оператор обратной косой черты в MATLAB (который использует разреженный LU, разреженный метод Холецкого и другие методы факторизации) может быть достаточным для сеток с сотней тысяч вершин.

Матрица обычно называется матрицей жесткости , а матрица - матрицей масс .

Общий вид метода конечных элементов

В целом метод конечных элементов характеризуется следующим процессом.

  • Выбирают сетку для . В предыдущем рассмотрении сетка состояла из треугольников, но также можно использовать квадраты или криволинейные многоугольники.
  • Затем выбираются базисные функции. В нашем обсуждении мы использовали кусочно-линейные базисные функции, но также часто используются кусочно-полиномиальные базисные функции.

Отдельное внимание уделяется гладкости базисных функций. Для эллиптических краевых задач второго порядка достаточно кусочно-полиномиальной базисной функции, которая является просто непрерывной (т. Е. Производные разрывны). Для уравнений в частных производных более высокого порядка необходимо использовать более гладкие базисные функции. Например, для задачи четвертого порядка, такой как , можно использовать кусочно-квадратичные базисные функции, которые есть .

Еще одно соображение - это связь конечномерного пространства с его бесконечномерным аналогом в приведенных выше примерах . Соответствующий метод конечных элементов является тот , в котором пространство является подпространством элемента пространства для непрерывной задачи. Пример выше является таким методом. Если это условие не выполняется, мы получаем метод несоответствующих элементов , примером которого является пространство кусочно-линейных функций над сеткой, непрерывных в каждой средней точке ребра. Поскольку эти функции, вообще говоря, разрывны по краям, это конечномерное пространство не является подпространством оригинала .

Как правило, у каждого есть алгоритм для взятия заданной сетки и ее разделения. Если основным методом повышения точности является разделение сетки, используется h -метод ( h обычно является диаметром самого большого элемента в сетке). Таким образом, если кто-то показывает, что ошибка с сеткой ограничена выше by , для некоторых и , то есть метод порядка p . При определенных предположениях (например, если область является выпуклой), метод кусочного полинома порядка будет иметь ошибку порядка .

Если вместо уменьшения h увеличить степень полиномов, используемых в базисной функции, получится p -метод. Если объединить эти два типа уточнения, получится hp- метод ( hp-FEM ). В hp-FEM степени полинома могут варьироваться от элемента к элементу. Методы высокого порядка с большим однородным p называются спектральными методами конечных элементов ( SFEM ). Их не следует путать со спектральными методами .

Для векторных уравнений в частных производных базисные функции могут принимать значения в .

Различные типы методов конечных элементов

AEM

Метод прикладных элементов или AEM сочетает в себе функции как FEM, так и метода дискретных элементов , или (DEM).

A-FEM

Метод расширенных конечных элементов представлен Янгом и Луи, целью которых было моделирование слабых и сильных разрывов без необходимости дополнительных степеней свободы, как указано в PuM.

Обобщенный метод конечных элементов

Обобщенный метод конечных элементов (GFEM) использует локальные пространства, состоящие из функций, не обязательно полиномов, которые отражают доступную информацию о неизвестном решении и, таким образом, обеспечивают хорошее локальное приближение. Затем разделение единицы используется, чтобы «связать» эти пространства вместе, чтобы сформировать аппроксимирующее подпространство. Эффективность GFEM была показана при применении к задачам с областями со сложными границами, задачам с микромасштабами и задачам с пограничными слоями.

Смешанный метод конечных элементов

Смешанный метод конечных элементов - это тип метода конечных элементов, в котором дополнительные независимые переменные вводятся как узловые переменные во время дискретизации задачи уравнения в частных производных.

Переменная - полиномиальная

В HP-FEM комбинаты адаптивно, элементы с переменным размером ч и полиномиальной степени р для того , чтобы достичь исключительно быстро, экспоненциальные скорости сходимости.

HPK-FEM

В HpK Точна-FEM комбинатах адаптивно, элементы с переменным размером ч , полиномиальной степенью локальных аппроксимаций р и глобальной дифференцируемостью локальных приближений (к-1) для достижения наилучших скорости сходимости.

XFEM

Расширенный метод конечных элементов (XFEM) является численным методом на основе обобщенного метода конечных элементов (GFEM) и разбиения метода единицы (PUM). Он расширяет классический метод конечных элементов, обогащая пространство решений для решений дифференциальных уравнений с разрывными функциями. Расширенные методы конечных элементов обогащают пространство аппроксимации, так что оно может естественным образом воспроизводить сложные особенности, связанные с интересующей проблемой: разрыв, сингулярность, пограничный слой и т.д. пространство аппроксимации может значительно улучшить скорость сходимости и точность. Более того, обработка проблем с неоднородностями с помощью XFEM устраняет необходимость в сетке и повторной сетке поверхностей неоднородностей, тем самым снижая вычислительные затраты и ошибки проекции, связанные с традиционными методами конечных элементов, за счет ограничения несплошностей краями сетки.

Несколько исследовательских кодов реализуют эту технику в той или иной степени: 1. GetFEM ++ 2. xfem ++ 3. openxfem ++.

XFEM также был реализован в таких кодах, как Altair Radios, ASTER, Morfeo и Abaqus. Он все чаще внедряется в другое коммерческое программное обеспечение для конечных элементов с несколькими доступными плагинами и фактическими реализациями ядра (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE и т. Д.).

Метод масштабированных граничных конечных элементов (SBFEM)

Введение метода масштабированных граничных конечных элементов (SBFEM) было предложено Сонг и Вольфом (1997). SBFEM стал одним из самых прибыльных достижений в области численного анализа проблем механики разрушения. Это полуаналитический метод без фундаментальных решений, который сочетает в себе преимущества формулировок и процедур конечных элементов, а также дискретизации граничных элементов. Однако, в отличие от метода граничных элементов, не требуется фундаментального дифференциального решения.

S-FEM

S-FEM, сглаженные методы конечных элементов, представляют собой особый класс алгоритмов численного моделирования для моделирования физических явлений. Он был разработан путем объединения бессеточных методов с методом конечных элементов.

Метод спектральных элементов

Методы спектральных элементов сочетают геометрическую гибкость конечных элементов и высокую точность спектральных методов. Спектральные методы - это приближенное решение уравнений в частных слабых формах, которые основаны на лагранжевых интерполянтах высокого порядка и используются только с определенными квадратурными правилами.

Meshfree методы

Разрывные методы Галеркина

Анализ предела конечных элементов

Метод растянутой сетки

Итерация Лубиньяка

Итерация Лубиньяка - это итерационный метод в методах конечных элементов.

Метод конечных элементов пластичности кристаллов (CPFEM)

Метод конечных элементов пластичности кристаллов (CPFEM) - это усовершенствованный численный инструмент, разработанный Францем Ротерсом. Металлы можно рассматривать как агрегаты кристаллов, и они проявляют анизотропию при деформации, например, аномальном напряжении и локализации деформации. CPFEM, основанный на скольжении (скорости деформации сдвига), может вычислять дислокацию, ориентацию кристаллов и другую информацию о текстуре для учета анизотропии кристаллов во время процедуры. Теперь он применяется для численного исследования деформации материалов, шероховатости поверхности, изломов и т. Д.

Метод виртуального элемента (VEM)

Метод виртуальных элементов (VEM), представленный Бейран да Вейга и др. (2013) как расширение миметических методов конечных разностей (MFD), является обобщением стандартного метода конечных элементов для произвольной геометрии элементов. Это позволяет допускать общие многоугольники (или многогранники в 3D), которые имеют очень неправильную и невыпуклую форму. Название виртуальный происходит от того факта, что знание локальной основы функции формы не требуется и фактически никогда не вычисляется явно.

Связь с методом градиентной дискретизации

Некоторые типы методов конечных элементов (согласующиеся, несоответствующие, смешанные методы конечных элементов) являются частными случаями метода градиентной дискретизации (GDM). Следовательно, свойства сходимости GDM, которые установлены для ряда задач (линейные и нелинейные эллиптические задачи, линейные, нелинейные и вырожденные параболические задачи), также сохраняются для этих конкретных методов конечных элементов.

Сравнение с методом конечных разностей

Метод конечных разностей (FDM) - это альтернативный способ аппроксимации решений уравнений в частных производных. Различия между FEM и FDM:

  • Наиболее привлекательной особенностью МКЭ является его способность относительно легко обрабатывать сложные геометрические формы (и границы). В то время как FDM в своей основной форме ограничивается обработкой прямоугольных форм и их простых изменений, обработка геометрии в FEM теоретически проста.
  • FDM обычно не используется для нестандартных геометрических форм САПР, а чаще используется для прямоугольных или блочных моделей.
  • Самая привлекательная особенность конечных разностей заключается в том, что их очень легко реализовать.
  • Есть несколько способов рассматривать FDM как частный случай подхода FEM. Например, FEM первого порядка идентичен FDM для уравнения Пуассона , если задача дискретизирована с помощью регулярной прямоугольной сетки, в которой каждый прямоугольник разделен на два треугольника.
  • Есть причины считать математическую основу аппроксимации методом конечных элементов более надежной, например, потому что качество аппроксимации между точками сетки в FDM оставляет желать лучшего.
  • Качество приближения FEM часто выше, чем в соответствующем подходе FDM, но это чрезвычайно проблемно, и можно привести несколько примеров обратного.

Как правило, FEM - это метод выбора во всех типах анализа в механике конструкций (т.е. решение для деформации и напряжений в твердых телах или динамики конструкций), в то время как вычислительная гидродинамика (CFD), как правило, использует FDM или другие методы, такие как метод конечных объемов ( FVM). Задачи CFD обычно требуют дискретизации задачи на большое количество ячеек / точек сетки (миллионы и более), поэтому стоимость решения способствует более простой аппроксимации более низкого порядка в каждой ячейке. Это особенно верно для проблем с «внешним потоком», таких как воздушный поток вокруг автомобиля или самолета или моделирование погоды.

заявка

Трехмерная модель переноса загрязняющих веществ - поле концентрации на уровне земли
Трехмерная модель переноса загрязняющих веществ - поле концентрации на перпендикулярной поверхности

Различные специализации в рамках дисциплины машиностроения (например, авиационная, биомеханическая и автомобильная промышленность) обычно используют интегрированные FEM при проектировании и разработке своих продуктов. Несколько современных пакетов FEM включают специальные компоненты, такие как тепловые, электромагнитные, жидкостные и структурные рабочие среды. В структурном моделировании FEM очень помогает в визуализации жесткости и прочности, а также в минимизации веса, материалов и затрат.

FEM позволяет детально визуализировать изгиб или скручивание конструкций, а также показывает распределение напряжений и смещений. Программное обеспечение FEM предоставляет широкий спектр возможностей моделирования для управления сложностью моделирования и анализа системы. Точно так же можно одновременно управлять желаемым уровнем требуемой точности и соответствующими требованиями к вычислительному времени для решения большинства инженерных приложений. FEM позволяет конструировать, дорабатывать и оптимизировать целые конструкции до того, как она будет изготовлена. Сетка является неотъемлемой частью модели, и для получения наилучших результатов за ней необходимо тщательно контролировать. Как правило, чем больше количество элементов в сетке, тем точнее решение дискретизированной задачи. Однако существует значение, при котором результаты сходятся, и дальнейшее уточнение сетки не увеличивает точность.

Конечно-элементная модель коленного сустава человека.

Этот мощный инструмент проектирования значительно улучшил как стандарты инженерного проектирования, так и методологию процесса проектирования во многих промышленных приложениях. Внедрение FEM значительно сократило время, необходимое для вывода продуктов от концепции до производственной линии. Тестирование и разработка были ускорены в первую очередь за счет улучшенных первоначальных прототипов с использованием МКЭ. Таким образом, преимущества FEM включают в себя повышенную точность, улучшенный дизайн и лучшее понимание критических параметров конструкции, виртуальное прототипирование, меньшее количество прототипов оборудования, более быстрый и менее затратный цикл проектирования, повышенную производительность и увеличенную прибыль.

В 1990-х годах FEA было предложено использовать в стохастическом моделировании для численного решения вероятностных моделей, а затем и для оценки надежности.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение