Однородное распределение - Homogeneous distribution

В математике , А однородное распределение является распределение S на евклидовом пространстве R ^п или R ^п \ {0 } , что является однородным в том смысле , что, грубо говоря,

${\ Displaystyle S (tx) = t ^ {m} S (x) \,}$

для всех t > 0.

Точнее, пусть - оператор скалярного деления на R ⁿ . Распределение S на R ⁿ или R ⁿ \ {0 } однородно степени m при условии, что ${\ displaystyle \ mu _ {t}: x \ mapsto x / t}$

${\ Displaystyle S [t ^ {- n} \ varphi \ circ \ mu _ {t}] = t ^ {m} S [\ varphi]}$

для всех положительных вещественных t и всех тестовых функций φ. Дополнительный множитель t ^{- n} необходим для воспроизведения обычного понятия однородности для локально интегрируемых функций и возникает из якобиевой замены переменных . Число m может быть действительным или комплексным.

Расширение данного однородного распределения с R ⁿ \ {0} до распределения на R ⁿ может оказаться нетривиальной задачей , хотя это необходимо для того , чтобы привести в действие многие методы анализа Фурье , в частности преобразование Фурье. нести. Однако такое расширение существует в большинстве случаев, хотя оно может не быть уникальным.

Свойства

Если S является однородным распределением на R ^п \ {0} степени а, то слабая первая частная производная от S

${\ displaystyle {\ frac {\ partial S} {\ partial x_ {i}}}}$

имеет степень α − 1. Кроме того, верна версия теоремы Эйлера об однородных функциях : распределение S однородно степени α тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} {\ frac {\ partial S} {\ partial x_ {i}}} = \ alpha S.}$

Одно измерение

Возможна полная классификация однородных распределений в одном измерении. Однородные распределения на R \ {0 } задаются различными степенными функциями . Помимо степенных функций, однородные распределения на R включают дельта-функцию Дирака и ее производные.

Дельта-функция Дирака однородна степени −1. Интуитивно

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} \ delta (tx) \ varphi (x) \, dx = \ int _ {\ mathbb {R}} \ delta (y) \ varphi (y / t) \ , {\ frac {dy} {t}} = t ^ {- 1} \ varphi (0)}$

путем замены переменных y = tx в «интеграле». Более того, k- я слабая производная дельта-функции δ ^{( k )} однородна степени - k −1. Все эти распределения имеют поддержку, состоящую только из источника: при локализации в R \ {0 } все эти распределения тождественно равны нулю.

Икс^α
₊

В одном измерении функция

${\ displaystyle x _ {+} ^ {\ alpha} = {\ begin {cases} x ^ {\ alpha} & {\ text {if}} x> 0 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {case }}}$

локально интегрируем на R \ {0 } и тем самым определяет распределение. Распределение однородно степени α. Аналогично и являются однородными распределениями степени α. ${\ Displaystyle х _ {-} ^ {\ альфа} = (- х) _ {+} ^ {\ альфа}}$${\ Displaystyle | х | ^ {\ альфа} = х _ {+} ^ {\ альфа} + х _ {-} ^ {\ альфа}}$

Однако каждое из этих распределений интегрируемо только локально на всем R, если Re (α)> −1. Но хотя функция, наивно определенная приведенной выше формулой, не может быть локально интегрируемой при Re α ≤ −1, отображение ${\ displaystyle x _ {+} ^ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle \ альфа \ mapsto х _ {+} ^ {\ альфа}}$

является голоморфной функцией из правой полуплоскости в топологическое векторное пространство умеренных распределений. Это допускает единственное мероморфное расширение с простыми полюсами на каждом отрицательное целое число α = -1, -2, ... . Результирующее расширение однородно степени α при условии, что α не является целым отрицательным числом, поскольку, с одной стороны, соотношение

${\ Displaystyle x _ {+} ^ {\ alpha} [\ varphi \ circ \ mu _ {t}] = t ^ {\ alpha +1} x _ {+} ^ {\ alpha} [\ varphi]}$

выполняется и голоморфно в α> 0. С другой стороны, обе стороны мероморфно продолжаются в α и, таким образом, остаются равными во всей области определения.

Во всей области определения x^α
₊ также удовлетворяет следующим свойствам:

• ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x _ {+} ^ {\ alpha} = \ alpha x _ {+} ^ {\ alpha -1}}$
• ${\ Displaystyle хх _ {+} ^ {\ альфа} = х _ {+} ^ {\ альфа +1}}$

Прочие расширения

Есть несколько различных способов расширить определение степенных функций до однородных распределений на R при отрицательных целых числах.

χ^α
₊

Полюса в x^α
₊при отрицательных целых числах можно удалить перенормировкой. Ставить

${\ displaystyle \ chi _ {+} ^ {\ alpha} = {\ frac {x _ {+} ^ {\ alpha}} {\ Gamma (1+ \ alpha)}}.}.$

Это целая функция от α. При отрицательных целых числах

${\ displaystyle \ chi _ {+} ^ {- k} = \ delta ^ {(k-1)}.}$

Распределения обладают свойствами ${\ Displaystyle \ чи _ {+} ^ {а}}$

• ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ chi _ {+} ^ {\ alpha} = \ chi _ {+} ^ {\ alpha -1}}$
• ${\ displaystyle x \ chi _ {+} ^ {\ alpha} = \ alpha \ chi _ {+} ^ {\ alpha +1}.}$

${\ displaystyle {\ underline {x}} ^ {k}}$

Второй подход - определить распределение для k = 1, 2, ...,${\ displaystyle {\ underline {x}} ^ {- k}}$

${\ displaystyle {\ underline {x}} ^ {- k} = {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {(k-1)!}} {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} \ log | x |.}$

Они явно сохраняют исходные свойства степенных функций:

• ${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} {\ underline {x}} ^ {- k} = - k {\ underline {x}} ^ {- k-1}}$
• ${\ displaystyle x {\ underline {x}} ^ {- k} = {\ underline {x}} ^ {- k + 1}, \ quad {\ text {if}} k> 1.}$

Эти распределения также характеризуются своим действием на тестовые функции.

${\ displaystyle {\ underline {x}} ^ {- k} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ phi (x) - \ sum _ {j = 0} ^ {k -1} x ^ {j} \ phi ^ {(j)} (0) / j!} {X ^ {k}}} \, dx,}$

и таким образом обобщить распределение главного значения Коши для 1 / x, которое возникает в преобразовании Гильберта .

( x ± i0) ^α

Другое однородное распределение задается пределом распределения

${\ displaystyle (x + i0) ^ {\ alpha} = \ lim _ {\ epsilon \ downarrow 0} (x + i \ epsilon) ^ {\ alpha}.}$

То есть действуя на тестовые функции

${\ displaystyle (x + i0) ^ {\ alpha} [\ varphi] = \ lim _ {\ epsilon \ downarrow 0} \ int _ {\ mathbb {R}} (x + i \ epsilon) ^ {\ alpha} \ varphi (x) \, dx.}$

Ветвь логарифма выбирается однозначной в верхней полуплоскости и согласованной с натуральным логарифмом вдоль положительной вещественной оси. Как предел целых функций, ( x + i0) ^α [φ] является целой функцией от α. По аналогии,

${\ displaystyle (x-i0) ^ {\ alpha} = \ lim _ {\ epsilon \ downarrow 0} (xi \ epsilon) ^ {\ alpha}}$

также является корректным распределением для всех α

Когда Re α> 0,

${\ displaystyle (x \ pm i0) ^ {\ alpha} = x _ {+} ^ {\ alpha} + e ^ {\ pm i \ pi \ alpha} x _ {-} ^ {\ alpha},}$

которое затем выполняется аналитическим продолжением, когда α не является отрицательным целым числом. Благодаря постоянству функциональных отношений,

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (x \ pm i0) ^ {\ alpha} = \ alpha (x \ pm i0) ^ {\ alpha -1}.}$

При отрицательных целых числах выполняется тождество (на уровне распределений на R \ {0})

${\ displaystyle (x \ pm i0) ^ {- k} = x _ {+} ^ {- k} + (- 1) ^ {k} x _ {-} ^ {- k} \ pm \ pi i (-1 ) ^ {k} {\ frac {\ delta ^ {(k-1)}} {(k-1)!}},}$

и особенности отмены дать хорошо определенное распределение на R . Среднее значение двух распределений соответствует : ${\ displaystyle {\ underline {x}} ^ {- k}}$

${\ displaystyle {\ frac {(x + i0) ^ {- k} + (x-i0) ^ {- k}} {2}} = {\ underline {x}} ^ {- k}.}$

Разница между двумя распределениями кратна дельта-функции:

${\ Displaystyle (x + i0) ^ {- k} - (x-i0) ^ {- k} = 2 \ pi i (-1) ^ {k} {\ frac {\ delta ^ {(k-1) }} {(k-1)!}},}$

которое известно как отношение скачка Племеля .

Классификация

Справедлива следующая классификационная теорема ( Гельфанд и Шилов, 1966 , § 3.11). Пусть S - однородное распределение степени α на R \ {0 }. Тогда для некоторых констант a , b . Любое распределение S на R, однородное степени α ≠ −1, −2, ..., также имеет такой вид. В результате, каждое однородное распределение степени & alpha ; ≠ -1, -2, ... на R \ {0 } продолжается до R . ${\ displaystyle S = ax _ {+} ^ {\ alpha} + bx _ {-} ^ {\ alpha}}$

Наконец, все однородные распределения степени - k , отрицательного целого числа, на R имеют вид:

${\ displaystyle a {\ underline {x}} ^ {- k} + b \ delta ^ {(k-1)}.}$

Высшие измерения

Однородные распределения в евклидовом пространстве R ⁿ \ {0 } с удаленным началом координат всегда имеют вид

${\ Displaystyle S (х) = е (х / | х |) | х | ^ {\ лямбда} \,}$

( 1 )

где ƒ - распределение на единичной сфере S ^{n −1} . Число λ, которое представляет собой степень однородного распределения S , может быть действительным или комплексным.

Любое однородное распределение вида ( 1 ) на R ⁿ \ {0 } однозначно продолжается до однородного распределения на R ⁿ при условии Re λ> - n . На самом деле, аналитическое продолжение рассуждение , аналогичное одномерный случай распространяется это для всех Х ≠ - п - п -1, ... .

Ссылки

• Гельфанд И.М.; Шилов Г.Е. (1966), Обобщенные функции , 1 , Academic Press..
• Хёрмандер, Л. (1976), Линейные дифференциальные операторы с частными производными, том 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6.
• Тейлор, Майкл (1996), Уравнения в частных производных, т. 1 , Springer-Verlag.