Ряд Гильберта – Пуанкаре - Hilbert–Poincaré series

В математике , и в частности в области алгебры , ряд Гильберта – Пуанкаре (также известный под названием рядов Гильберта ), названный в честь Давида Гильберта и Анри Пуанкаре , является адаптацией понятия размерности к контексту градуированных алгебраических структур. (где размер всей конструкции часто бесконечен). Это формальный степенной ряд от одного неопределенного, скажем , где коэффициент дает размерность (или ранг) подструктуры элементов, однородных по степени . Он тесно связан с многочленом Гильберта в тех случаях, когда последний существует; однако ряд Гильберта – Пуанкаре описывает ранг в каждой степени, в то время как полином Гильберта описывает его только во всех, кроме конечного числа степеней, и поэтому предоставляет меньше информации. В частности, ряд Гильберта – Пуанкаре не может быть выведен из полинома Гильберта, даже если последний существует. В хороших случаях ряд Гильберта – Пуанкаре может быть выражен как рациональная функция своего аргумента . ${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle т ^ {п}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle t}$

Определение

Пусть K - поле и пусть - - градуированное векторное пространство над K , где каждое подпространство векторов степени i конечномерно. Тогда ряд Гильберта – Пуанкаре группы V является формальным степенным рядом${\ Displaystyle V = \ textstyle \ bigoplus _ {я \ in \ mathbb {N}} V_ {я}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle V_ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} \ dim _ {K} (V_ {i}) t ^ {i}.}$

Аналогичное определение может быть дано для -градуированной R - модуль над любым коммутативным кольцом R , в которой каждый подмодуль элементов однородных фиксированной степени п является свободным конечного ранга; достаточно заменить размерность рангом. Часто градуированное векторное пространство или модуль, в котором рассматривается ряд Гильберта – Пуанкаре, имеет дополнительную структуру, например структуру кольца, но ряд Гильберта – Пуанкаре не зависит от мультипликативной или другой структуры. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Пример: поскольку существуют одночлены степени k от переменных (скажем, по индукции), можно вывести, что сумма ряда Гильберта – Пуанкаре является рациональной функцией . ${\ Displaystyle {\ binom {п + к} {п}}}$${\ Displaystyle X_ {0}, \ точки, X_ {n}}$${\ Displaystyle К [X_ {0}, \ точки, X_ {n}]}$ ${\ Displaystyle 1 / (1-т) ^ {п + 1}}$

Теорема Гильберта – Серра

Пусть М являются конечно порожденным градуированным модулем над с артиновым кольцом (например, поле) A . Тогда ряд Пуанкаре матрицы M является многочленом с целыми коэффициентами, деленными на . Стандартное доказательство сегодня - индукция по n . Первоначальное доказательство Гильберта сделало использование теоремы сизигий Гильберта (а проективное разрешение на М ), что дает более гомологическую информацию. ${\ displaystyle A [x_ {1}, \ dots, x_ {n}], \ deg x_ {i} = d_ {i}}$${\ Displaystyle \ prod (1-т ^ {d_ {я}})}$

Вот доказательство индукцией по числу неопределенных n . Если тогда, поскольку M имеет конечную длину, если k достаточно велико. Затем предположим, что теорема верна для, и рассмотрим точную последовательность градуированных модулей (точную степень) с обозначениями , ${\ displaystyle n = 0}$${\ displaystyle M_ {k} = 0}$${\ displaystyle n-1}$${\ Displaystyle N (l) _ {k} = N_ {k + l}}$

${\ Displaystyle 0 \ к K (-d_ {n}) \ к M (-d_ {n}) {\ overset {x_ {n}} {\ to}} M \ to C \ to 0}$.

Поскольку длина аддитивна, ряды Пуанкаре также аддитивны. Следовательно, мы имеем:

${\ Displaystyle P (M, t) = - P (K (-d_ {n}), t) + P (M (-d_ {n}), t) -P (C, t)}$.

Мы можем писать . Поскольку K убивает , мы можем рассматривать его как законченный модуль ; То же самое справедливо и для C . Таким образом, теорема следует из предположения индукции. ${\ Displaystyle P (M (-d_ {n}), t) = t ^ {d_ {n}} P (M, t)}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle A [x_ {0}, \ dots, x_ {n-1}]}$

Цепной комплекс

Пример градуированного векторного пространства связан с цепным комплексом или коцепным комплексом C векторных пространств; последний принимает форму

${\ displaystyle 0 \ to C ^ {0} {\ stackrel {d_ {0}} {\ longrightarrow}} C ^ {1} {\ stackrel {d_ {1}} {\ longrightarrow}} C ^ {2} { \ stackrel {d_ {2}} {\ longrightarrow}} \ cdots {\ stackrel {d_ {n-1}} {\ longrightarrow}} C ^ {n} \ longrightarrow 0.}$

Ряд Гильберта – Пуанкаре (здесь часто называемый многочленом Пуанкаре) градуированного векторного пространства для этого комплекса имеет вид ${\ displaystyle \ bigoplus _ {i} C ^ {i}}$

${\ Displaystyle P_ {C} (t) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ dim (C ^ {j}) t ^ {j}.}$

Многочлен Гильберта – Пуанкаре когомологий с пространствами когомологий H ^j  =  H ^j ( C ) равен

${\ Displaystyle P_ {H} (t) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ dim (H ^ {j}) t ^ {j}.}$

Известная связь между ними состоит в том, что существует многочлен с неотрицательными коэффициентами, такой что${\ Displaystyle Q (т)}$${\ Displaystyle P_ {C} (t) -P_ {H} (t) = (1 + t) Q (t).}$

использованная литература

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.