Седьмая проблема Гильберта - Hilbert's seventh problem

Седьмая проблема Гильберта является одним из Дэвида Гильберта «s список открытых математических задач , поставленных в 1900 г. Это касается иррациональности и трансцендентности некоторых чисел ( Irrationalität унд Transzendenz bestimmter Zahlen ).

Постановка задачи

Задаются два конкретных эквивалентных вопроса:

1. В равнобедренном треугольнике , если отношение угла основания к углу при вершине является алгебраическим, но не рациональным , всегда ли соотношение между основанием и стороной трансцендентно ?
2. Всегда ли трансцендентен для алгебраической и иррациональной алгебры ? ${\ displaystyle a ^ {b}}$ ${\ Displaystyle а \ не \ в \ {0,1 \}}$${\ displaystyle b}$

Решение

На вопрос (во второй форме) положительный ответ дал Александр Гельфонд в 1934 году и уточнил Теодор Шнайдер в 1935 году. Этот результат известен как теорема Гельфонда или теорема Гельфонда – Шнайдера . (Ограничение на иррациональное b важно, поскольку легко видеть, что оно является алгебраическим для алгебраического a и рационального b .) ${\ displaystyle a ^ {b}}$

С точки зрения обобщений это так.

${\ displaystyle b \ ln {\ alpha} + \ ln {\ beta} = 0}$

общей линейной формы в логарифмах, которую изучил Гельфонд, а затем решил Алан Бейкер . Это называется гипотезой Гельфонда или теоремой Бейкера . За это достижение Бейкер был награжден медалью Филдса в 1970 году.

Смотрите также

• Число Гильберта или постоянная Гельфонда – Шнайдера

Рекомендации

Библиография

• Тийдеман, Роберт (1976). «О методе Гельфонда – Бейкера и его приложениях». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . XXVIII.1. Американское математическое общество . С. 241–268. ISBN   978-0-8218-1428-4 . Zbl   0341.10026 .
• Манин, Ю. I .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). п. 61. ISBN   978-3-540-20364-3 . ISSN   0938-0396 . Zbl   1079.11002 .

внешняя ссылка

• Английский перевод оригинального обращения Гильберта