Арифметика концов Гильберта - Hilbert's arithmetic of ends

В математике , особенно в области гиперболической геометрии , арифметика концов Гильберта - это метод наделения геометрического набора, набора идеальных точек или «концов» гиперболической плоскости алгебраической структурой в виде поля . Его ввел немецкий математик Давид Гильберт .

Определения

Заканчивается

В гиперболической плоскости , можно определить идеальную точку или конец быть класс эквивалентности из ограничивающих параллельных лучей . Затем набор концов может быть топологизирован естественным образом и образует круг. Это использование конца неканонично; в частности, концепция, которую он указывает, отличается от концепции топологического конца (см. Конец (топология) и Конец (теория графов) ).

В модели диска Пуанкаре или модели Клейна гиперболической геометрии каждый луч пересекает граничный круг (также называемый кругом на бесконечности или линией на бесконечности ) в единственной точке , и концы могут быть отождествлены с этими точками. Однако точки граничной окружности не считаются точками самой гиперболической плоскости. Каждая гиперболическая линия имеет ровно два различных конца, и каждые два различных конца являются концами одной единственной линии. Для целей арифметики Гильберта линию целесообразно обозначать упорядоченной парой ( a , b ) ее концов.

Арифметика Гильберта фиксирует произвольно три различных конца и помечает их как 0, 1 и ∞;. Множество H, на котором Гильберт определяет структуру поля, является множеством всех концов, кроме ∞, а H ' обозначает множество всех концов, включая ∞.

Добавление

Композиция из трех отражений с одним концом представляет собой четвертое отражение, также с одним концом.

Гильберт определяет сложение концов с помощью гиперболических отражений . Для каждого конца x в H его отрицание - x определяется путем построения гиперболического отражения линии ( x , ∞) через линию (0, ∞) и выбора - x в качестве конца отраженной линии.

Состав любых трех гиперболических отражений , чьи оси симметрии все имеют общий конец сам по себе другое отражение, через другую линию с той же целью. Основываясь на этой «теореме о трех отражениях», учитывая любые два конца x и y в H , Гильберт определяет сумму x + y как небесконечный конец оси симметрии композиции трех отражений через прямые ( x , ∞), (0, ∞) и ( y , ∞).

Из свойств отражений следует, что эти операции обладают свойствами, требуемыми от операций отрицания и сложения в алгебре полей: они образуют операции обратного и сложения аддитивной абелевой группы .

Умножение

Умножение на концах

Операция умножения в арифметике концов определяется (для ненулевых элементов x и y из H ) путем рассмотрения строк (1, −1), ( x , - x ) и ( y , - y ). Поскольку −1, −x и −y определяются путем отражения через линию (0, ∞), каждая из трех прямых (1, −1), ( x , - x ) и ( y , - y ) перпендикулярно (0, ∞).

Из этих трех линий может быть определена четвертая линия, ось симметрии композиции отражений через ( x , - x ), (1, −1) и ( y , - y ). Эта прямая также перпендикулярна (0, ∞) и поэтому принимает форму ( z , - z ) для некоторого конца z . В качестве альтернативы, пересечение этой прямой с линией (0, ∞) можно найти, прибавив длины отрезков прямой от пересечения с (1, -1) к пересечениям двух других точек. Для ровно одного из двух возможных вариантов z четное число четырех элементов 1, x , y и z лежат на одной стороне линии (0, ∞) друг с другом. Сумма x + y определяется как такой выбор z .

Поскольку это может быть определено путем сложения длин отрезков прямой, эта операция удовлетворяет требованию операции умножения над полем, что она образует абелеву группу над ненулевыми элементами поля с единичной единицей. Обратная операция группы - отражение конца линии (1, −1). Можно также показать, что эта операция умножения подчиняется свойству распределения вместе с операцией сложения поля.

Жесткие движения

Пусть - гиперболическая плоскость и H - ее концы, как указано выше. На плоскости мы имеем жесткие движения и их влияние на концы следующим образом: ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ Pi}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ Pi}$

Отражение в отсылает к - х . ${\ Displaystyle \ scriptstyle (0, \, \ infty)}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle х \, \ в \, H '}$

{\ Displaystyle х '= - х. \,}

Отражение в (1, −1) дает

{\ displaystyle x '= {1 \ над x}. \,}

Перевод по который посылает 1 к любому , > 0 представлена ${\ Displaystyle \ scriptstyle (0, \, \ infty)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle a \, \ in \, H}$

{\ Displaystyle х '= топор \,}

Для любого существует жесткое движение σ _(1/2)_a σ ₀ , композиция отражения в линии и отражения в линии , которое называется вращением вокруг , определяется выражением ${\ displaystyle \ scriptstyle a \, \ in \, H}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle (0, \ infty)}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle ((1/2) а, \, \ infty)}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ infty}$