Полуцелое число - Half-integer

В математике , A полуцелый является число вида

${\ Displaystyle п + {\ tfrac {1} {2}}}$ ,

где - целое число . Например, ${\ displaystyle n}$

4 + 1 / 2 , ⁷ / ₂ , - + 13 / 2 , 8,5

все полуцелые числа . Название «полуцелое число», возможно, вводит в заблуждение, так как набор может быть неправильно истолкован как включающий числа, такие как 1 (т.е. половина целого числа 2). Такое имя, как «целое число плюс половина», может быть более точным, но даже если оно не совсем верно, «полуцелое число» является общепринятым термином. Полуцелые числа встречаются в математике и квантовой механике достаточно часто, поэтому удобно использовать отдельный термин.

Обратите внимание, что уменьшение целого числа вдвое не всегда дает полуцелое число; это верно только для нечетных целых чисел . По этой причине полуцелые числа также иногда называют полунечетными целыми числами . Полуцелые числа - это подмножество диадических рациональных чисел (чисел, полученных делением целого числа на степень двойки ).

Обозначения и алгебраическая структура

Множество всех полуцелых часто обозначается

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} + {\ tfrac {1} {2}} \ quad = \ quad \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} \ right) \ smallsetminus \ mathbb { Z} ~.}$

Целые и полуцелые числа вместе образуют группу при операции сложения, которую можно обозначить

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Однако эти числа не образуют кольцо, потому что произведение двух полуцелых чисел часто не является полуцелым числом; например ${\ displaystyle ~ {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {1} {2}} ~ = ~ {\ tfrac {1} {4}} ~ \ notin ~ {\ tfrac {1} { 2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Использует

Упаковка сфер

Плотнейшая решетчатая упаковка из единичных сфер в четырех измерений ( так называемая D ₄ решеткой ) помещает шар в каждой точке, координаты которой либо все целые числа или все полуцелые. Эта упаковка тесно связана с целыми числами Гурвица : кватернионами , действительные коэффициенты которых являются целыми или полуцелыми числами.

Физика

В физике принцип исключения Паули вытекает из определения фермионов как частиц со спинами, которые являются полуцелыми числами.

Эти энергетические уровни этого квантового гармонического осциллятора происходить при полуцелых и , следовательно , его низкая энергия не равна нулю.

Объем сферы

Хотя факториальная функция определена только для целочисленных аргументов, ее можно расширить до дробных аргументов с помощью гамма-функции . Гамма-функция для полуцелых чисел является важной частью формулы для объема n- мерного шара радиуса R ,

${\ Displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}} + 1)}} R ^ {n} ~. }$

Значения гамма-функции на полуцелых числах являются целыми кратными квадратного корня из числа пи :

${\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} + n \ right) ~ = ~ {\ frac {\, (2n-1) !! \,} {2 ^ {n}}} \, {\ sqrt {\ pi \,}} ~ = ~ {\ frac {(2n)!} {\, 4 ^ {n} \, n! \,}} {\ sqrt {\ pi \,}} ~}$

где н !! обозначает двойной факториал .

Рекомендации