Константа Глейшера – Кинкелина - Glaisher–Kinkelin constant

В математике , то константа Glaisher-Kinkelin или постоянная Glaisher в , как правило , обозначаются , является математической константой , связанной с K -функции и Барнс G -функции . Константа появляется в ряде сумм и интегралов , особенно тех, которые включают гамма-функции и дзета-функции . Он назван в честь математиков Джеймса Уитбреда, Ли Глейшера и Германа Кинкелина .

Его приблизительное значение:

А =1,282 427 129 100 622 636 87 ... (последовательность A074962 в OEIS ).

Постоянная Глейшера – Кинкелина A может быть задана пределом :

${\ displaystyle A = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {K (n + 1)} {n ^ {{\ frac {n ^ {2}} {2}} + {\ frac {n) } {2}} + {\ frac {1} {12}}} \, e ^ {- {\ frac {n ^ {2}} {4}}}}}}}$

где K ( n ) = Π^{п - 1}
_{к = 1} k ^k - K -функция . Эта формула показывает сходство между A и π, что, возможно, лучше всего иллюстрируется формулой Стирлинга :

${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi}} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n!} {n ^ {n + {\ frac {1} {2}}} \, e ^ {-n}}}}$

что показывает, что так же, как π получается из приближения функции Π^п
_{к = 1} k , A также можно получить из аналогичного приближения к функции Π^п
_{к = 1} к ^к .

Эквивалентное определение для A, включающее G -функцию Барнса , дается формулой G ( n ) = Π^{п - 2}
_{к = 1} к ! знак равно [Γ ( n )] ^{n −1}/К ( п )где Γ ( n ) - гамма-функция :

${\ displaystyle A = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ left (2 \ pi \ right) ^ {\ frac {n} {2}} n ^ {{\ frac {n ^ {2 }} {2}} - {\ frac {1} {12}}} e ^ {- {\ frac {3n ^ {2}} {4}} + {\ frac {1} {12}}}} { G (n + 1)}}}$.

Константа Глейшера-Кинкелина также появляется при вычислении производных дзета-функции Римана , таких как:

${\ displaystyle \ zeta '(-1) = {\ tfrac {1} {12}} - \ ln A}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln k} {k ^ {2}}} = - \ zeta '(2) = {\ frac {\ pi ^ {2 }} {6}} \ left (12 \ ln A- \ gamma - \ ln 2 \ pi \ right)}$

где γ - постоянная Эйлера – Маскерони . Последняя формула приводит непосредственно к следующему продукту, найденному Глейшером :

${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {\ frac {1} {k ^ {2}}} = \ left ({\ frac {A ^ {12}} {2 \ pi e ^ {\ gamma}}} \ right) ^ {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

Альтернативная формула продукта, определенная над простыми числами , гласит

${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} p_ {k} ^ {\ frac {1} {p_ {k} ^ {2} -1}} = {\ frac {A ^ {12} } {2 \ pi e ^ {\ gamma}}},}$

где p _k обозначает k- е простое число .

Ниже приведены некоторые интегралы, содержащие эту константу:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {1} {2}} \ ln \ Gamma (x) \, dx = {\ tfrac {3} {2}} \ ln A + {\ frac {5} {24}} \ ln 2 + {\ tfrac {1} {4}} \ ln \ pi}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x \ ln x} {e ^ {2 \ pi x} -1}} \, dx = {\ tfrac {1} {2}} \ zeta '(-1) = {\ tfrac {1} {24}} - {\ tfrac {1} {2}} \ ln A}$

Представление этой константы в виде ряда следует из ряда для дзета-функции Римана, данного Гельмутом Хассе .

${\ displaystyle \ ln A = {\ tfrac {1} {8}} - {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} (k + 1) ^ {2} \ ln (k + 1)}$

использованная литература

• Гильера, Иисус; Сондоу, Джонатан (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Журнал Рамануджана . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT / 0506319 . DOI : 10.1007 / s11139-007-9102-0 .
• Гильера, Иисус; Сондоу, Джонатан (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Рамануджан Журнал . 16 (3): 247–270. arXiv : math / 0506319 . DOI : 10.1007 / s11139-007-9102-0 . (Обеспечивает различные отношения.)
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Глейшера – Кинкелина» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Дзета-функция Римана" . MathWorld .

внешние ссылки

• Константа Глейшера – Кинкелина с точностью до 20 000 знаков после запятой