Гауссовский интеграл - Gaussian integral

Гауссов интеграл , также известный как интеграл Эйлера-Пуассона , является интегралом от функции Гаусса по всей вещественной прямой. Названный в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса , интеграл ${\ Displaystyle е (х) = е ^ {- х ^ {2}}}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}.}$

Абрахам де Муавр впервые открыл этот тип интеграла в 1733 году, а Гаусс опубликовал точный интеграл в 1809 году. У интеграла есть широкий спектр приложений. Например, при незначительном изменении переменных используются для вычисления константы нормализующей от нормального распределения . Же , как единое целое с конечными пределами тесно связана как с функцией ошибок и интегральной функции распределения от нормального распределения . В физике этот тип интеграла часто появляется, например, в квантовой механике , для нахождения плотности вероятности основного состояния гармонического осциллятора. Этот интеграл также используется в формулировке интеграла по путям, чтобы найти пропагатор гармонического осциллятора, и в статистической механике , чтобы найти его статистическую сумму .

Хотя для функции ошибок не существует элементарной функции , как может быть доказано алгоритмом Риша , интеграл Гаусса может быть решен аналитически с помощью методов многомерного исчисления . То есть нет элементарного неопределенного интеграла для

${\ Displaystyle \ int е ^ {- х ^ {2}} \, dx,}$

но определенный интеграл

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx}$

можно оценить. Определенный интеграл от произвольной гауссовой функции равен

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- a (x + b) ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a}}} .}$

Вычисление

По полярным координатам

Стандартный способ вычисления интеграла Гаусса, идея которого восходит к Пуассону, заключается в использовании свойства, которое:

${\ displaystyle \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx \ right) ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {2}} \, dy = \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} \, dx \, dy.}$

Рассмотрим функцию на плоскости и вычислим ее интеграл двумя способами: ${\ displaystyle e ^ {- \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} = e ^ {- r ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

1. с одной стороны, при двойном интегрировании в декартовой системе координат его интеграл представляет собой квадрат:

   ${\ displaystyle \ left (\ int e ^ {- x ^ {2}} \, dx \ right) ^ {2};}$

2. с другой стороны, путем интегрирования оболочки (случай двойного интегрирования в полярных координатах ) его интеграл вычисляется как${\ displaystyle \ pi}$

Сравнение этих двух вычислений дает интеграл, хотя следует позаботиться о задействованных несобственных интегралах .

${\ displaystyle {\ begin {align} \ iint _ {\ mathbb {R} ^ {2}} e ^ {- \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} dx \, dy & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- r ^ {2}} r \, dr \, d \ theta \\ [6pt] & = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ infty} re ^ {- r ^ {2}} \, dr \\ [6pt] & = 2 \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {0} {\ tfrac {1} {2}} e ^ {s} \, ds && s = -r ^ {2} \\ [6pt] & = \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {0} e ^ {s} \ , ds \\ [6pt] & = \ pi \ left (e ^ {0} -e ^ {- \ infty} \ right) \\ [6pt] & = \ pi, \ end {align}}}$

где множитель r - это определитель Якоби, который появляется из-за преобразования в полярные координаты ( r  dr  dθ - стандартная мера на плоскости, выраженная в полярных координатах Wikibooks: Calculus / Polar Integration # Generalization ), а замена включает взятие s  = - r ² , поэтому ds  = −2 r  dr .

Комбинируя эти урожаи

${\ displaystyle \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx \ right) ^ {2} = \ pi,}$

так

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}.}$

Полное доказательство

Чтобы оправдать неправильные двойные интегралы и приравнять эти два выражения, мы начнем с аппроксимирующей функции:

${\ displaystyle I (a) = \ int _ {- a} ^ {a} e ^ {- x ^ {2}} dx.}$

Если интеграл

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx}$

были бы абсолютно сходящимися, мы имели бы, что его главное значение Коши , то есть предел

${\ Displaystyle \ lim _ {а \ к \ infty} я (а)}$

совпадет с

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx.}$

Чтобы убедиться в этом, примите во внимание, что

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | e ^ {- x ^ {2}} \ right | dx <\ int _ {- \ infty} ^ {- 1} -xe ^ {-x ^ {2}} \, dx + \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- x ^ {2}} \, dx + \ int _ {1} ^ {\ infty} xe ^ {- x ^ {2}} \, dx <\ infty.}$

так что мы можем вычислить

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx}$

просто взяв предел

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} I (a).}$

Взяв квадрат урожайности ${\ Displaystyle I (а)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} I ^ {2} (a) & = \ left (\ int _ {- a} ^ {a} e ^ {- x ^ {2}} \, dx \ right) \ left (\ int _ {- a} ^ {a} e ^ {- y ^ {2}} \, dy \ right) \\ [6pt] & = \ int _ {- a} ^ {a} \ left ( \ int _ {- a} ^ {a} e ^ {- y ^ {2}} \, dy \ right) \, e ^ {- x ^ {2}} \, dx \\ [6pt] & = \ int _ {- a} ^ {a} \ int _ {- a} ^ {a} e ^ {- \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} \, dy \, dx. \ конец {выровнено}}}$

Используя теорему Фубини , указанный выше двойной интеграл можно рассматривать как интеграл площадей

${\ displaystyle \ iint _ {[- a, a] \ times [-a, a]} e ^ {- \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} \, d (x, y),}$

берется квадрат с вершинами {(- ,  в ), ( ,  в ), ( , - ), (- , - )} на ху - плоскости .

Поскольку экспоненциальная функция больше 0 для всех действительных чисел, отсюда следует, что интеграл, взятый по вписанной окружности квадрата, должен быть меньше , и аналогично интеграл, взятый по описанной окружности квадрата, должен быть больше, чем . Интегралы по двум дискам можно легко вычислить, переключившись с декартовых координат на полярные : ${\ Displaystyle I (а) ^ {2}}$${\ Displaystyle I (а) ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} х & = г \ соз \ тета \\ у & = г \ грех \ тета \ конец {выровнено}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {J} (r, \ theta) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial r}} & {\ dfrac {\ partial x} {\ partial \ theta} } \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y} {\ partial r}} & {\ dfrac {\ partial y} {\ partial \ theta}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\\ sin \ theta & r \ cos \ theta \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle d (x, y) = | J (r, \ theta) | d (r, \ theta) = r \, d (r, \ theta).}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {a} re ^ {- r ^ {2}} \, dr \, d \ theta <I ^ {2} ( а) <\ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {a {\ sqrt {2}}} re ^ {- r ^ {2}} \, dr \, d \ theta .}$

(См. Полярные координаты из декартовых координат для помощи с полярным преобразованием.)

Интеграция,

${\ displaystyle \ pi \ left (1-e ^ {- a ^ {2}} \ right) <I ^ {2} (a) <\ pi \ left (1-e ^ {- 2a ^ {2}} \Правильно).}$

По теореме сжатия это дает гауссов интеграл

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}.}$

По декартовым координатам

Другая техника, восходящая к Лапласу (1812 г.), заключается в следующем. Позволять

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} y & = xs \\ dy & = x \, ds. \ end {выравнивается}}}$

Поскольку пределы s при y → ± ∞ зависят от знака x , это упрощает вычисление, используя тот факт, что e ^{- x 2} является четной функцией , и, следовательно, интеграл по всем действительным числам просто вдвое больше интеграла от нуля до бесконечности. То есть,

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2 }} \, dx.}$

Таким образом, в диапазоне интегрирования x ≥ 0, а переменные y и s имеют одинаковые пределы. Это дает:

${\ displaystyle {\ begin {align} I ^ {2} & = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ left (x ^ {2 } + y ^ {2} \ right)} dy \, dx \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} \, dy \ right) \, dx \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2} \ left (1 + s ^ {2} \ right)} x \, ds \ right) \, dx \\ [6pt] \ конец {выровнено}}}$

Затем, используя теорему Фубини  :

${\ displaystyle {\ begin {align} I ^ {2} & = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2 } \ left (1 + s ^ {2} \ right)} x \, dx \ right) \, ds \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {e ^ {- x ^ {2} \ left (1 + s ^ {2} \ right)}} {- 2 \ left (1 + s ^ {2} \ right)}} \ right] _ {x = 0} ^ {x = \ infty} \, ds \\ [6pt] & = 4 \ left ({\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {ds} {1 + s ^ {2}}} \ right) \\ [6pt] & = 2 \ arctan (s) {\ Big |} _ {0} ^ {\ infty} \\ [6pt] & = \ pi. \ конец {выровнено}}}$

Поэтому, как и ожидалось. ${\ displaystyle I = {\ sqrt {\ pi}}}$

Связь с гамма-функцией

Подынтегральное выражение - четная функция ,

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx}$

Таким образом, после замены переменной это превращается в интеграл Эйлера ${\ displaystyle x = {\ sqrt {t}}}$

${\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} \ e ^ {- t} \ t ^ {- {\ frac {1} {2}}} dt = \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ pi} }}$

где - гамма-функция . Это показывает, почему факториал полуцелого числа является рациональным кратным . В более общем смысле, ${\ displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} dt}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} e ^ {- ax ^ {b}} dx = {\ frac {\ Gamma \ left ((n + 1) / b \ right) } {ba ^ {(n + 1) / b}}},}$

которое может быть получено путем подстановки подынтегрального выражения гамма-функции, чтобы получить . ${\ displaystyle t = ax ^ {b}}$${\ displaystyle \ Gamma (z) = a ^ {z} b \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {bz-1} e ^ {- ax ^ {b}} dx}$

Обобщения

Интеграл от функции Гаусса

Интеграл от произвольной гауссовой функции равен

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- a (x + b) ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a}}} .}$

Альтернативная форма

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- ax ^ {2} + bx + c} \, dx = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a}}} \ , e ^ {{\ frac {b ^ {2}} {4a}} + c}.}$

Эта форма полезна для вычисления ожиданий некоторых непрерывных распределений вероятностей, связанных с нормальным распределением, таких как, например, логнормальное распределение .

n -мерное и функциональное обобщение

Предположим, что A - симметричная положительно определенная (следовательно, обратимая) матрица точности n × n , которая является матрицей, обратной ковариационной матрице . Потом,

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ exp {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ sum \ limits _ {i, j = 1} ^ {n} A_ {ij} x_ {i} x_ {j} \ right)} \, d ^ {n} x = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ exp {\ left (- {\ frac {1} {2}} x ^ {T} Ax \ right)} \, d ^ {n} x = {\ sqrt {\ frac {(2 \ pi) ^ {n}} {\ det A}}} = {\ sqrt {\ frac {1} {\ det (A / 2 \ pi)}}} = {\ sqrt {\ det (2 \ pi A ^ {- 1})}}}$

где интеграл понимается по R ⁿ . Этот факт применяется при исследовании многомерного нормального распределения .

Также,

${\ displaystyle \ int x_ {k_ {1}} \ cdots x_ {k_ {2N}} \, \ exp {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ sum \ limits _ {i, j = 1} ^ {n} A_ {ij} x_ {i} x_ {j} \ right)} \, d ^ {n} x = {\ sqrt {\ frac {(2 \ pi) ^ {n}} {\ det A}}} \, {\ frac {1} {2 ^ {N} N!}} \, \ sum _ {\ sigma \ in S_ {2N}} (A ^ {- 1}) _ {k_ { \ sigma (1)} k _ {\ sigma (2)}} \ cdots (A ^ {- 1}) _ {k _ {\ sigma (2N-1)} k _ {\ sigma (2N)}}}$

где σ - перестановка {1, ..., 2 N }, а дополнительный множитель в правой части - это сумма по всем комбинаторным парам {1, ..., 2 N } из N копий A ^{- 1} .

В качестве альтернативы,

${\ displaystyle \ int е ({\ vec {x}}) \ exp {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ sum \ limits _ {i, j = 1} ^ {n} A_ { ij} x_ {i} x_ {j} \ right)} d ^ {n} x = {\ sqrt {(2 \ pi) ^ {n} \ over \ det A}} \, \ left. \ exp {\ left ({1 \ over 2} \ sum \ limits _ {i, j = 1} ^ {n} (A ^ {- 1}) _ {ij} {\ partial \ over \ partial x_ {i}} {\ partial \ over \ partial x_ {j}} \ right)} f ({\ vec {x}}) \ right | _ {{\ vec {x}} = 0}}$

для некоторой аналитической функции f при условии, что она удовлетворяет некоторым подходящим ограничениям на ее рост и некоторым другим техническим критериям. (Это работает для некоторых функций и не работает для других. Многочлены - это хорошо.) Экспонента над дифференциальным оператором понимается как степенной ряд .

Хотя функциональные интегралы не имеют строгого определения (или даже нестрогого вычислительного в большинстве случаев), мы можем определить гауссовский функциональный интеграл по аналогии с конечномерным случаем. Тем не менее, все еще существует проблема, заключающаяся в том, что бесконечность, а также функциональный детерминант , в общем, также был бы бесконечным. Об этом можно позаботиться, если мы будем рассматривать только отношения: ${\ Displaystyle (2 \ pi) ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} & {} {\ frac {\ int f (x_ {1}) \ cdots f (x_ {2N}) \ exp \ left [{- \ iint {\ frac {1} { 2}} A (x_ {2N + 1}, x_ {2N + 2}) f (x_ {2N + 1}) f (x_ {2N + 2}) d ^ {d} x_ {2N + 1} d ^ {d} x_ {2N + 2}} \ right] {\ mathcal {D}} f} {\ int \ exp \ left [{- \ iint {\ frac {1} {2}} A (x_ {2N + 1}, x_ {2N + 2}) f (x_ {2N + 1}) f (x_ {2N + 2}) d ^ {d} x_ {2N + 1} d ^ {d} x_ {2N + 2} } \ right] {\ mathcal {D}} f}} \\ [6pt] = & {} {\ frac {1} {2 ^ {N} N!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {2N }} A ^ {- 1} (x _ {\ sigma (1)}, x _ {\ sigma (2)}) \ cdots A ^ {- 1} (x _ {\ sigma (2N-1)}, x _ {\ сигма (2N)}). \ end {выравнивается}}}$

В обозначениях ДеВитта уравнение выглядит идентично конечномерному случаю.

n -мерный с линейным членом

Если A снова является симметричной положительно определенной матрицей, то (при условии, что все являются векторами-столбцами)

${\ displaystyle \ int e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ sum \ limits _ {i, j = 1} ^ {n} A_ {ij} x_ {i} x_ {j} + \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} B_ {i} x_ {i}} d ^ {n} x = \ int e ^ {- {\ frac {1} {2}} {\ vec {x} } ^ {T} \ mathbf {A} {\ vec {x}} + {\ vec {B}} ^ {T} {\ vec {x}}} d ^ {n} x = {\ sqrt {\ frac {(2 \ pi) ^ {n}} {\ det {A}}}} e ^ {{\ frac {1} {2}} {\ vec {B}} ^ {T} \ mathbf {A} ^ {-1} {\ vec {B}}}.}$

Интегралы подобного вида

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {2n} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}} \, dx = {\ sqrt { \ pi}} {\ frac {a ^ {2n + 1} (2n-1) !!} {2 ^ {n + 1}}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {2n + 1} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}} \, dx = {\ гидроразрыв {n!} {2}} a ^ {2n + 2}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {2n} e ^ {- ax ^ {2}} \, dx = {\ frac {(2n-1) !!} {a ^ {n } 2 ^ {n + 1}}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a}}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {2n + 1} e ^ {- ax ^ {2}} \, dx = {\ frac {n!} {2a ^ {n + 1} }}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} e ^ {- ax ^ {2}} \, dx = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2 }})} {2a ^ {\ frac {n + 1} {2}}}}}$

где - натуральное число и обозначает двойной факториал . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle !!}$

Легкий способ получить их - дифференцировать под знаком интеграла .

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2n} e ^ {- \ alpha x ^ {2}} \, dx & = \ left (-1 \ right ) ^ {n} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ partial ^ {n}} {\ partial \ alpha ^ {n}}} e ^ {- \ alpha x ^ {2 }} \, dx = \ left (-1 \ right) ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {n}} {\ partial \ alpha ^ {n}}} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- \ alpha x ^ {2}} \, dx \\ [6pt] & = {\ sqrt {\ pi}} \ left (-1 \ right) ^ {n} {\ frac {\ частичный ^ {n}} {\ partial \ alpha ^ {n}}} \ alpha ^ {- {\ frac {1} {2}}} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}} {\ frac {(2n-1) !!} {\ left (2 \ alpha \ right) ^ {n}}} \ end {выровнено}}}$

Можно также интегрировать по частям и найти рекуррентное соотношение для решения этой проблемы.

Полиномы высшего порядка

Применение линейной замены базиса показывает, что интеграл экспоненты однородного многочлена от n переменных может зависеть только от SL ( n ) -инвариантов многочлена. Одним из таких инвариантов является дискриминант , нули которого отмечают особенности интеграла. Однако интеграл может зависеть и от других инвариантов.

Показатели других четных многочленов могут быть решены численно, используя ряды. При отсутствии сходимости их можно интерпретировать как формальные вычисления . Например, решение интеграла от экспоненты многочлена четвертой степени есть

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + f} \, dx = {\ frac {1 } {2}} e ^ {f} \ sum _ {\ begin {smallmatrix} n, m, p = 0 \\ n + p = 0 \ mod 2 \ end {smallmatrix}} ^ {\ infty} {\ frac {b ^ {n}} {n!}} {\ frac {c ^ {m}} {m!}} {\ frac {d ^ {p}} {p!}} {\ frac {\ Gamma \ left) ({\ frac {3n + 2m + p + 1} {4}} \ right)} {(- a) ^ {\ frac {3n + 2m + p + 1} {4}}}}.}.}$

Требование n  +  p = 0 mod 2 связано с тем, что интеграл от −∞ до 0 дает коэффициент (−1) ^{n + p} / 2 для каждого члена, в то время как интеграл от 0 до + ∞ дает коэффициент 1/2. к каждому семестру. Эти интегралы появляются в таких предметах, как квантовая теория поля .

Смотрите также

• Список интегралов от функций Гаусса
• Общие интегралы в квантовой теории поля
• Нормальное распределение
• Список интегралов от экспоненциальных функций
• Функция ошибки
• Березин интеграл

использованная литература

Цитаты

Источники