Четные и нечетные функции - Even and odd functions

Функции синуса и все его многочленов Тейлора являются нечетными функциями. На этом изображении показаны и его приближения Тейлора, многочлены степени 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.
Функция косинуса и все ее многочлены Тейлора являются четными функциями. Это изображение показывает и его приближение Тейлора степени 4.

В математике , даже функция и нечетные функции являются функциями , которые удовлетворяют определенные симметрии отношений, относительно взятия добавок инверсий . Они важны во многих областях математического анализа , особенно в теории степенных рядов и рядов Фурье . Они названы в честь четности степеней степенных функций, которые удовлетворяют каждому условию: функция является четной функцией, если n является четным целым числом , и нечетной функцией, если n является нечетным целым числом.

Определение и примеры

Четность и нечетность обычно рассматриваются для реальных функций , то есть для действительных функций действительной переменной. Однако в более общем плане концепции могут быть определены для функций, область и область значений которых имеют понятие аддитивного обратного . Сюда входят абелевы группы , все кольца , все поля и все векторные пространства . Так, например, реальная функция может быть нечетной или четной (или ни одной), как и комплексная функция векторной переменной и т. Д.

Приведенные примеры являются действительными функциями, чтобы проиллюстрировать симметрию их графиков .

Четные функции

является примером четной функции.

Пусть f - вещественная функция действительной переменной. Тогда F является даже если следующее уравнение справедливо для всех х таких , что х и - х в области F :

 

 

 

 

( Уравнение 1 )

или, что то же самое, если для всех таких x выполняется следующее уравнение :

Геометрически график четной функции симметричен относительно оси y , что означает, что его график остается неизменным после отражения относительно оси y .

Примеры четных функций:

Странные функции

это пример нечетной функции.

Опять же, пусть f - вещественная функция действительной переменной. Тогда f является нечетным, если следующее уравнение выполняется для всех x таких, что x и - x находятся в области определения f :

 

 

 

 

( Уравнение 2 )

или, что то же самое, если для всех таких x выполняется следующее уравнение :

Геометрически график нечетной функции имеет вращательную симметрию относительно начала координат , что означает, что его график остается неизменным после поворота на 180 градусов относительно начала координат.

Примеры нечетных функций:

  • Функция идентичности
  • синус
  • гиперболический синус
  • Функция ошибок
не является ни четным, ни нечетным.

Основные свойства

Уникальность

  • Если функция является как четной, так и нечетной, она равна 0 везде, где она определена.
  • Если функция нечетная, абсолютное значение этой функции является четной функцией.

Сложение и вычитание

  • Сумма двух четных функций даже.
  • Сумма двух нечетных функций нечетная.
  • Разница между двумя нечетными функциями является нечетной.
  • Разница между двумя четными функциями четная.
  • Сумма четной и нечетной функции не является четной или нечетной, если одна из функций не равна нулю в данной области .

Умножение и деление

  • Продукт двух четных функций является четной функцией.
    • Это означает, что произведение любого количества четных функций также является четной функцией.
  • Произведение двух нечетных функций является четной функцией.
  • Произведение четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.
  • Фактор двух четных функций является четной функцией.
  • Частное двух нечетных функций является четной функцией.
  • Частное четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.

Состав

  • Композиция двух четных функций даже.
  • Композиция двух нечетных функций нечетная.
  • Композиция четной функции и нечетной функции четна.
  • Композиция любой функции с четной функцией четна (но не наоборот).

Четно-нечетное разложение

Каждую функцию можно однозначно разложить на сумму четной и нечетной функции, которые называются соответственно четной и нечетной частью функции; если определить

 

 

 

 

( Уравнение 3 )

а также

 

 

 

 

( Уравнение 4 )

то четное, нечетное и

Наоборот, если

где g четно, а h нечетно, то и поскольку

Например, гиперболический косинус и гиперболический синус можно рассматривать как четную и нечетную части экспоненциальной функции, поскольку первая является четной функцией, вторая - нечетной и

.

Дополнительные алгебраические свойства

  • Любая линейная комбинация четных функций является четной, а четные функции образуют векторное пространство над вещественными числами . Точно так же любая линейная комбинация нечетных функций является нечетной, и нечетные функции также образуют векторное пространство над действительными числами. В самом деле, векторное пространство всех вещественных функций является прямой суммой из подпространств четных и нечетных функций. Это более абстрактный способ выражения свойства в предыдущем разделе.
    • Пространство функций можно рассматривать как градуированную алгебру над действительными числами благодаря этому свойству, а также некоторым из перечисленных выше.
  • Четные функции образуют коммутативную алгебру над вещественными числами. Однако нечетные функции не образуют алгебру над вещественными числами, поскольку они не замкнуты при умножении.

Аналитические свойства

Нечетность или четность функции не подразумевает дифференцируемости или даже непрерывности . Например, функция Дирихле четная, но нигде не является непрерывной.

В дальнейшем, с участием свойства производных , ряд Фурье , ряд Тейлора , и так далее предположить , что эти понятия определяются из функций, которые рассматриваются.

Основные аналитические свойства

  • Производная четной функции является нечетным.
  • Производная нечетной функции четна.
  • Интеграл от нечетной функции от - А до + А равен нулю (где конечна, и функция не имеет вертикальные асимптоты между - А и А ). Для нечетной функции, которая интегрируется на симметричном интервале, например , результат интеграла на этом интервале равен нулю; это
    .
  • Интеграл четной функции от - A до + A является удвоенным интегралом от 0 до + A (где A конечно, и функция не имеет вертикальных асимптот между - A и A. Это также верно, когда A бесконечно, но только если интеграл сходится); это
    .

Ряд

Гармоники

В обработке сигналов , нелинейное искажение возникает , когда синусоида сигнал посылается через памяти менее нелинейной системы , то есть системы, выходной сигнал которого в момент времени т только зависит от входа в момент времени T и не зависит от входа в любой предыдущий раз. Такая система описывается функцией отклика . Тип генерируемых гармоник зависит от функции отклика f :

  • Когда функция отклика является четной, результирующий сигнал будет состоять только из четных гармоник входной синусоидальной волны;
    • Основная гармоника также является нечетной гармоникой, поэтому не будет присутствовать.
    • Простой пример - двухполупериодный выпрямитель .
    • Компонент представляет смещения постоянного тока, в связи с односторонней природой четно-симметричных передаточных функций.
  • Когда он нечетный, результирующий сигнал будет состоять только из нечетных гармоник входной синусоидальной волны;
  • Когда он асимметричен, результирующий сигнал может содержать как четные, так и нечетные гармоники;
    • Простые примеры представляют собой полуволновый выпрямитель, и отсечение в асимметричном усилителе класса А .

Обратите внимание, что это не относится к более сложным сигналам. Например, пилообразная волна содержит как четные, так и нечетные гармоники. После четно-симметричного двухполупериодного выпрямления он становится треугольной волной , которая, кроме смещения постоянного тока, содержит только нечетные гармоники.

Обобщения

Многомерные функции

Ровная симметрия:

Функция называется даже симметричной, если:

Странная симметрия:

Функция называется нечетно-симметричной, если:

Комплексные функции

Определения четной и нечетной симметрии для комплекснозначных функций действительного аргумента аналогичны действительному случаю, но включают комплексное сопряжение .

Ровная симметрия:

Комплекснозначная функция действительного аргумента называется даже симметричной, если:

Странная симметрия:

Комплекснозначная функция действительного аргумента называется нечетно-симметричной, если:

Последовательности конечной длины

Определения нечетной и четной симметрии распространяются на последовательности из N точек (то есть функции формы ) следующим образом:

Ровная симметрия:

Последовательность из N точек называется даже симметричной, если

Такую последовательность часто называют палиндромной последовательностью ; см. также Палиндромный многочлен .

Странная симметрия:

Последовательность из N точек называется нечетной симметричной, если

Такую последовательность иногда называют антипалиндромной последовательностью ; см. также Антипалиндромный многочлен .

Смотрите также

Заметки

Рекомендации