Преобразование фанка - Funk transform

В математической области интегральной геометрии , то преобразование Funk (также известный как преобразование Минковский-Funk , преобразование Радона-Funk или преобразование Радона сферическая ) представляет собой интегральное преобразование определяется путем интегрирования функции на больших кругов в сфере . Он был введен Полем Функом в 1911 году на основе работы Минковского (1904) . Это тесно связано с преобразованием Радона . Первоначальной мотивацией изучения преобразования Функа было описание метрики Цолля на сфере.

Определение

Преобразование Функ определяется следующим образом. Пусть ƒ быть непрерывная функция на 2-сфере S ² в R ³ . Тогда для единичного вектора x пусть

{\ Displaystyle Ff (\ mathbf {x}) = \ int _ {\ mathbf {u} \ in C (\ mathbf {x})} f (\ mathbf {u}) \, ds (\ mathbf {u}) }

где интеграл ведется по длине дуги ds большого круга C ( x ), состоящего из всех единичных векторов, перпендикулярных x :

{\ displaystyle C (\ mathbf {x}) = \ {\ mathbf {u} \ in S ^ {2} \ mid \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {x} = 0 \}.}

Инверсия

Funk преобразование аннулирует все нечетные функции , и поэтому вполне естественно ограничиться случаем , когда ƒ даже. В этом случае преобразование Funk переводит четные (непрерывные) функции в четные непрерывные функции и, кроме того, является обратимым.

Сферические гармоники

Каждую интегрируемую с квадратом функцию на сфере можно разложить на сферические гармоники ${\ displaystyle f \ in L ^ {2} (S ^ {2})}$ ${\ displaystyle Y_ {n} ^ {k}}$

{\ displaystyle f = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = -n} ^ {n} {\ hat {f}} (n, k) Y_ {n} ^ {k }.}

Тогда преобразование Funk функции f читается как

{\ displaystyle Ff = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = -n} ^ {n} P_ {n} (0) {\ hat {f}} (n, k) Y_ {n} ^ {k}}

где для нечетных значений и ${\ Displaystyle P_ {2n + 1} (0) = 0}$

{\ Displaystyle P_ {2n} (0) = (- 1) ^ {n} \, {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots 2n-1} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots 2n} } = (- 1) ^ {n} \, {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}}}

для четных значений. Этот результат показал Функ (1913) .

Формула обращения Хельгасона

Другая формула обращения принадлежит Хелгасону (1999) . Как и преобразование Радона, формула обращения основана на двойственном преобразовании F *, определяемом формулой

{\ displaystyle (F ^ {*} f) (p, \ mathbf {x}) = {\ frac {1} {2 \ pi \ cos p}} \ int _ {\ | \ mathbf {u} \ | = 1, \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {u} = \ sin p} f (\ mathbf {u}) \, | d \ mathbf {u} |.}

Это среднее значение функции окружности ƒ по окружностям на расстоянии p по дуге от точки x . Обратное преобразование дается формулой

{\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left \ {{\ frac {d} {du}} \ int _ {0} ^ {u} F ^ {*} (Ff) (\ cos ^ {- 1} v, \ mathbf {x}) v (u ^ {2} -v ^ {2}) ^ {- 1/2} \, dv \ right \} _ {u = 1}.}

Обобщение

Классическая формулировка инвариантна относительно группы вращений SO (3) . Также возможно сформулировать преобразование Функа таким образом, чтобы оно было инвариантным относительно специальной линейной группы SL (3, R ), благодаря ( Bailey et al. 2003 ). Предположим, что ƒ - однородная функция степени −2 на R ³ . Затем для линейно независимых векторов x и y определим функцию φ линейным интегралом

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint f (и \ mathbf {x} + v \ mathbf {y}) ( и \, дв-в \, ду)}

взято по простой замкнутой кривой, один раз охватывающей начало координат. Дифференциальная форма

{\ Displaystyle е (и \ mathbf {х} + v \ mathbf {y}) (и \, dv-v \, du)}

является закрытым , которая следует по однородности ƒ . Под изменением переменных , ф удовлетворяет

{\ displaystyle \ phi (a \ mathbf {x} + b \ mathbf {y}, c \ mathbf {x} + d \ mathbf {y}) = {\ frac {1} {| ad-bc |}} \ фи (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}),}

и так дает однородную функцию степени -1 на внешней площади из R ³ ,

{\ displaystyle Ff (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) = \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}).}

Функция Fƒ : Λ ² R ³ → R согласована с преобразованием Funk, когда ƒ является однородным расширением функции на сфере степени −2, а проективное пространство, ассоциированное с Λ ² R ³ , отождествляется с пространством всех окружностей на сфере сфера. В качестве альтернативы, Λ ² R ³ можно отождествить с R ³ SL (3, R ) -инвариантным образом, и поэтому преобразование Функ F отображает гладкие четные однородные функции степени −2 на R ³ \ {0} в гладкие даже однородные функции степени −1 на R ³ \ {0}.

Приложения

Преобразование Функ-Радона используется в методе Q-Ball для диффузионной МРТ, представленной в ( Tuch 2004 ). Это также связано с телами пересечения в выпуклой геометрии. Позвольте быть звездным телом с радиальной функцией . Тогда пересечение тела И.К. из K имеет радиальную функцию , см ( Gardner 2006 , стр. 305). ${\ Displaystyle К \ подмножество \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {K} ({\ boldsymbol {x}}) = \ max \ {t: t {\ boldsymbol {x}} \ in K \},}$ ${\ Displaystyle х \ в S ^ {d-1}}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {IK} = F \ rho _ {K}}$

Languages

In other projects