Сферические гармоники - Spherical harmonics

В математике и физической науки , сферические гармоники являются специальные функции , определенные на поверхности сферы . Они часто используются при решении уравнений в частных производных во многих областях науки.

Поскольку сферические гармоники образуют полный набор ортогональных функций и, следовательно, ортонормированный базис , каждую функцию, определенную на поверхности сферы, можно записать как сумму этих сферических гармоник. Это похоже на периодические функции, определенные на окружности, которые могут быть выражены как сумма круговых функций (синусов и косинусов) через ряды Фурье . Подобно синусам и косинусам в рядах Фурье, сферические гармоники могут быть организованы по (пространственной) угловой частоте , как показано в строках функций на иллюстрации справа. Кроме того, сферические гармоники являются базисными функциями для неприводимых представлений о SO (3) , в группе вращений в трех измерениях, и , таким образом , играют центральную роль в группе теоретического обсуждении SO (3).

Сферические гармоники возникают из решения уравнения Лапласа в сферических областях. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармониками. Несмотря на свое название, сферические гармоники принимают наиболее простой вид в декартовой системе координат , где они могут быть определены как однородные многочлены от степени в послушных уравнениях Лапласа. Связь со сферическими координатами возникает немедленно, если использовать однородность для извлечения коэффициента радиальной зависимости из вышеупомянутого многочлена степени ; оставшийся фактор можно рассматривать как функцию сферических угловых координат и только или, что эквивалентно, единичного вектора ориентации, определяемого этими углами. В этом случае их можно рассматривать как угловую часть набора решений уравнения Лапласа в трех измерениях, и эта точка зрения часто используется как альтернативное определение. ${\ displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle (х, у, г)}$${\ displaystyle r ^ {\ ell}}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

Конкретный набор сферических гармоник, обозначаемый или , известен как сферические гармоники Лапласа, поскольку они были впервые введены Пьером Симоном де Лапласом в 1782 году. Эти функции образуют ортогональную систему и, таким образом, являются базовыми для разложения общей функции на сфера, как указано выше. ${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}$${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} ({\ mathbf {r}})}$

Сферические гармоники важны во многих теоретических и практических приложениях, включая представление мультипольных электростатических и электромагнитных полей , электронных конфигураций , гравитационных полей , геоидов , магнитных полей планетных тел и звезд, а также космического микроволнового фонового излучения . В трехмерной компьютерной графике сферические гармоники играют роль в широком спектре тем, включая непрямое освещение ( окружающее затенение , глобальное освещение , предварительно вычисленная передача сияния и т. Д.) И моделирование трехмерных форм.

История

Сферические гармоники были впервые исследованы в связи с ньютоновским потенциалом в законе Ньютона всемирного тяготения в трех измерениях. В 1782 году Пьер-Симон де Лаплас в своей книге Mécanique Céleste определил, что гравитационный потенциал в точке x, связанной с набором точечных масс m _i, расположенных в точках x _i, определяется выражением ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} {\ frac {m_ {i}} {| \ mathbf {x} _ {i} - \ mathbf {x} |}}.}$

Каждый член в приведенном выше суммировании представляет собой индивидуальный ньютоновский потенциал для точечной массы. Незадолго до этого Адриен-Мари Лежандр исследовал разложение ньютоновского потенциала по степеням r = | х | и r ₁ = | х ₁ | . Он обнаружил, что если r ≤ r _1, то

${\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {x} _ {1} - \ mathbf {x} |}} = P_ {0} (\ cos \ gamma) {\ frac {1} {r_ {1} }}} + P_ {1} (\ cos \ gamma) {\ frac {r} {r_ {1} ^ {2}}} + P_ {2} (\ cos \ gamma) {\ frac {r ^ {2 }} {r_ {1} ^ {3}}} + \ cdots}$

где γ - угол между векторами x и x ₁ . Функции являются полиномами Лежандра , и их можно вывести как частный случай сферических гармоник. Впоследствии в своих мемуарах 1782 года Лаплас исследовал эти коэффициенты, используя сферические координаты, чтобы представить угол γ между x ₁ и x . ( Более подробный анализ см. В разделе « Применение полиномов Лежандра в физике» .) ${\ displaystyle P_ {i}: [- 1,1] \ to \ mathbb {R}}$

В 1867 году Уильям Томсон (лорд Кельвин) и Питер Гатри Тейт ввели твердые сферические гармоники в своем « Трактате о естественной философии» , а также впервые ввели название «сферические гармоники» для этих функций. В твердых гармоники были однородными полиномиальные решения из уравнения Лапласа${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + { \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial z ^ {2}}} = 0.}$

Изучив уравнение Лапласа в сферических координатах, Томсон и Тейт восстановили сферические гармоники Лапласа. (См. Раздел ниже, «Гармоническое полиномиальное представление».) Термин «коэффициенты Лапласа» был использован Уильямом Уэвеллом для описания конкретной системы решений, введенных в соответствии с этими направлениями, тогда как другие зарезервировали это обозначение для зональных сферических гармоник , которые должным образом были введен Лапласом и Лежандром.

Развитие ряда Фурье в 19 веке сделало возможным решение широкого круга физических задач в прямоугольных областях, таких как решение уравнения теплопроводности и волнового уравнения . Это может быть достигнуто путем разложения функций в ряды тригонометрических функций . В то время как тригонометрические функции в ряду Фурье представляют основные моды колебаний в струне , сферические гармоники представляют основные моды колебаний сферы во многом таким же образом. Многие аспекты теории рядов Фурье можно обобщить, взяв разложения по сферическим гармоникам, а не по тригонометрическим функциям. Более того, аналогично тому, как тригонометрические функции могут быть эквивалентно записаны как комплексные экспоненты , сферические гармоники также обладали эквивалентной формой как комплексные функции. Это было благом для задач, обладающих сферической симметрией , таких как задачи небесной механики, первоначально изучаемые Лапласом и Лежандром.

Преобладание сферических гармоник уже в физике подготовило почву для их дальнейшего значения в зарождении квантовой механики в 20 веке . (Комплексные) сферические гармоники являются собственными функциями квадрата оператора орбитального углового момента${\ Displaystyle S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle -i \ hbar \ mathbf {r} \ times \ nabla,}$

и поэтому они представляют различные квантованные конфигурации атомных орбиталей .

Сферические гармоники Лапласа

Уравнение Лапласа требует, чтобы лапласиан скалярного поля f был равен нулю. (Здесь скалярное поле понимается как комплексное, т.е. соответствующее (гладкой) функции .) В сферических координатах это: ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac { \ partial f} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} = 0.}$

Рассмотрим задачу поиска решений вида f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) . При разделении переменных , два дифференциальных уравнений приводят налагая уравнению Лапласа:

${\ displaystyle {\ frac {1} {R}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ right) = \ lambda, \ qquad {\ frac {1} {Y}} {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial Y} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {Y}} {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} Y} {\ partial \ varphi ^ {2}}} = - \ lambda.}$

Второе уравнение можно упростить, если предположить, что Y имеет вид Y ( θ , φ ) = Θ ( θ ) Φ ( φ ) . Повторное применение разделения переменных ко второму уравнению уступает место паре дифференциальных уравнений

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Phi}} {\ frac {d ^ {2} \ Phi} {d \ varphi ^ {2}}} = - m ^ {2}}$

${\ displaystyle \ lambda \ sin ^ {2} \ theta + {\ frac {\ sin \ theta} {\ Theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ right) = m ^ {2}}$

для некоторого числа m . Априори m - комплексная константа, но поскольку Φ должна быть периодической функцией , период которой делит 2 π , m обязательно является целым числом, а Φ - линейной комбинацией комплексных экспонент e ^{± imφ} . Функция решения Y ( θ , φ ) регулярна в полюсах сферы, где θ = 0, π . Наложение этой регулярности в решение Θ второго уравнения в граничных точках области представляет собой задачу Штурма – Лиувилля , вынуждающую параметр λ иметь вид λ = ℓ ( ℓ + 1) для некоторого неотрицательного целого числа с ℓ ≥ | м | ; это также объясняется ниже с точки зрения орбитального углового момента . Кроме того, замена переменных t = cos θ преобразует это уравнение в уравнение Лежандра , решение которого кратно соответствующему многочлену Лежандра P^м
_ℓ(cos θ ) . Наконец, уравнение для R имеет решения вида R ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{- ℓ - 1} ; Требование, чтобы решение было регулярным по всему R ^3, вынуждает B = 0 .

Здесь предполагалось, что решение имеет специальный вид Y ( θ , φ ) = Θ ( θ ) Φ ( φ ) . Для данного значения ℓ существует 2 ℓ + 1 независимых решений этой формы, по одному для каждого целого числа m с - ℓ ≤ m ≤ ℓ . Эти угловые решения являются продуктом тригонометрических функций , представленных здесь в виде комплексной экспоненты , и связанных полиномов Лежандра: ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = Ne ^ {im \ varphi} P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos {\ theta})}$

которые выполняют

${\ displaystyle r ^ {2} \ nabla ^ {2} Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = - \ ell (\ ell +1) Y _ {\ ell} ^ {m} ( \ theta, \ varphi).}$

Здесь называется сферической гармонической функцией степени л и порядка т , это связанно полином Лежандра , Н является константой нормировки, а θ и ф представляют кошироту и долготы, соответственно. В частности, широта θ или полярный угол варьируется от 0 на Северном полюсе, до π / 2 на экваторе, до π на Южном полюсе, а долгота φ или азимут может принимать все значения с 0 ≤ φ <2 π . При фиксированном целочисленном л , каждое решение Y ( θ , φ ) , , проблемы собственных значений ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m}: [- 1,1] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle Y: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle г ^ {2} \ набла ^ {2} Y = - \ ell (\ ell +1) Y}$

является линейной комбинацией из . Фактически, для любого такого решения r ^ℓ Y ( θ , φ ) является выражением в сферических координатах однородного многочлена, который является гармоническим (см. Ниже ), и поэтому подсчет измерений показывает, что существует 2 ℓ + 1 линейно независимых таких многочленов. . ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {C}}$

Общее решение для уравнения Лапласа в шаре с центром в начале координат является линейной комбинацией сферических гармонических функций , умноженных на соответствующий масштабный фактор г ^л , ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ Delta f = 0}$

${\ displaystyle f (r, \ theta, \ varphi) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} f _ {\ ell} ^ { m} r ^ {\ ell} Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi),}$

где - константы, а множители r ^ℓ Y _ℓ ^m известны как ( регулярные ) сплошные гармоники . Такое расширение справедливо в шаре${\ displaystyle f _ {\ ell} ^ {m} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle r <R = {\ frac {1} {\ limsup _ {\ ell \ to \ infty} | f _ {\ ell} ^ {m} | ^ {{1} / {\ ell}}}}. }$

Для вместо этого выбираются сплошные гармоники с отрицательными степенями ( нерегулярные сплошные гармоники ). В этом случае необходимо расширить решение известных областей в ряду Лорана (about ) вместо ряда Тейлора (about ), использованного выше, чтобы согласовать термины и найти коэффициенты разложения ряда . ${\ displaystyle r> R}$${\ displaystyle r}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ setminus \ {\ mathbf {0} \} \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle г = \ infty}$${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle f _ {\ ell} ^ {m} \ in \ mathbb {C}}$

Орбитальный угловой момент

В квантовой механике сферические гармоники Лапласа понимаются в терминах орбитального углового момента.

${\ displaystyle \ mathbf {L} = -i \ hbar (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {\ nabla}) = L_ {x} \ mathbf {i} + L_ {y} \ mathbf {j} + L_ {z} \ mathbf {k}.}$

Знак ħ является обычным в квантовой механике; удобно работать в единицах, в которых ħ = 1 . Сферические гармоники являются собственными функциями квадрата орбитального углового момента.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} ^ {2} & = - r ^ {2} \ nabla ^ {2} + \ left (r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} +1 \ right) r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \\ & = - {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta} } \ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} - {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ частичный \ varphi ^ {2}}}. \ end {выровненный}}}$

Сферические гармоники Лапласа являются совместными собственными функциями квадрата орбитального углового момента и генератора вращений вокруг азимутальной оси:

${\ displaystyle {\ begin {align} L_ {z} & = - i \ left (x {\ frac {\ partial} {\ partial y}} - y {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ справа) \\ & = - i {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}}. \ end {align}}}$

Эти операторы коммутируют и представляют собой плотно определенные самосопряженные операторы на весовом гильбертовом пространстве функций f, интегрируемых с квадратом относительно нормального распределения как весовая функция на R ³ :

${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {3/2}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} | f (x) | ^ {2} e ^ { - | x | ^ {2} / 2} \, dx <\ infty.}$

Кроме того, L ² - положительный оператор .

Если Y представляет собой совместную собственная функция L ² и L _г , то по определению

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} ^ {2} Y & = \ lambda Y \\ L_ {z} Y & = mY \ end {align}}}$

для некоторых действительных чисел m и λ . Здесь m на самом деле должно быть целым числом, так как Y должно быть периодическим по координате φ с периодом, равным числу, которое равномерно делит 2 π . Кроме того, поскольку

${\ displaystyle \ mathbf {L} ^ {2} = L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}}$

и каждая из L _x , L _y , L _z самосопряжена, отсюда следует, что λ ≥ m ² .

Обозначим это совместное собственное подпространство через E _{λ , m} и определим повышающие и понижающие операторы через

${\ Displaystyle {\ begin {выравнивается} L _ {+} & = L_ {x} + iL_ {y} \\ L _ {-} & = L_ {x} -iL_ {y} \ end {выравнивается}}}$

Тогда L ₊ и L _- коммутируют с L ² , и алгебра Ли, порожденная L ₊ , L _- , L _z, является специальной линейной алгеброй Ли порядка 2`` с коммутационными соотношениями ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle [L_ {z}, L _ {+}] = L _ {+}, \ quad [L_ {z}, L _ {-}] = - L _ {-}, \ quad [L _ {+}, L_ { -}] = 2L_ {z}.}$

Таким образом, L ₊  : E _{λ , m} → E _{λ , m +1} (это «повышающий оператор») и L _-  : E _{λ , m} → E _{λ , m −1} (это «понижающий оператор»). В частности, L^k
₊ : E _{λ , m} → E _{λ , m + k} должно быть равно нулю при достаточно большом k , поскольку неравенство λ  ≥  m ² должно выполняться в каждом из нетривиальных совместных собственных подпространств. Пусть Y  ∈  E _{λ , m} - ненулевая совместная собственная функция, и пусть k - наименьшее целое число такое, что

${\ displaystyle L _ {+} ^ {k} Y = 0.}$

Тогда, поскольку

${\ Displaystyle L _ {-} L _ {+} = \ mathbf {L} ^ {2} -L_ {z} ^ {2} -L_ {z}}$

следует, что

${\ displaystyle 0 = L _ {-} L _ {+} ^ {k} Y = (\ lambda - (m + k) ^ {2} - (m + k)) Y.}$

Таким образом, λ = ℓ ( ℓ + 1) для натурального числа ℓ = m + k .

Все вышесказанное было разработано в сферическом координатном представлении, но может быть выражено более абстрактно в полном ортонормированном сферическом кет-базисе . ${\ Displaystyle \ langle \ theta, \ phi | lm \ rangle = Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ phi)}$

Гармоническое полиномиальное представление

Сферические гармоники можно выразить как ограничение на единичную сферу некоторых полиномиальных функций . В частности, мы говорим , что (комплекснозначная) полиномиальная функция является однородной степенью , если ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle p: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ ell}$

${\ Displaystyle p (\ lambda \ mathbf {x}) = \ lambda ^ {\ ell} p (\ mathbf {x})}$

для всех действительных чисел и всего . Мы говорим , что является гармоническим , если ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ Delta p = 0,}$

где - лапласиан . Затем для каждого определим ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ ell}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ ell} = \ left \ {{\ text {гармонические многочлены}} \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {C} {\ text {, которые однородны степень}} \ ell \ right \}.}$

Например, когда , - это просто трехмерное пространство всех линейных функций , поскольку любая такая функция автоматически является гармонической. Между тем, когда у нас есть 5-мерное пространство: ${\ displaystyle \ ell = 1}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ ell = 2}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {2} = \ operatorname {span} _ {\ mathbb {C}} (x_ {1} x_ {2}, \, x_ {1} x_ {3}, \, x_ {2} x_ {3}, \, x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2}, \, x_ {1} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}).}$

Для любого пространство сферических гармоник степени - это просто пространство ограничений на сферу элементов . Как было предложено во введении, эта перспектива, по-видимому, является источником термина «сферическая гармоника» (т. Е. Ограничение сферой гармонической функции ). ${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {\ ell}}$${\ displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ ell}}$

Например, для любой формулы ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle p (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = c (x_ {1} + ix_ {2}) ^ {\ ell}}$

определяет однородный многочлен степени с областью определения и областью области , которая не зависит от . Легко видеть, что этот многочлен гармоничен. Если мы запишем в сферических координатах, а затем ограничимся до , получим ${\ displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle x_ {3}}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle (г, \ тета, \ фи)}$${\ displaystyle r = 1}$

${\ Displaystyle п (\ тета, \ фи) = с \ грех (\ тета) ^ {\ ell} (\ соз (\ фи) + я \ грех (\ фи)) ^ {\ ell},}$

который можно переписать как

${\ Displaystyle p (\ theta, \ phi) = c \ left ({\ sqrt {1- \ cos ^ {2} (\ theta)}} \ right) ^ {\ ell} e ^ {i \ ell \ phi }.}$

После использования формулы для связанного полинома Лежандра мы можем распознать ее как формулу для сферической гармоники (см. Раздел ниже, посвященный частным случаям сферических гармоник). ${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {\ ell}}$${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {\ ell} (\ theta, \ phi).}$

Условные обозначения

Ортогональность и нормализация

Для сферических гармонических функций Лапласа обычно используется несколько различных нормализаций . В этом разделе мы используем стандартное соглашение о том, что для (см. Соответствующие многочлены Лежандра ) ${\ Displaystyle S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle m> 0}$

${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell} ^ {м}}$

что является естественной нормализацией, задаваемой формулой Родригеса.

В акустике сферические гармоники Лапласа обычно определяются как (это соглашение, используемое в этой статье)

${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {{\ frac {(2 \ ell +1)} {4 \ pi}} {\ frac {(\ ell - m)!} {(\ ell + m)!}}} \, P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos {\ theta}) \, e ^ {im \ varphi}}$

а в квантовой механике :

${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = (- 1) ^ {m} {\ sqrt {{\ frac {(2 \ ell +1)} {4 \ pi}} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}}}} \, P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos {\ theta}) \, e ^ {im \ varphi}}$

где связаны полиномы Лежандра без фазы Кондона – Шортли (чтобы избежать двойного счета фазы). ${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m}}$

В обоих определениях сферические гармоники ортонормированы.

${\ displaystyle \ int _ {\ theta = 0} ^ {\ pi} \ int _ {\ varphi = 0} ^ {2 \ pi} Y _ {\ ell} ^ {m} \, Y _ {\ ell '} ^ {m '} {} ^ {*} \, d \ Omega = \ delta _ {\ ell \ ell'} \, \ delta _ {mm '},}$

где δ _ij - символ Кронекера, а d Ω = sin ( θ ) dφ dθ . Эта нормализация используется в квантовой механике, поскольку она обеспечивает нормализацию вероятности, т. Е.

${\ displaystyle \ int {| Y _ {\ ell} ^ {m} | ^ {2} d \ Omega} = 1.}$

Дисциплины геодезии и спектрального анализа используют

${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {{(2 \ ell +1)} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}}}} \, P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos {\ theta}) \, e ^ {im \ varphi}}$

которые обладают единичной мощностью

${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ theta = 0} ^ {\ pi} \ int _ {\ varphi = 0} ^ {2 \ pi} Y _ {\ ell} ^ {m} \, Y _ {\ ell '} ^ {m'} {} ^ {*} d \ Omega = \ delta _ {\ ell \ ell '} \, \ delta _ {mm'}.}$

Магнетизм сообщество, напротив, использует Schmidt полу нормированных гармоник

${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}}} \, P_ { \ ell} ^ {m} (\ cos {\ theta}) \, e ^ {im \ varphi}}$

которые имеют нормализацию

${\ displaystyle \ int _ {\ theta = 0} ^ {\ pi} \ int _ {\ varphi = 0} ^ {2 \ pi} Y _ {\ ell} ^ {m} \, Y _ {\ ell '} ^ {m '} {} ^ {*} d \ Omega = {\ frac {4 \ pi} {(2 \ ell +1)}} \ delta _ {\ ell \ ell'} \, \ delta _ {мм ' }.}$

В квантовой механике эта нормализация также иногда используется и называется нормализацией Рака в честь Джулио Рака .

Можно показать, что все указанные выше нормированные сферические гармонические функции удовлетворяют

${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} {} ^ {*} (\ theta, \ varphi) = (- 1) ^ {m} Y _ {\ ell} ^ {- m} (\ theta, \ varphi ),}$

где верхний индекс * означает комплексное сопряжение. В качестве альтернативы это уравнение следует из связи сферических гармонических функций с D-матрицей Вигнера .

Фаза Кондона – Шортли

Один из источников путаницы с определением сферических гармонических функций касается фазового множителя (-1) ^m , обычно называемого фазой Кондона – Шортли в квантовой литературе. В сообществе квантовой механики принято либо включать этот фазовый множитель в определение связанных полиномов Лежандра , либо добавлять его в определение сферических гармонических функций. Нет необходимости использовать фазу Кондона – Шортли при определении сферических гармонических функций, но ее включение может упростить некоторые квантово-механические операции, особенно применение повышающих и понижающих операторов . Сообщества геодезистов и магнетиков никогда не включают фазовый фактор Кондона – Шортли ни в свои определения сферических гармонических функций, ни в определения связанных полиномов Лежандра.

Реальная форма

Реальную основу сферических гармоник можно определить в терминах их сложных аналогов , задав ${\ displaystyle Y _ {\ ell m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$

Соглашение о фазах Кондона – Шортли используется здесь для единообразия. Соответствующие обратные уравнения, определяющие комплексные сферические гармоники в терминах реальных сферических гармоник, следующие : ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle Y _ {\ ell m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$

Настоящие сферические гармоники иногда называют тессеральными сферическими гармониками . Эти функции обладают теми же свойствами ортонормированности, что и комплексные функции, описанные выше. Действительные сферические гармоники с m  > 0 называются косинусоидальными, а с m  <0 - синусоидальными. Причину этого можно увидеть, записав функции в терминах полиномов Лежандра как ${\ displaystyle Y _ {\ ell m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle Y _ {\ ell m}}$

Те же коэффициенты синуса и косинуса также можно увидеть в следующем подразделе, который имеет дело с декартовым представлением.

См. Здесь список реальных сферических гармоник до включительно , которые, как видно, согласуются с выходными данными приведенных выше уравнений. ${\ displaystyle \ ell = 4}$

Использование в квантовой химии

Как известно из аналитических решений для атома водорода, собственные функции угловой части волновой функции являются сферическими гармониками. Однако решения нерелятивистского уравнения Шредингера без магнитных членов могут быть реализованы. Вот почему реальные формы широко используются в базисных функциях квантовой химии, поскольку в этом случае программам не нужно использовать сложную алгебру. Здесь важно отметить, что реальные функции занимают то же пространство, что и сложные.

Например, как видно из таблицы сферических гармоник , обычные функции p ( ) являются комплексными и смешивают направления осей, но настоящие версии по существу - это просто x , y и z . ${\ displaystyle \ ell = 1}$

Сферические гармоники в декартовой форме

Сложные сферические гармоники порождают сплошные гармоники , расширяясь от до всех как однородная функция степени , т. Е. Устанавливая ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ ell}$

${\ Displaystyle R _ {\ ell} ^ {m} (v): = \ | v \ | ^ {\ ell} Y _ {\ ell} ^ {m} ({\ frac {v} {\ | v \ |} })}$

Оказывается, это базис пространства гармонических и однородных многочленов степени . В частности, это (уникальный с точностью до нормализации) базис Гельфанда-Цетлина этого представления вращательной группы, и из этого факта может быть получена явная формула для в декартовых координатах. ${\ displaystyle R _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle SO (3)}$${\ displaystyle R _ {\ ell} ^ {m}}$

Производящая функция Герглотца

Если принять квантово-механическое соглашение , то ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle е ^ {v {\ mathbf {a}} \ cdot {\ mathbf {r}}} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2 \ ell +1}}} {\ frac {r ^ {\ ell} v ^ {\ ell} {\ lambda ^ {m}}} { \ sqrt {(\ ell + m)! (\ ell -m)!}}} Y _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r} / r).}$

Здесь есть вектор с компонентами , и ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ Displaystyle (х, у, г) \ в \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle г = | \ mathbf {г} |}$

${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = {\ mathbf {\ hat {z}}} - {\ frac {\ lambda} {2}} \ left ({\ mathbf {\ hat {x}}} + я {\ mathbf {\ hat {y}}} \ right) + {\ frac {1} {2 \ lambda}} \ left ({\ mathbf {\ hat {x}}} -i {\ mathbf {\ hat { y}}} \ right)}$

вектор с комплексными коэффициентами. Достаточно взять и в качестве реальных параметров. Существенным свойством является то, что он равен нулю: ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = 0.}$

Называя эту производящую функцию в честь Герглотца , мы следуем за Курантом и Гильбертом 1962 , §VII.7, которые приписывают его открытие неопубликованным заметкам.

По существу, все свойства сферических гармоник могут быть получены из этой производящей функции. Непосредственная выгода этого определения является то , что если вектор заменяется квантово - механический вектор спина оператор , такого , что является оператор аналог твердой гармоники , получает производящую функции для стандартизованного набора сферических тензорных операторов , : ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {J}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}} _ {\ ell} ^ {m} ({\ mathbf {J}})}$ ${\ Displaystyle г ^ {\ ell} Y _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r} / r)}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}} _ {\ ell} ^ {m} ({\ mathbf {J}})}$

${\ Displaystyle е ^ {v {\ mathbf {a}} \ cdot {\ mathbf {J}}} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2 \ ell +1}}} {\ frac {v ^ {\ ell} {\ lambda ^ {m}}} {\ sqrt {(\ ell + m)! (\ ell -m)!}}} {\ mathcal {Y}} _ {\ ell} ^ {m} ({\ mathbf {J}}).}$

Параллелизм двух определений гарантирует, что преобразование 'при поворотах (см. Ниже) таким же образом, как и ' s, что, в свою очередь, гарантирует, что они являются сферическими тензорными операторами , с и , подчиняясь всем свойствам таких операторов, такие как теорема Клебша-Гордана о композиции и теорема Вигнера-Эккарта . Более того, они представляют собой стандартизованный набор с фиксированной шкалой или нормализацией. ${\ displaystyle {\ mathcal {Y}} _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle T_ {q} ^ {(k)}}$${\ Displaystyle к = {\ ell}}$${\ displaystyle q = m}$

Разделенная декартова форма

Определение Герглотца дает многочлены, которые при желании могут быть далее разложены на многочлен от и , как показано ниже (фаза Кондона – Шортли): ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle r ^ {\ ell} \, {\ begin {pmatrix} Y _ {\ ell} ^ {m} \\ Y _ {\ ell} ^ {- m} \ end {pmatrix}} = \ left [{\ frac {2 \ ell +1} {4 \ pi}} \ right] ^ {1/2} {\ bar {\ Pi}} _ {\ ell} ^ {m} (z) {\ begin {pmatrix} \ left (-1 \ right) ^ {m} (A_ {m} + iB_ {m}) \\ (A_ {m} -iB_ {m}) \ end {pmatrix}}, \ qquad m> 0.}$

а при m = 0:

${\ displaystyle r ^ {\ ell} \, Y _ {\ ell} ^ {0} \ Equiv {\ sqrt {\ frac {2 \ ell +1} {4 \ pi}}} {\ bar {\ Pi}} _ {\ ell} ^ {0}.}$

Здесь

${\ displaystyle A_ {m} (x, y) = \ sum _ {p = 0} ^ {m} {\ binom {m} {p}} x ^ {p} y ^ {mp} \ cos \ left ( (mp) {\ frac {\ pi} {2}} \ right),}$

${\ displaystyle B_ {m} (x, y) = \ sum _ {p = 0} ^ {m} {\ binom {m} {p}} x ^ {p} y ^ {mp} \ sin \ left ( (mp) {\ frac {\ pi} {2}} \ right),}$

а также

${\ displaystyle {\ bar {\ Pi}} _ {\ ell} ^ {m} (z) = \ left [{\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} \ right] ^ {1/2} \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor (\ ell -m) / 2 \ right \ rfloor} (- 1) ^ {k} 2 ^ {- \ ell} {\ binom {\ ell} {k}} {\ binom {2 \ ell -2k} {\ ell}} {\ frac {(\ ell -2k)!} {(\ ell -2k-m)!}} \; r ^ {2k} \; z ^ {\ ell -2k-m}.}$

Для этого сводится к ${\ displaystyle m = 0}$

${\ displaystyle {\ bar {\ Pi}} _ {\ ell} ^ {0} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor \ ell / 2 \ right \ rfloor} (- 1 ) ^ {k} 2 ^ {- \ ell} {\ binom {\ ell} {k}} {\ binom {2 \ ell -2k} {\ ell}} \; r ^ {2k} \; z ^ { \ ell -2k}.}$

Фактор по существу является ассоциированным полиномом Лежандра , а факторы - по существу . ${\ displaystyle {\ bar {\ Pi}} _ {\ ell} ^ {m} (z)}$${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ соз \ theta)}$${\ displaystyle (A_ {m} \ pm iB_ {m})}$${\ displaystyle e ^ {\ pm im \ varphi}}$

Примеры

Используя явно указанные выше выражения для , и, получаем: ${\ displaystyle {\ bar {\ Pi}} _ {\ ell} ^ {m} (z)}$${\ Displaystyle А_ {м} (х, у)}$${\ Displaystyle B_ {m} (х, у)}$

${\ displaystyle Y_ {3} ^ {1} = - {\ frac {1} {r ^ {3}}} \ left [{\ tfrac {7} {4 \ pi}} \ cdot {\ tfrac {3} {16}} \ right] ^ {1/2} \ left (5z ^ {2} -r ^ {2} \ right) \ left (x + iy \ right) = - \ left [{\ tfrac {7} {4 \ pi}} \ cdot {\ tfrac {3} {16}} \ right] ^ {1/2} \ left (5 \ cos ^ {2} \ theta -1 \ right) \ left (\ sin \ тета е ^ {я \ varphi} \ right)}$

${\ displaystyle Y_ {4} ^ {- 2} = {\ frac {1} {r ^ {4}}} \ left [{\ tfrac {9} {4 \ pi}} \ cdot {\ tfrac {5} {32}} \ right] ^ {1/2} \ left (7z ^ {2} -r ^ {2} \ right) \ left (x-iy \ right) ^ {2} = \ left [{\ tfrac {9} {4 \ pi}} \ cdot {\ tfrac {5} {32}} \ right] ^ {1/2} \ left (7 \ cos ^ {2} \ theta -1 \ right) \ left ( \ sin ^ {2} \ theta e ^ {- 2i \ varphi} \ right)}$

Можно проверить, что это соответствует функциям, перечисленным здесь и здесь .

Реальные формы

Используя приведенные выше уравнения для формирования реальных сферических гармоник, видно, что включены только члены (косинусы) и только члены (синусы): ${\ displaystyle m> 0}$${\ displaystyle A_ {m}}$${\ displaystyle m <0}$${\ displaystyle B_ {m}}$

${\ displaystyle r ^ {\ ell} \, {\ begin {pmatrix} Y _ {\ ell m} \\ Y _ {\ ell -m} \ end {pmatrix}} = {\ sqrt {\ frac {2 \ ell + 1} {2 \ pi}}} {\ bar {\ Pi}} _ {\ ell} ^ {m} (z) {\ begin {pmatrix} A_ {m} \\ B_ {m} \ end {pmatrix} }, \ qquad m> 0.}$

а при m = 0:

${\ displaystyle r ^ {\ ell} \, Y _ {\ ell 0} \ Equiv {\ sqrt {\ frac {2 \ ell +1} {4 \ pi}}} {\ bar {\ Pi}} _ {\ ell} ^ {0}.}$

Особые случаи и ценности

1. Когда сферические гармоники сводятся к обычным полиномам Лежандра :${\ displaystyle m = 0}$${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$
   $${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {0} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {2 \ ell +1} {4 \ pi}}} P _ {\ ell} (\ cos \ theta ).}$$

   
2. Когда ,${\ displaystyle m = \ pm \ ell}$
   $${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {\ pm \ ell} (\ theta, \ varphi) = {\ frac {(\ mp 1) ^ {\ ell}} {2 ^ {\ ell} \ ell!}} {\ sqrt {\ frac {(2 \ ell +1)!} {4 \ pi}}} \ sin ^ {\ ell} \ theta \, e ^ {\ pm i \ ell \ varphi},}$$

   
   или проще в декартовых координатах,
   $${\ displaystyle r ^ {\ ell} Y _ {\ ell} ^ {\ pm \ ell} ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {(\ mp 1) ^ {\ ell}} {2 ^ { \ ell} \ ell!}} {\ sqrt {\ frac {(2 \ ell +1)!} {4 \ pi}}} (x \ pm iy) ^ {\ ell}.}.}$$

   
3. На северном полюсе, где и не определено, все сферические гармоники, кроме гармоник с нулем:${\ displaystyle \ theta = 0}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle m = 0}$
   $${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (0, \ varphi) = Y _ {\ ell} ^ {m} ({\ mathbf {z}}) = {\ sqrt {\ frac {2 \ ell +1 } {4 \ pi}}} \ delta _ {m0}.}$$

   

Свойства симметрии

Сферические гармоники обладают глубокими и последовательными свойствами при операциях пространственной инверсии (четности) и вращения.

Паритет

Сферические гармоники имеют определенную четность. То есть они либо четны, либо нечетны по отношению к инверсии относительно начала координат. Инверсия представлена ​​оператором . Затем, как можно увидеть разными способами (возможно, наиболее просто из производящей функции Герглотца), будучи единичным вектором, ${\ Displaystyle P \ Psi (\ mathbf {r}) = \ Psi (- \ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (- \ mathbf {r}) = (- 1) ^ {\ ell} Y _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r}).}$

Что касается сферических углов, четность преобразует точку с координатами в . Тогда утверждение о четности сферических гармоник имеет вид ${\ displaystyle \ {\ theta, \ phi \}}$${\ Displaystyle \ {\ пи - \ тета, \ пи + \ фи \}}$

${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ phi) \ rightarrow Y _ {\ ell} ^ {m} (\ pi - \ theta, \ pi + \ phi) = (- 1) ^ { \ ell} Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ phi)}$

(Это можно увидеть следующим образом: ассоциированные полиномы Лежандра дают (−1) ^{ℓ + m,} а из экспоненциальной функции мы имеем (−1) ^m , что вместе дает для сферических гармоник четность (−1) ^ℓ .)

Четность продолжает удерживать для реальных сферических гармоник, так и для сферических гармоник в высших измерениях: применение отражения точки к сферической гармонике степени л меняет знак с коэффициентом (-1) ^л .

Вращения

Рассмотрим поворот вокруг начала координат , который посылает единичный вектор в . При этой операции сферическая гармоника степени и порядка преобразуется в линейную комбинацию сферических гармоник той же степени. То есть, ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} ({\ mathbf {r}} ') = \ sum _ {m' = - \ ell} ^ {\ ell} A_ {mm '} Y _ {\ ell} ^ {m '} ({\ mathbf {r}}),}$

где - матрица порядка , зависящая от поворота . Однако это не стандартный способ выражения этого свойства. Стандартно пишут: ${\ displaystyle A_ {мм '}}$${\ displaystyle (2 \ ell +1)}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} ({\ mathbf {r}} ') = \ sum _ {m' = - \ ell} ^ {\ ell} [D_ {mm '} ^ {(\ ell )} ({\ mathcal {R}})] ^ {*} Y _ {\ ell} ^ {m '} ({\ mathbf {r}}),}$

где - комплексно сопряженный элемент D-матрицы Вигнера . В частности , когда это вращение по азимуту, получаем тождество, ${\ Displaystyle D_ {мм '} ^ {(\ ell)} ({\ mathcal {R}}) ^ {*}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$${\ displaystyle \ phi _ {0}}$

${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} ({\ mathbf {r}} ') = Y _ {\ ell} ^ {m} ({\ mathbf {r}}) e ^ {im \ phi _ {0 }}.}$

Вращательное поведение сферических гармоник, возможно, является их типичной особенностью с точки зрения теории групп. В «ы степени обеспечивает основу набор функций для неприводимого представления группы SO (3) размерности . Многие факты о сферических гармониках (например, теорема сложения), которые кропотливо доказываются с использованием методов анализа, получают более простые доказательства и более глубокое значение с использованием методов симметрии. ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle (2 \ ell +1)}$

Разложение по сферическим гармоникам

Сферические гармоники Лапласа образуют полный набор ортогональных функций и , таким образом , образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве с квадратом функций , интегрируемых . Таким образом, на единичной сфере любую интегрируемую с квадратом функцию можно разложить в виде их линейной комбинации: ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle L _ {\ mathbb {C}} ^ {2} (S ^ {2})}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle f: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} f _ {\ ell} ^ {m} \, Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi).}$

Это разложение справедливо в смысле среднеквадратической сходимости - сходимость в L ² сферы - который должен сказать , что

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left | f (\ theta, \ varphi) - \ sum _ {\ ell = 0} ^ {N} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} f _ {\ ell} ^ {m} Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi ) \ right | ^ {2} \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ varphi = 0.}$

Коэффициенты разложения являются аналогами коэффициентов Фурье и могут быть получены путем умножения вышеуказанного уравнения на комплексно сопряженное значение сферической гармоники, интегрирования по телесному углу Ω и использования вышеуказанных соотношений ортогональности. Это строго подтверждается основной теорией гильбертова пространства. В случае ортонормированных гармоник это дает:

${\ displaystyle f _ {\ ell} ^ {m} = \ int _ {\ Omega} f (\ theta, \ varphi) \, Y _ {\ ell} ^ {m *} (\ theta, \ varphi) \, d \ Omega = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0} ^ {\ pi} \, d \ theta \, \ sin \ theta f (\ theta, \ varphi) Y_ { \ ell} ^ {m *} (\ theta, \ varphi).}$

Если коэффициенты распадаться л достаточно быстро - например, в геометрической прогрессии - то ряд также сходится равномерно к F .

Функция, интегрируемая с квадратом, также может быть разложена по действительным гармоникам, указанным выше, в виде суммы ${\ displaystyle f: S ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle Y _ {\ ell m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} f _ {\ ell m} \, Y_ {\ ell m} (\ theta, \ varphi).}$

Сходимость ряда снова имеет место в том же смысле, а именно реальные сферические гармоники образуют полный набор ортогональных функций и , таким образом , образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве с квадратом функций , интегрируемых . Преимущество разложения в терминах реальных гармонических функций состоит в том, что для реальных функций коэффициенты разложения гарантированно являются действительными, тогда как их коэффициенты в их разложении в терминах (рассматривая их как функции ) не обладают этим свойством. ${\ displaystyle Y _ {\ ell m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle L _ {\ mathbb {R}} ^ {2} (S ^ {2})}$${\ displaystyle Y _ {\ ell m}}$${\ displaystyle f: S ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f _ {\ ell m}}$${\ displaystyle f _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle f: S ^ {2} \ to \ mathbb {C} \ supset \ mathbb {R}}$

Гармонические тензоры

Формула

Как правило, гармонические функции полезны в теоретической физике для рассмотрения полей в дальней зоне, когда расстояние до зарядов намного больше, чем размер их местоположения. В этом случае радиус R постоянен, а координаты ( θ , φ ) удобны в использовании. Теоретическая физика рассматривает множество задач, когда необходимо решение уравнения Лапласа как функции декартовых координат. При этом важно получить инвариантный вид решений относительно вращения пространства или, вообще говоря, относительно групповых преобразований. Простейшие тензорные решения - дипольный, квадрупольный и октупольный потенциалы - являются фундаментальными понятиями общей физики:

${\ displaystyle {\ begin {align} T_ {i} ^ {(1)} = x_ {i}, \\ T_ {ik} ^ {(2)} = 3x {_ {i}} x {_ {k }} - \ delta _ {ik} r ^ {2}, \\ T_ {ikn} ^ {(3)} = 15x {_ {i}} x {_ {k}} x {_ {n}} - 3 \ delta _ {ik} {r ^ {2}} x {_ {n}} - 3 \ delta _ {kn} {r ^ {2}} x {_ {i}} - 3 \ delta _ {ni } {r ^ {2}} x {_ {k}}. \ end {align}}}$

Легко проверить, что это гармонические функции. Полный набор тензоров определяется рядом Тейлора потенциала поля точечного заряда для : ${\ displaystyle r_ {0} <r}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ left | {\ boldsymbol {rr}} {_ {0}} \ right |}} = \ sum _ {l} (- 1) ^ {l} {\ frac { {({\ boldsymbol {r_ {0}}} \ nabla)} ^ {l}} {l!}} {\ frac {1} {r}} = \ sum _ {l} {\ frac {x_ {0i) } \ ldots x_ {0k}} {l! \, r ^ {2l + 1}}} T_ {i \ ldots k} ^ {(l)} ({\ boldsymbol {r}}) = \ sum _ {l } {\ frac {\ left [\ otimes {\ boldsymbol {{r_ {0}} ^ {l} T ^ {(l)}}} \ right]} {l! \, r ^ {2l + 1}} },}$

где тензор обозначен символом, а сжатие тензоров заключено в скобки [...]. Следовательно, тензор определяется -й производной тензора: ${\ displaystyle x_ {0i} \ ldots x_ {0k}}$${\ displaystyle \ otimes {\ boldsymbol {r_ {0}}} ^ {l}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}} ^ {(l)}}$${\ displaystyle l}$

${\ displaystyle {\ frac {\ boldsymbol {T ^ {(l)}}} {r ^ {(2l + 1)}}} = (- \ otimes {\ boldsymbol {\ nabla}}) ^ {l} { \ frac {1} {r}}}$

Джеймс Клерк Максвелл естественно использовал аналогичные соображения без тензоров. Э. У. Хобсон также проанализировал метод Максвелла. Из уравнения можно увидеть следующие свойства, которые в основном повторяют свойства твердых и сферических функций.

• Тензор является гармоническим многочленом т .${\ displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {T}} ^ {(l)} = 0}$
• След по каждой паре индексов равен нулю, насколько .${\ textstyle \ Delta {\ frac {1} {r}} = 0}$
• Тензор - это однородный многочлен степени, т.е. сумма степеней переменных x, y, z каждого элемента равна .${\ displaystyle l}$${\ displaystyle l}$
• Тензор имеет инвариантный вид относительно поворотов переменных x, y, z, т.е. вектора .${\ displaystyle \ mathbf {r}}$
• Полный набор потенциалов завершен.${\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {(l)}}$
• Сжатие с тензором пропорционально сжатию двух гармонических потенциалов:${\ Displaystyle \ mathbf {T} ^ {(l)} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ otimes {\ boldsymbol {\ rho}} ^ {l}}$
  $${\ displaystyle \ left [\ mathbf {T} ^ {(l)} (\ mathbf {r}) \ otimes {\ boldsymbol {\ rho}} ^ {l} \ right] = {\ frac {1} {( 2l-1) !!}} \ left [\ mathbf {T} ^ {(l)} (\ mathbf {r}) \ mathbf {T} ^ {(l)} ({\ boldsymbol {\ rho}}) \Правильно]}$$

  

В работе найдена формула гармонического инвариантного тензора. Подробное описание дано в монографии. 4-D гармонические тензоры важны для симметрии Фока, найденной в квантовой кулоновской проблеме. Формула содержит произведения тензоров и символов Кронекера : ${\ displaystyle x_ {i} \ ldots x_ {k} = \ mathbf {\ otimes} r ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ik}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {T} ^ {(l)} = (2l-1) !! \ \ mathbf {(} \ otimes r ^ {l}) - (2l-3) !! \ r ^ {2} \ left \ langle \ otimes \ mathbf {r} ^ {(l-2)} \ otimes {\ mathsf {\ boldsymbol {\ delta}}} ^ {1} \ right \ rangle + (2l-5) !! \ r ^ {4} \ left \ langle \ otimes \ mathbf {r} ^ {(l-4)} \ otimes {\ mathsf {\ boldsymbol {\ delta}}} ^ {2} \ right \ rangle - \ cdots}$

Количество символов Кронекера увеличивается на два в произведении каждого следующего элемента, когда диапазон тензоров соответственно уменьшается на два. Операция симметризует тензор путем суммирования всех независимых перестановок индексов. В частности, каждый не нужно преобразовывать в и тензоры не становятся . ${\ displaystyle x_ {i} \ dots x_ {k}}$${\ displaystyle \ left \ langle \ cdot \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ delta _ {ik}}$${\ displaystyle \ delta _ {ки}}$${\ displaystyle x_ {i} x_ {k}}$${\ displaystyle x_ {k} x_ {i}}$

Эти тензоры удобно подставить в уравнение Лапласа:

${\ displaystyle \ Delta \ left \ langle \ otimes \ mathbf {r} ^ {(l-2k)} \ otimes {\ mathsf {\ boldsymbol {\ delta}}} ^ {k} \ right \ rangle = 2 \ left \ langle \ otimes \ mathbf {r} ^ {(l-2k-2)} \ otimes {\ mathsf {\ boldsymbol {\ delta}}} ^ {(k + 2)} \ right \ rangle, \ quad (\ mathbf {r} \ mathbf {\ nabla}) \ left \ langle \ otimes \ mathbf {r} ^ {(l-2k)} \ otimes {\ mathsf {\ boldsymbol {\ delta}}} ^ {(k)} \ right \ rangle = l \ left \ langle \ otimes \ mathbf {r} ^ {(l-2k)} \ otimes {\ mathsf {\ boldsymbol {\ delta}}} ^ {(k)} \ right \ rangle. }$

Последнее соотношение - это формула Эйлера для однородных многочленов . Оператор Лапласа не влияет на индексную симметрию тензоров. Эти два соотношения позволяют подставить тензор в уравнение Лапласа, чтобы напрямую проверить, является ли тензор гармонической функцией: ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {T} ^ {(l)} = 0.}$

Упрощенные моменты

Последнее свойство важно для теоретической физики по следующей причине. Потенциал зарядов вне их местоположения интеграл, чтобы быть равным сумме мультипольных потенциалов:

${\ displaystyle \ iiint {\ frac {f ({\ boldsymbol {r}})} {\ left || \ mathbf {rr} {_ {0}} \ right |}} \, dx \, dy \, dz = \ sum _ {l} \ iiint f (\ mathbf {r}) \ left [\ mathbf {T} ^ {(l)} (\ mathbf {r}) dx \, dy \, dz {\ frac {\ mathbf {T} ^ {(l)} (\ mathbf {r} _ {0})} {(2l-1) !! \, l! \, r_ {0} ^ {(2l + 1)}}} \Правильно],}$

где - плотность заряда. Свертка применяется к тензорам в формуле естественным образом. Интегралы в сумме называются в физике мультипольными моментами . Три из них используются активно, другие - реже, так как их структура (или сферических функций) более сложна. Тем не менее, последнее свойство позволяет упростить вычисления в теоретической физике за счет использования интегралов с тензором вместо гармонического тензора . Следовательно, упрощенные моменты дают тот же результат, и нет необходимости ограничивать вычисления только для дипольных, квадрупольных и октупольных потенциалов. Это преимущество тензорной точки зрения и не только это. ${\ displaystyle {f} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ otimes}} г ^ {l}}$${\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {(l)}}$

Ефимовский лестничный оператор

Сферические функции имеют несколько рекуррентных формул. В квантовой механике рекуррентные формулы играют роль, когда они связывают функции квантовых состояний с помощью лестничного оператора . Свойство возникает из-за группы симметрии рассматриваемой системы. Оператор векторной лестницы для инвариантных гармонических состояний, найденный в статье и подробно описанный в. ${\ displaystyle \ psi -}$

Для этого применяется преобразование -пространства, сохраняющее форму уравнения Лапласа:${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ rho}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ rho}} = {\ frac {\ \ mathbf {r}} {r ^ {2}}}.}$

Оператор, применяемый к гармоническому тензорному потенциалу в -пространстве, переходит в лестничный оператор Ефимова, действующий на преобразованный тензор в -пространстве: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ rho}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {D}}} = (2 {\ hat {l}} - 1) \ mathbf {r} -r ^ {2} {\ boldsymbol {\ nabla}},}$

где - оператор модуля углового момента : ${\ displaystyle {\ hat {l}}}$

${\ displaystyle {\ hat {l}} = ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {r}).}$

Оператор умножает гармоника тензора его степени т.е. если вспомнить по сферической функции для квантовых чисел , . Чтобы проверить действие оператора лестницы , можно применить его к дипольным и квадрупольным тензорам: ${\ displaystyle {\ hat {l}}}$${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {D}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {D}} _ {i} x_ {k} = 3x_ {i} x_ {k} - \ delta _ {ik},}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {D}} _ {i} x_ {k} x_ {n} = 15x_ {i} x_ {k} x_ {n} -3 \ delta _ {ik} x_ {n} - 3 \ delta _ {kn} x_ {i} -3 \ delta _ {ni} x_ {k},}$

Применяя последовательно к, получаем общий вид инвариантных гармонических тензоров: ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {D}}}$${\ displaystyle \ mathbf {1}}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {(l)} = (\ otimes \ mathbf {\ hat {D}}) ^ {l} \ mathbf {1}.}$

Оператор, аналогичный оператору лестничной диаграммы осциллятора . Чтобы проследить связь с квантовым оператором, полезно умножить его на, чтобы перейти в перевернутое пространство: ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {D}}}$ ${\ displaystyle i \ hbar}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ rho}} = {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {2}}}.}$

В результате оператор переходит в оператор импульса в -пространстве: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ rho}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {D}} \ Rightarrow \ mathbf {\ hat {p}}.}$

Полезно применять следующие свойства . ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {D}}}$

• Коммутатор координатных операторов равен нулю:
  $${\ displaystyle {\ hat {D}} _ {i} {\ hat {D}} _ {k} - {\ hat {D}} _ {k} {\ hat {D}} _ {i} = 0 .}$$

  

Недвижимость удобна для расчетов.

• Скалярное операторное произведение равно нулю в пространстве гармонических функций:
  $${\ Displaystyle {\ шляпа {D}} _ {я} {\ шляпа {D}} _ {я} = {\ шляпа {\ mathbf {D}}} {\ шляпа {\ mathbf {D}}} = г ^ {4} \ Delta.}$$

  

Свойство дает нулевой след гармонического тензора по каждым двум индексам. ${\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {l}}$

Лестничный оператор аналогичен таковому в задаче о квантовом осцилляторе . Он генерирует глауберовские состояния , созданные в квантовой теории полей электромагнитного излучения. Позже в качестве теоретического результата было показано, что когерентные состояния присущи любой квантовой системе с групповой симметрией, включающей вращательную группу.

Инвариантная форма сферических гармоник

Сферические гармоники согласуются с системой координат. Пусть будет на единичные векторы вдоль осей X, Y, Z обозначают следующие единичные векторы , как и : ${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {x}, \ mathbf {n} _ {y}, \ mathbf {n} _ {z}}$${\ Displaystyle \ mathbf {п} _ {+}}$${\ Displaystyle \ \ mathbf {п} _ {-}}$

${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {\ pm} = {\ frac {(\ mathbf {n} _ {x} \ pm i \ mathbf {n} _ {y})} {\ sqrt {2}}} .}$

Используя векторы, сплошные гармоники равны:

${\ displaystyle r ^ {l} Y _ {(l \ pm m)} = C_ {l, m} (\ mathbf {n} _ {z} \ mathbf {\ hat {D)}} ^ {(lm)} (\ mathbf {n} _ {\ pm} \ mathbf {\ hat {D)}} ^ {m} \ mathbf {1} = C_ {l, m} \ left [\ mathbf {M} ^ {(l) } \ otimes \ mathbf {n_ {z}} ^ {(lm)} \ otimes \ mathbf {n _ {\ pm}} ^ {m} \ right]}$

где - постоянная: ${\ displaystyle C_ {l, m}}$

${\ displaystyle C_ {l, m} = {\ frac {2 ^ {m \ setminus 2} {\ sqrt {2l + 1}}} {\ sqrt {(l + m)! (lm)!}}}}$

Угловой момент определяется группой вращения. Механический импульс связан с группой перевода. Лестничный оператор - это отображение количества движения при инверсии 1 / r трехмерного пространства. Это повышение оператора . Оператор понижения здесь - это естественный градиент вместе с частичным сжатием парных индексов, чтобы оставить другие: ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {L}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ left [\ partial x_ {i} \ mathbf {T} _ {i} ^ {(l-1)} \ right] = (2l + 1) l \, \ mathbf {T} ^ {(l -1)}}$

Спектральный анализ

Спектр мощности при обработке сигналов

Полная мощность функции f определяется в литературе по обработке сигналов как интеграл функции в квадрате, деленный на площадь ее области. Используя свойства ортонормированности реальных сферических гармонических функций единичной степени, несложно проверить, что полная мощность функции, определенной на единичной сфере, связана с ее спектральными коэффициентами путем обобщения теоремы Парсеваля (здесь формулируется теорема для полунормированных гармоник Шмидта соотношение немного иное для ортонормированных гармоник):

${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \, \ pi}} \ int _ {\ Omega} | f (\ Omega) | ^ {2} \, d \ Omega = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} S_ {f \! f} (\ ell),}$

куда

${\ Displaystyle S_ {е \! е} (\ ell) = {\ гидроразрыва {1} {2 \ ell +1}} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} | f _ {\ ell m } | ^ {2}}$

определяется как угловой спектр мощности (для полунормированных гармоник Шмидта). Аналогичным образом можно определить перекрестную степень двух функций как

${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \, \ pi}} \ int _ {\ Omega} f (\ Omega) \, g ^ {\ ast} (\ Omega) \, d \ Omega = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} S_ {fg} (\ ell),}$

куда

${\ displaystyle S_ {fg} (\ ell) = {\ frac {1} {2 \ ell +1}} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} f _ {\ ell m} g _ {\ ell m} ^ {\ ast}}$

определяется как спектр перекрестной мощности. Если функции F и г имеют нулевой средний (то есть, спектральные коэффициенты F ₀₀ и г ₀₀ равны нулю), то S и _далее ( л ) и S _FG ( ℓ ) представляют собой вклад в дисперсии и ковариации функции для степени л , соответственно. Обычно (перекрестный) спектр мощности хорошо аппроксимируется степенным законом вида

${\ Displaystyle S_ {е \! е} (\ ell) = C \, \ ell ^ {\ beta}.}$

Когда β  = 0, спектр «белый», поскольку каждый градус имеет одинаковую мощность. Когда β  <0, спектр называется «красным», поскольку на низких градусах больше мощности с длинными волнами, чем на высоких. Наконец, когда β  > 0, спектр называется «синим». Условие на порядок роста S _ff ( ℓ ) связано с порядком дифференцируемости f в следующем разделе.

Свойства дифференцируемости

Можно также понять дифференциальные свойства исходной функции F в терминах асимптотики из S _фф ( л ). В частности, если S и _далее ( ℓ ) затухает быстрее , чем любая рациональная функция от л , как л  → ∞, то F является бесконечно дифференцируемым . Если, кроме того, S _ff ( ℓ ) убывает экспоненциально, тогда f действительно является вещественно-аналитическим на сфере.

Общая техника заключается в использовании теории пространств Соболева . Заявления , относящиеся к росту S _сл ( л ) в дифференцировании затем похожи на аналогичные результаты по росту коэффициентов ряда Фурье . В частности, если

${\ displaystyle \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} (1+ \ ell ^ {2}) ^ {s} S_ {ff} (\ ell) <\ infty,}$

то F в пространстве Соболева H ^сек ( S ² ). В частности, из теоремы вложения Соболева следует, что f бесконечно дифференцируема при условии, что

${\ Displaystyle S_ {ff} (\ ell) = O (\ ell ^ {- s}) \ quad {\ rm {{as \} \ ell \ to \ infty}}}$

для всех с .

Алгебраические свойства

Теорема сложения

Математический результат, представляющий значительный интерес и использование, называется теоремой сложения для сферических гармоник. Для двух векторов r и r ' со сферическими координатами и , соответственно, угол между ними задается соотношением ${\ Displaystyle (г, \ тета, \ varphi)}$${\ Displaystyle (г ', \ тета', \ varphi ')}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ соз \ гамма = \ соз \ тета '\ соз \ тета + \ грех \ тета \ грех \ тета' \ соз (\ varphi - \ varphi ')}$

в котором роль тригонометрических функций, появляющихся в правой части, играют сферические гармоники, а роль левой части - полиномы Лежандра .

Теорема сложения утверждает

${\ Displaystyle P _ {\ ell} (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}) = {\ frac {4 \ pi} {2 \ ell +1}} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} Y _ {\ ell m} (\ mathbf {y}) \, Y _ {\ ell m} ^ {*} (\ mathbf {x}) \ quad \ forall \, \ ell \ in \ mathbb {N } _ {0} \; \ forall \, \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ двоеточие \; \ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = \ | \ mathbf {y} \ | _ {2} = 1 \ ,,}$

( 1 )

где P _ℓ является полином Лежандра степени л . Это выражение справедливо как для действительных, так и для сложных гармоник. Результат может быть доказан аналитически, используя свойства ядра Пуассона в единичном шаре, или геометрически, применяя поворот к вектору y так, чтобы он указывал вдоль оси z , а затем непосредственно вычисляя правую часть.

В частности, когда x  =  y , это дает теорему Унзельда

${\ Displaystyle \ сумма _ {м = - \ ell} ^ {\ ell} Y _ {\ ell m} ^ {*} (\ mathbf {x}) \, Y _ {\ ell m} (\ mathbf {x}) = {\ frac {2 \ ell +1} {4 \ pi}}}$

которое обобщает тождество cos ² θ + sin ² θ = 1 на два измерения.

В разложении ( 1 ), левая сторона Р _л ( х ⋅ у ) является постоянным кратным степени л зональной сферической гармоники . С этой точки зрения можно сделать следующее обобщение на более высокие измерения. Пусть Y _J произвольный ортонормированный базис пространства Н _л дипломных л сферических гармоник на п -сферы. Затем , степень ℓ зональной гармоника , соответствующая единичный вектор х , разлагается ${\ Displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)}}$

${\ Displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} ({\ mathbf {y}}) = \ sum _ {j = 1} ^ {\ dim (\ mathbf {H} _ {\ ell })} {\ overline {Y_ {j} ({\ mathbf {x}})}} \, Y_ {j} ({\ mathbf {y}})}$

( 2 )

Кроме того, зональная гармоника задается как постоянное кратное соответствующему многочлену Гегенбауэра : ${\ Displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} ({\ mathbf {y}})}$

${\ Displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} ({\ mathbf {y}}) = C _ {\ ell} ^ {((n-2) / 2)} ({\ mathbf { х}} \ cdot {\ mathbf {y}})}$

( 3 )

Объединение ( 2 ) и ( 3 ) дает ( 1 ) в размерности n = 2, когда x и y представлены в сферических координатах. Наконец, вычисление при x = y дает функциональную идентичность

${\ displaystyle {\ frac {\ dim \ mathbf {H} _ {\ ell}} {\ omega _ {n-1}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {\ dim (\ mathbf {H} _ {\ ell})} | Y_ {j} ({\ mathbf {x}}) | ^ {2}}$

где ω _{n −1} - объем ( n −1) -сферы.

Правило сжатия

Другое полезное тождество выражает произведение двух сферических гармоник как сумму сферических гармоник.

${\ displaystyle Y_ {a, \ alpha} \ left (\ theta, \ varphi \ right) Y_ {b, \ beta} \ left (\ theta, \ varphi \ right) = {\ sqrt {\ frac {\ left ( 2a + 1 \ right) \ left (2b + 1 \ right)} {4 \ pi}}} \ sum _ {c, \ gamma} \ left (-1 \ right) ^ {\ gamma} {\ sqrt {2c +1}} \ left ({\ begin {array} {ccc} a & b & c \\\ alpha & \ beta & - \ gamma \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {ccc} a & b & c \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) Y_ {c, \ gamma} \ left (\ theta, \ varphi \ right)}$

где значения и определяются правилами выбора 3j-символов . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ gamma}$

Коэффициенты Клебша – Гордана

Коэффициенты Клебша – Гордана - это коэффициенты, возникающие при разложении произведения двух сферических гармоник по самим сферическим гармоникам. Для выполнения практически одних и тех же вычислений доступны различные методы, включая символ Вигнера 3-jm , коэффициенты Рака и интегралы Слейтера . Абстрактно, коэффициенты Клебша – Гордана выражают тензорное произведение двух неприводимых представлений группы вращений как сумму неприводимых представлений: соответственно нормализованные коэффициенты являются кратностями.

Визуализация сферических гармоник

Сферические гармоники Лапласа можно визуализировать, рассматривая их « узловые линии », то есть набор точек на сфере где или, альтернативно, где . Узловые линии составлены из ℓ окружностей: имеется | м | круги по долготе и ℓ - | м | круги по широте. Можно определить количество узловых линий каждого типа путем подсчета числа нулей в и направлениях соответственно. Рассматривая как функцию от , действительная и мнимая компоненты ассоциированных многочленов Лежандра обладают ℓ - | м | нули, каждый из которых дает начало узловой «линии широты». С другой стороны, рассматривая в качестве функции , тригонометрической греха и соз функции обладают 2 | м | нули, каждый из которых дает начало узловой «линии долготы». ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ Re [Y _ {\ ell} ^ {m}] = 0}$${\ Displaystyle \ Im [Y _ {\ ell} ^ {m}] = 0}$${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle \ varphi}$

Когда порядок m сферической гармоники равен нулю (вверху слева на рисунке), функции сферической гармоники не зависят от долготы и называются зональными . Такие сферические гармоники являются частным случаем зональных сферических функций . Когда ℓ  = | м | (внизу справа на рисунке) нет пересечений нуля по широте, и функции называются секторальными . В остальных случаях функции проверяют сферу, и они называются тессеральными .

Более общие сферические гармоники степени л , не обязательно совпадают с базисом Лапласа , и их узловые множества могут быть достаточно общего вида. ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$

Список сферических гармоник

Аналитические выражения для первых нескольких ортонормированных сферических гармоник Лапласа , в которых используется фазовое соглашение Кондона – Шортли: ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}: S ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$

Высшие измерения

Классические сферические гармоники определяются как комплексные функции на единичной сфере внутри трехмерного евклидова пространства . Сферические гармоники можно обобщить на многомерное евклидово пространство следующим образом, что приведет к функциям . Пусть P _л обозначит пространство комплекснозначных однородных многочленов степени л в п вещественных переменных, здесь рассматриваются как функция . То есть многочлен р в Р _л при условии , что для любого реального , один имеет ${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle S ^ {п-1} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle p (\ lambda \ mathbf {x}) = \ lambda ^ {\ ell} p (\ mathbf {x}).}$

Обозначим через A _ℓ подпространство в P _ℓ, состоящее из всех гармонических многочленов :

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ ell}: = \ {p \ in \ mathbf {P} _ {\ ell} \, \ mid \, \ Delta p = 0 \} \ ,.}$

Это (регулярные) твердые сферические гармоники . Обозначим через H _ℓ пространство функций на единичной сфере

${\ Displaystyle S ^ {n-1}: = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n} \, \ mid \, \ left | x \ right | = 1 \}}$

полученный ограничением из A _ℓ

${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {\ ell}: = \ left \ {f: S ^ {n-1} \ to \ mathbb {C} \, \ mid \, {\ text {for some}} p \ in \ mathbf {A} _ {\ ell}, \, f (\ mathbf {x}) = p (\ mathbf {x}) {\ text {для всех}} \ mathbf {x} \ in S ^ { n-1} \ right \}.}$

Имеют место следующие свойства:

• Сумма пространств Н _л является плотным в множестве непрерывных функций на относительно равномерной топологии , по теореме Стоуна-Вейерштрасса . В результате, сумма этих пространств также плотно в пространстве L ² ( S ^{п -1} ) квадратично-интегрируемых функций на сфере. Таким образом , каждый квадратный интегрируемая функция на сфере однозначно разлагается в ряд по сферическим гармоникам, где ряд сходится в L ² смысле.${\ Displaystyle С (S ^ {п-1})}$${\ displaystyle S ^ {n-1}}$
• Для всех F  ∈  H _л , один имеет
  $${\ Displaystyle \ Delta _ {S ^ {n-1}} f = - \ ell (\ ell + n-2) f.}$$

  
  где Δ _{S ^{n −1}} - оператор Лапласа – Бельтрами на S ^{n −1} . Этот оператор является аналогом угловой части лапласиана в трех измерениях; а именно, лапласиан в n измерениях распадается как
  $${\ displaystyle \ nabla ^ {2} = r ^ {1-n} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} r ^ {n-1} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} + r ^ {- 2} \ Delta _ {S ^ {n-1}} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {n-1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} + r ^ {- 2} \ Delta _ {S ^ {n-1}}}$$

  
• Из теоремы Стокса и предыдущего свойства следует, что пространства H _ℓ ортогональны относительно скалярного произведения из L ² ( S ^{n −1} ). То есть,
  $${\ displaystyle \ int _ {S ^ {n-1}} е {\ bar {g}} \, \ mathrm {d} \ Omega = 0}$$

  
  для f  ∈  H _ℓ и g  ∈  H _k для k  ≠  ℓ .
• И наоборот, пространства Н _л являются именно собственные подпространства Д _{S ^{п -1}} . В частности, применение спектральной теоремы к потенциалу Рисса дает еще одно доказательство того, что пространства H _ℓ попарно ортогональны и полны в L ² ( S ^{n −1} ).${\ displaystyle \ Delta _ {S ^ {n-1}} ^ {- 1}}$
• Каждый однородный многочлен p  ∈  P _ℓ однозначно записывается в виде
  $${\ displaystyle p (x) = p _ {\ ell} (x) + | x | ^ {2} p _ {\ ell -2} + \ cdots + {\ begin {cases} | x | ^ {\ ell} p_ {0} & \ ell {\ rm {\ even}} \\ | x | ^ {\ ell -1} p_ {1} (x) & \ ell {\ rm {\ odd}} \ end {case}} }$$

  
  где p _j  ∈  A _j . Особенно,
  $${\ displaystyle \ dim \ mathbf {H} _ {\ ell} = {\ binom {n + \ ell -1} {n-1}} - {\ binom {n + \ ell -3} {n-1}}. }$$

  

Ортогональный базис сферических гармоник в высших измерениях может быть построен индуктивно методом разделения переменных путем решения задачи Штурма-Лиувилля для сферического лапласиана

${\ displaystyle \ Delta _ {S ^ {n-1}} = \ sin ^ {2-n} \ varphi {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}} \ sin ^ {n-2} \ varphi {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}} + \ sin ^ {- 2} \ varphi \ Delta _ {S ^ {n-2}}}$

где φ - осевая координата в сферической системе координат на S ^{n −1} . Конечный результат такой процедуры

${\ displaystyle Y _ {\ ell _ {1}, \ dots \ ell _ {n-1}} (\ theta _ {1}, \ dots \ theta _ {n-1}) = {\ frac {1} { \ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {i \ ell _ {1} \ theta _ {1}} \ prod _ {j = 2} ^ {n-1} {} _ {j} {\ bar { P}} _ {\ ell _ {j}} ^ {\ ell _ {j-1}} (\ theta _ {j})}$

где индексы удовлетворяют | ℓ ₁ | ≤ ℓ ₂ ≤ ⋯ ≤ ℓ _{n −1} и собственное значение - ℓ _{n −1} ( ℓ _{n −1} + n −2). Функции в продукте определены в терминах функции Лежандра.

${\ displaystyle {} _ {j} {\ bar {P}} _ {L} ^ {\ ell} (\ theta) = {\ sqrt {{\ frac {2L + j-1} {2}} {\ frac {(L + \ ell + j-2)!} {(L- \ ell)!}}}} \ sin ^ {\ frac {2-j} {2}} (\ theta) P_ {L + {\ frac {j-2} {2}}} ^ {- \ left (\ ell + {\ frac {j-2} {2}} \ right)} (\ cos \ theta) \ ,.}$

Связь с теорией представлений

Пространство Н _ℓ сферических гармоник степени л является представление о симметрии группы вращений вокруг точки ( SO (3) ) и его двойной крышкой SU (2) . В самом деле, вращения действуют на двумерную сферу , а значит, и на H _ℓ посредством композиции функций

${\ Displaystyle \ psi \ mapsto \ psi \ circ \ rho ^ {- 1}}$

для ψ - сферическая гармоника, а ρ - вращение. Представление H _ℓ является неприводимым представлением SO (3).

Элементы Н _л возникают как ограничения на сферу элементов А _л : однородные гармонических полиномы степени л на трехмерном евклидово пространства R ³ . По поляризации от ф  ∈  A _л , существуют коэффициенты симметричны по индексам, однозначно определяется требованием ${\ displaystyle \ psi _ {i_ {1} \ dots i _ {\ ell}}}$

${\ displaystyle \ psi (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ sum _ {i_ {1} \ dots i _ {\ ell}} \ psi _ {i_ {1} \ dots i _ {\ ell }} x_ {i_ {1}} \ cdots x_ {i _ {\ ell}}.}$

Условие гармоничности ψ эквивалентно утверждению, что тензор не должен иметь следов на каждой паре индексов. Таким образом , в качестве неприводимого представления SO (3), Н _ℓ изоморфна пространству бесследовых симметричных тензоров степени л . ${\ displaystyle \ psi _ {i_ {1} \ dots i _ {\ ell}}}$

В более общем смысле аналогичные утверждения верны и в высших измерениях: пространство H _ℓ сферических гармоник на n -сфере является неприводимым представлением SO ( n +1), соответствующим бесследным симметричным ℓ- тензорам. Однако, в то время как каждое неприводимое тензорное представление SO (2) и SO (3) относится к этому типу, специальные ортогональные группы в более высоких измерениях имеют дополнительные неприводимые представления, которые не возникают таким образом.

Специальные ортогональные группы имеют дополнительные спиновые представления , которые не являются тензорными представлениями и обычно не являются сферическими гармониками. Исключение составляют спиновые представления SO (3): строго говоря, это представления двойного покрытия SU (2) SO (3). В свою очередь, SU (2) отождествляется с группой единичных кватернионов и, таким образом, совпадает с 3-сферой . Пространства сферических гармоник на 3-сфере являются определенными спиновыми представлениями SO (3) по отношению к действию кватернионным умножением.

Связь с полусферическими гармониками

Сферические гармоники можно разделить на два набора функций. Один из них - полусферические функции (HSH), ортогональный и полный на полушарии. Другой - дополнительные полусферические гармоники (CHSH).

Обобщения

В угол сохраняющих симметрии по двумерной сфере описаны группой Мёбиуса преобразований PSL (2, C ). Относительно этой группы сфера эквивалентна обычной сфере Римана . Группа PSL (2, C ) изоморфна (собственной) группе Лоренца , и ее действие на двумерной сфере согласуется с действием группы Лоренца на небесной сфере в пространстве Минковского . Аналог сферических гармоник для группы Лоренца дается гипергеометрическим рядом ; кроме того, сферические гармоники могут быть перевыражены через гипергеометрический ряд, поскольку SO (3) = PSU (2) является подгруппой PSL (2, C ).

В более общем смысле гипергеометрические ряды можно обобщить для описания симметрий любого симметрического пространства ; в частности, гипергеометрические ряды можно построить для любой группы Ли .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Цитированные ссылки

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том I , Wiley-Interscience.
• Эдмондс, АР (1957), Угловой момент в квантовой механике , Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9
• Еременко, Александр; Якобсон, Дмитрий; Надирашвили, Н. (2007), "О узловых множеств и узловых областей на s² и r²" , Annales де l'Institut Фурье , 57 (7): 2345-2360, DOI : 10,5802 / aif.2335 , ISSN  0373-0956 , М.Р.  2394544
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• MacRobert, TM (1967), Сферические гармоники: элементарный трактат по гармоническим функциям, с приложениями , Pergamon Press.
• Мейер, Пауль Герман Эрнст; Бауэр, Эдмонд (2004), теория групп: приложение к квантовой механике , Dover, ISBN 978-0-486-43798-9.
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Сферические гармоники" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье евклидовых пространств , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Унсельд, Альбрехт (1927), "Beiträge zur Quantenmechanik der Atome", Annalen der Physik , 387 (3): 355–393, Bibcode : 1927AnP ... 387..355U , doi : 10.1002 / andp.19273870304.
• Whittaker, ET ; Уотсон, Г.Н. (1927), Курс современного анализа , Cambridge University Press , стр. 392.

Общие ссылки

• EW Hobson, Теория сферических и эллипсоидальных гармоник , (1955) Chelsea Pub. Co., ISBN  978-0-8284-0104-3 .
• К. Мюллер, Сферические гармоники , (1966) Спрингер, Конспект лекций по математике, т. 17, ISBN  978-3-540-03600-5 .
• EU Condon и GH Shortley, Theory of Atomic Spectra , (1970) Cambridge at the University Press, ISBN  0-521-09209-4 , см. Главу 3 .
• Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика , ISBN  0-471-30932-X
• Альберт Мессия, Квантовая механика , том II. (2000) Дувр. ISBN  0-486-40924-4 .
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.7. Сферические гармоники» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Д.А. Варшалович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский Квантовая теория углового момента , (1988) World Scientific Publishing Co., Сингапур, ISBN  9971-5-0107-4
• Вайсштейн, Эрик В. "Сферические гармоники" . MathWorld .
• Мэддок, Джон, Сферические гармоники в Boost.Math