Эрозия (морфология) - Erosion (morphology)

Эрозия темно-синего квадрата диском, в результате получается голубой квадрат.

Эрозия (обычно обозначается знаком ⊖ ) - это одна из двух основных операций (вторая - расширение ) при обработке морфологических изображений, на которой основаны все остальные морфологические операции. Первоначально он был определен для двоичных изображений , позже был расширен до изображений в градациях серого , а затем и для полных решеток . Операция эрозии обычно использует элемент структурирования для исследования и уменьшения форм, содержащихся во входном изображении.

Бинарная эрозия

В двоичной морфологии, изображение рассматривается как подмножество из в евклидовом пространстве или целое число сетки , для некоторой размерности г . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}$

Основная идея бинарной морфологии состоит в том, чтобы исследовать изображение с помощью простой, заранее заданной формы, делая выводы о том, как эта форма соответствует или не соответствует формам на изображении. Этот простой «зонд» называется структурирующим элементом и сам по себе является двоичным изображением (т. Е. Подмножеством пространства или сетки).

Пусть Е евклидово пространство или целое число сетки, и бинарное изображение в E . Эрозии бинарного изображения A посредством структурного элемента B определяется по формуле:

{\ Displaystyle A \ ominus B = \ {z \ in E | B_ {z} \ substeq A \}}

,

где B _z - перенос B на вектор z, т. е. , . ${\ displaystyle B_ {z} = \ {b + z | b \ in B \}}$ ${\ displaystyle \ forall z \ in E}$

Когда структурирующий элемент B имеет центр (например, диск или квадрат), и этот центр расположен в начале координат E , то размывание A посредством B можно понимать как геометрическое место точек, достигаемых центром B. когда B перемещается внутри A . Например, эрозия квадрата со стороной 10 с центром в начале координат диском с радиусом 2, также центрированным в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 6 с центром в начале координат.

Размывание A посредством B также дается выражением:, где A _−b обозначает перевод A посредством -b . ${\ displaystyle A \ ominus B = \ bigcap _ {b \ in B} A _ {- b}}$

Пример

Предположим, что A - это матрица 13 x 13, а B - матрица 3 x 3:

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        
    1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Предполагая, что начало координат B находится в его центре, для каждого пикселя в A накладывается начало координат B, если B полностью содержится в A, пиксель сохраняется, в противном случае удаляется.

Следовательно, Эрозия A посредством B задается этой матрицей 13 x 13.

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Это означает, что только когда B полностью содержится внутри A, значения пикселей сохраняются, в противном случае он удаляется или размывается.

Характеристики

Эрозия инвариантна к трансляции .
Он увеличивается , то есть если , то . ${\ displaystyle A \ substeq C}$ ${\ Displaystyle А \ ominus B \ substeq C \ ominus B}$
Если происхождение E принадлежит структурирующему элементу B , то эрозия антиэкстенсивная , т . Е .. ${\ Displaystyle A \ ominus B \ substeq A}$
Эрозия удовлетворяет , где обозначает морфологическое расширение . ${\ Displaystyle (A \ ominus B) \ ominus C = A \ ominus (B \ oplus C)}$ ${\ displaystyle \ oplus}$
Эрозия распространяется на заданное пересечение

Эрозия в оттенках серого

Пример эрозии на изображении в градациях серого с использованием плоского структурирующего элемента 5x5. На верхнем рисунке показано применение окна элемента структурирования к отдельным пикселям исходного изображения. На нижнем рисунке показано получившееся размытое изображение.

В оттенках серого морфологии, изображения функции отображения а евклидово пространство или сетки Е в , где есть множество действительных чисел , является элементом больше , чем любое действительное число, и является элементом меньше любого действительного числа. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ чашка \ {\ infty, - \ infty \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty}$

Обозначая изображение с помощью F (X) и в оттенках серого структурного элемента по B (X) , где В представляет собой пространство, Ь (х) определена, полутоновую эрозию е по б даются

{\ Displaystyle (е \ ominus b) (x) = \ inf _ {y \ in B} [f (x + y) -b (y)]}

,

где «inf» обозначает нижнюю грань .

Другими словами, эрозия точки - это минимум точек в ее окрестности, причем эта окрестность определяется элементом структурирования. В этом смысле он похож на многие другие виды фильтров изображений, такие как медианный фильтр и гауссовский фильтр .

Эрозии на полных решетках

Полные решетки - это частично упорядоченные множества , где каждое подмножество имеет точную нижнюю грань и верхнюю грань . В частности, он содержит наименьший элемент и наибольший элемент (также обозначаемый «вселенная»).

Позвольте быть полной решеткой, с точной гранью и супремумом, обозначенными и , соответственно. Его вселенная и наименьший элемент обозначены буквами U и соответственно. Кроме того, пусть будет совокупность элементов из L . ${\ Displaystyle (L, \ leq)}$ ${\ Displaystyle \ клин}$ ${\ displaystyle \ vee}$ ${\ displaystyle \ emptyset}$ ${\ displaystyle \ {X_ {i} \}}$

Эрозия - это любой оператор, который распределяет по инфимуму и сохраняет вселенную. Т.е.: ${\ Displaystyle (L, \ leq)}$ ${\ displaystyle \ varepsilon: L \ rightarrow L}$

${\ Displaystyle \ bigwedge _ {я} \ varepsilon (X_ {i}) = \ varepsilon \ left (\ bigwedge _ {i} X_ {i} \ right)}$ ,
${\ Displaystyle \ varepsilon (U) = U}$ .

Смотрите также

использованная литература

Анализ изображений и математическая морфология Жан Серра, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
Анализ изображений и математическая морфология, том 2: теоретические достижения Жана Серра, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
Введение в обработку морфологических изображений Эдварда Р. Догерти, ISBN 0-8194-0845-X (1992)
Морфологический анализ изображений; Принципы и приложения Пьера Сойля, ISBN 3-540-65671-5 (1999)
RC Gonzalez и RE Woods, Цифровая обработка изображений , 2-е изд. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall, 2002.

Languages

In other projects