Дилатация (морфология) - Dilation (morphology)
Дилатация (обычно представлены ⊕ ) является одним из основных операций в математической морфологии . Первоначально разработанный для двоичных изображений , он был расширен сначала до изображений в градациях серого , а затем до полных решеток . Операция расширения обычно использует элемент структурирования для исследования и расширения форм, содержащихся во входном изображении.
Бинарное расширение
В бинарной морфологии дилатация - это инвариантный к сдвигу ( инвариант сдвига ) оператор, эквивалентный сложению Минковского .
Двоичное изображение рассматривается в математической морфологии как подмножество из в евклидовом пространстве R D или целое число сетки Z D , для некоторой размерности г . Пусть E - евклидово пространство или целочисленная сетка, A - двоичное изображение в E , а B - элемент структурирования, рассматриваемый как подмножество R d .
Расширение A на B определяется формулой
где A b перевод A на b .
Расширение коммутативно, также определяется выражением .
Если B имеет центр на нуле, то расширение А с помощью B может быть понято как геометрическое место точек , охватываемых B , когда центр B движется внутри A . Расширение квадрата размера 10 с центром в начале координат диском радиуса 2, также центрированным в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 14 и закругленными углами с центром в начале координат. Радиус закругленных углов - 2.
Дилатация также может быть получена , где B сек обозначает симметричные из B , то есть .
пример
Предположим, что A - это следующая матрица 11 x 11, а B - следующая матрица 3 x 3:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Для каждого пикселя в A, имеющего значение 1, наложите B, чтобы центр B был выровнен с соответствующим пикселем в A.
Каждый пиксель каждого наложенного B включен в расширение A на B.
Расширение A на B задается этой матрицей 11 x 11.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
Свойства бинарной дилатации
Вот некоторые свойства бинарного оператора растяжения
- Он инвариантен к переводу .
- Он увеличивается , то есть если , то .
- Он коммутативен .
- Если происхождение Е принадлежит к структурированию элемента B , то обширно , то есть .
- Это ассоциативное , то есть .
- Это дистрибутивный над множественным объединением
Расширение оттенков серого
В оттенках серой морфологии, изображения функции отображения а евклидово пространства или сетки Е в , где есть множество действительных чисел , является большим , чем элемент любого действительного числа, и является элемент , меньше любого действительного числа.
Структурирующие элементы в градациях серого также являются функциями того же формата, называемыми «функциями структурирования».
Обозначая изображение как f ( x ), а функцию структурирования через b ( x ), расширение f в градациях серого через b определяется выражением
где "sup" означает супремум .
Функции плоского структурирования
Плоские структурирующие элементы часто используются в морфологических приложениях. Функции плоского структурирования - это функции b ( x ) в форме
где .
В этом случае расширение значительно упрощается и определяется выражением
(Предположим, что x = ( px , qx ), z = ( pz , qz ), тогда x - z = ( px - pz , qx - qz ).)
В ограниченном, дискретном случае ( E - сетка, а B ограничена) оператор супремума можно заменить на максимум . Таким образом, расширение является частным случаем фильтров статистики порядка , возвращающих максимальное значение в пределах движущегося окна (симметрично поддержке функции структурирования B ).
Расширение на полных решетках
Полные решетки - это частично упорядоченные множества , где у каждого подмножества есть точная нижняя грань и верхняя грань . В частности, он содержит наименьший элемент и наибольший элемент (также обозначаемый «вселенная»).
Позвольте быть полной решеткой, с точной гранью и супремумом, обозначенными и , соответственно. Его вселенная и наименьший элемент обозначены буквами U и соответственно. Кроме того, пусть будет совокупность элементов из L .
Расширение - это любой оператор, который распределяет по супремуму и сохраняет наименьший элемент. То есть верно следующее:
Смотрите также
- Буфер (ГИС)
- Закрытие (морфология)
- Эрозия (морфология)
- Математическая морфология
- Открытие (морфология)
- Минковский сложение
Библиография
- Анализ изображений и математическая морфология Жан Серра, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
- Анализ изображений и математическая морфология, том 2: теоретические достижения Жана Серры, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
- Введение в обработку морфологических изображений Эдварда Р. Догерти, ISBN 0-8194-0845-X (1992)