Дифференцирование в пространствах Фреше - Differentiation in Fréchet spaces

В математике , в частности в функциональном анализе и нелинейном анализе , можно определить производную функции между двумя пространствами Фреше . Это понятие дифференцирования, поскольку оно является производной Гато между пространствами Фреше, значительно слабее, чем производная в банаховом пространстве , даже между общими топологическими векторными пространствами . Тем не менее, это самое слабое понятие дифференцирования, для которого справедливы многие известные теоремы из исчисления . В частности, верно цепное правило . С некоторыми дополнительными ограничениями на пространства и функции Фреше существует аналог теоремы об обратной функции, называемый теоремой Нэша – Мозера об обратной функции , имеющий широкое применение в нелинейном анализе и дифференциальной геометрии .

Математические детали

Формально определение дифференцирования идентично производной Гато . В частности, пусть и будут пространствами Фреше, быть открытым множеством и быть функцией. Производная по направлению определяется выражением ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle U \ substeq X}$ ${\ displaystyle F: U \ to Y}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle v \ in X}$

{\ Displaystyle DF (u) v = \ lim _ {\ tau \ to 0} {\ frac {F (u + v \ tau) -F (u)} {\ tau}}}

если предел существует. Говорят, что непрерывно дифференцируемо, или если предел существует для всех и отображение

{\ displaystyle F}

{\ displaystyle C ^ {1}}

{\ displaystyle v \ in X}

{\ displaystyle DF: U \ times X \ to Y}

является непрерывным отображением.

Производные высших порядков определяются индуктивно через

{\ Displaystyle D ^ {к + 1} F (u) \ left \ {v_ {1}, v_ {2}, \ ldots, v_ {k + 1} \ right \} = \ lim _ {\ tau \ to 0} {\ frac {D ^ {k} F (u + \ tau v_ {k + 1}) \ left \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {k} \ right \} - D ^ {k} F (u) \ left \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {k} \ right \}} {\ tau}}.}

Функция называется , если это или гладкой , если она для каждого

{\ displaystyle C ^ {k}}

{\ displaystyle D ^ {k} F: U \ times X \ times X \ times \ cdots \ times X \ to Y}

{\ displaystyle C ^ {\ infty},}

{\ displaystyle C ^ {k}}

{\ displaystyle k.}

Характеристики

Позвольте и быть пространствами Фреше. Предположим, что это открытое подмножество, это открытое подмножество и пара функций. Тогда имеют место следующие свойства: ${\ displaystyle X, Y,}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle Y,}$ ${\ displaystyle F: U \ to V,}$ ${\ displaystyle G: V \ to Z}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$

Основная теорема исчисления . Если отрезок отдополностью лежит внутри,то ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle U,}$ ${\ Displaystyle F (b) -F (a) = \ int _ {0} ^ {1} DF (a + (ba) t) \ cdot (ba) dt.}$
Правило цепи . Для всех и ${\ displaystyle u \ in U}$ ${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ Displaystyle D (G \ circ F) (u) x = DG (F (u)) DF (u) x}$
Линейность . является линейным в. В более общем случае, еслиявляется,тоявляется

полилинейным в.

{\ displaystyle DF (u) x}

{\ displaystyle x.}

{\ displaystyle F}

{\ displaystyle C ^ {k},}

{\ displaystyle DF (u) \ left \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {k} \ right \}}

{\ displaystyle x}

Теорема Тейлора с остатком . Предположим, что отрезок между и полностью лежит внутри If , тогда

{\ displaystyle u \ in U}

{\ displaystyle u + h}

{\ displaystyle U.}

{\ displaystyle F}

{\ displaystyle C ^ {k}}

{\ Displaystyle F (u + h) = F (u) + DF (u) h + {\ frac {1} {2!}} D ^ {2} F (u) \ {h, h \} + \ cdots + {\ frac {1} {(k-1)!}} D ^ {k-1} F (u) \ {h, h, \ ldots, h \} + R_ {k}}

где остаточный член определяется выражением

{\ displaystyle R_ {k} (u, h) = {\ frac {1} {(k-1)!}} \ int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {k-1} D ^ {k} F (u + th) \ {h, h, \ ldots, h \} dt}

Коммутативность производных по направлению . Если это то

{\ displaystyle F}

{\ displaystyle C ^ {k},}

{\ Displaystyle D ^ {k} F (u) \ left \ {h_ {1}, \ ldots, h_ {k} \ right \} = D ^ {k} F (u) \ left \ {h _ {\ sigma (1)}, \ ldots, h _ {\ sigma (k)} \ right \}}

для любой перестановки σ

{\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, k \}.}

Доказательства многих из этих свойств в основном основываются на том факте, что можно определить интеграл Римана непрерывных кривых в пространстве Фреше.

Гладкие сопоставления

Удивительно, но отображение между открытым подмножеством пространств Фреше является гладким (бесконечно часто дифференцируемым), если оно переводит гладкие кривые в гладкие; см. Удобный анализ . Более того, гладкие кривые в пространствах гладких функций - это просто гладкие функции еще одной переменной.

Последствия в дифференциальной геометрии

Существование цепного правила позволяет определить многообразие, моделируемое на пространстве Фреше: многообразие Фреше . Кроме того, из линейности производной следует, что существует аналог касательного расслоения для многообразий Фреше.

Приручить пространства Фреше

Часто пространства Фреше, возникающие в практических приложениях производной, обладают дополнительным свойством: они ручны . Грубо говоря, ручное пространство Фреше - это почти банахово пространство . В ручных пространствах можно определить предпочтительный класс отображений, известный как ручные карты. В категории ручных пространств под ручными отображениями основная топология достаточно сильна, чтобы поддерживать полноценную теорию дифференциальной топологии . В этом контексте справедливо и множество других методов исчисления. В частности, существуют версии теорем об обратной и неявной функции.

Смотрите также

Дифференцируемые вектор-функции из евклидова пространства

Languages

In other projects