Условная сходимость - Conditional convergence

В математике , ряд или интеграл назовем условно сходящимся , если он сходится, но не сходится абсолютно .

Определение

Точнее, говорят , что ряд действительных чисел условно сходится, если существует (как конечное действительное число, т. Е. Не или ), но${\ textstyle \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} а_ {п}}$${\ textstyle \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} \, \ sum _ {n = 0} ^ {m} a_ {n}}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right | = \ infty.}$

Классическим примером является чередующийся гармонический ряд, представленный

который сходится к , но не является абсолютно сходящимся (см. Гармонический ряд ). ${\ Displaystyle \ ln (2)}$

Бернхард Риман доказал, что условно сходящийся ряд можно преобразовать так, чтобы он сходился к любому значению вообще, включая ∞ или −∞; см. теорему Римана о рядах . Теорема Леви – Стейница определяет набор значений, к которым может сходиться ряд членов в R ⁿ .

Типичный условно сходящийся интеграл - это интеграл на неотрицательной действительной оси (см.

Интеграл Френеля ). ${\ textstyle \ sin (х ^ {2})}$

Смотрите также

• Абсолютная конвергенция
• Безусловная сходимость

использованная литература

• Вальтер Рудин, Принципы математического анализа (Макгроу-Хилл: Нью-Йорк, 1964).