Кардиоидный - Cardioid

Кардиоидной (от греческого καρδία «сердца») является плоской кривой прослежена точкой по периметру круга , который катится вокруг неподвижной окружности того же радиуса. Греческий далее предполагает, что движение этого вращения имитирует покачивание сердца по оси, математически определяемой как кардиоида. Его также можно определить как эпициклоиду с одним острием . Это также тип синусоидальной спирали , и обратная кривая из параболы с фокусом в центре инверсии. Это также набор точек отражения фиксированной точки на окружности через все касательные к окружности.

Название было придумано де Кастильоном в 1741 году, но оно было предметом изучения за десятилетия до этого. Названный в честь своей сердцевидной формы, он больше похож на очертание поперечного сечения круглого яблока без стебля.

Кардиоидный микрофон демонстрирует акустический паттерн пикапа , что, когда рентгенографические в двух измерениях, напоминает кардиоиду (любая 2d плоскости , содержащей 3d прямой линию тела микрофона). В трех измерениях кардиоида имеет форму яблока с центром вокруг микрофона, который является «стеблем» яблока.

Уравнения

Пусть быть общим радиусом из двух генераторных окружностей с серединами , угол прокатки и происхождение отправной точкой (смотри рисунок). Один получает ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle (-a, 0), (a, 0)}$${\ displaystyle \ varphi}$

• параметрическое представление :

${\ Displaystyle х (\ varphi) = 2a (1- \ соз \ varphi) \ cdot \ соз \ varphi \,}$

${\ Displaystyle у (\ varphi) = 2a (1- \ соз \ varphi) \ cdot \ sin \ varphi \, \ qquad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi}$

и отсюда представление в

• полярные координаты :

${\ Displaystyle г (\ varphi) = 2a (1- \ соз \ varphi)}$.

Вводя замены, и после удаления квадратного корня получаем неявное представление в ${\ Displaystyle \ соз \ varphi = х / г}$${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

• декартовы координаты :

${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} + 4ax (x ^ {2} + y ^ {2}) - 4a ^ {2} y ^ {2} \, = \ , 0}$ .

Доказательство параметрического представления

Доказательство может быть установлено с использованием комплексных чисел и их общего описания как комплексной плоскости . Катящееся движение черного круга по синему можно разделить на два вращения. В комплексной плоскости поворот вокруг точки (начала координат) на угол может быть выполнен путем умножения точки (комплексного числа) на . Следовательно ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle e ^ {я \ varphi}}$

вращение точки вокруг это ,${\ displaystyle \ Phi _ {+}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle: z \ mapsto a + (za) e ^ {я \ varphi}}$

вращение вокруг точки является: .${\ displaystyle \ Phi _ {-}}$${\ displaystyle -a}$${\ Displaystyle г \ mapsto -a + (г + а) е ^ {я \ varphi}}$

Точка кардиоиды создается путем вращения начала координат вокруг точки и последующего вращения вокруг на тот же угол : ${\ Displaystyle р (\ varphi)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle -a}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle р (\ varphi) = \ Phi _ {-} (\ Phi _ {+} (0)) = \ Phi _ {-} (а-ае ^ {я \ varphi}) = - а + (а- ae ^ {i \ varphi} + a) e ^ {i \ varphi} = a \; (- e ^ {i2 \ varphi} + 2e ^ {i \ varphi} -1)}$.

Отсюда можно получить параметрическое представление выше:

${\ displaystyle {\ begin {array} {cclcccc} x (\ varphi) & = & a \; (- \ cos (2 \ varphi) +2 \ cos \ varphi -1) & = & 2a (1- \ cos \ varphi ) \ cdot \ cos \ varphi && \\ y (\ varphi) & = & a \; (- \ sin (2 \ varphi) +2 \ sin \ varphi) & = & 2a (1- \ cos \ varphi) \ cdot \ грех \ varphi &. & \ end {массив}}}$

( Были использованы формулы . См. Тригонометрические функции .) ${\ Displaystyle е ^ {я \ varphi} = \ соз \ varphi + i \ sin \ varphi, \ (\ cos \ varphi) ^ {2} + (\ sin \ varphi) ^ {2} = 1, \ \ cos 2 \ varphi = (\ cos \ varphi) ^ {2} - (\ sin \ varphi) ^ {2}, \; \ sin 2 \ varphi = 2 \ sin \ varphi \ cos \ varphi}$

Метрические свойства

Для кардиоиды, как определено выше, верны следующие формулы:

• область ,${\ Displaystyle А = 6 \ пи а ^ {2}}$
• длина дуги и${\ displaystyle L = 16a}$
• радиус кривизны ${\ displaystyle \ rho (\ varphi) = {\ tfrac {8} {3}} a \ sin {\ tfrac {\ varphi} {2}} \.}$

Доказательства этого утверждения используют в обоих случаях полярное представление кардиоиды. Подходящие формулы см. В полярной системе координат (длина дуги) и полярной системе координат (площадь).

доказательство формулы площади

${\ displaystyle A = 2 \ cdot {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {(r (\ varphi)) ^ {2}} \; d \ varphi = \ int _ {0} ^ {\ pi} {4a ^ {2} (1- \ cos \ varphi) ^ {2}} \; d \ varphi = \ cdots = 4a ^ {2} \ cdot {\ tfrac {3} {2}} \ pi = 6 \ pi a ^ {2}}$ .

доказательство формулы длины дуги

${\ Displaystyle L = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ sqrt {r (\ varphi) ^ {2} + (r '(\ varphi)) ^ {2}}} \; d \ varphi = \ cdots = 8a \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2}} (1- \ cos \ varphi)}} \; d \ varphi = 8a \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ({\ tfrac {\ varphi} {2}}) d \ varphi = 16a}$ .

Доказательство радиуса кривизны

Радиус кривизны кривой в полярных координатах с уравнением равен (s. Кривизна ) ${\ displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle г = г (\ varphi)}$

${\ displaystyle \ rho (\ varphi) = {\ frac {\ left [r (\ varphi) ^ {2} + {\ dot {r}} (\ varphi) ^ {2} \ right] ^ {3/2 }} {г (\ varphi) ^ {2} +2 {\ dot {r}} (\ varphi) ^ {2} -r (\ varphi) {\ ddot {r}} (\ varphi)}} \. }$

Для кардиоиды получают ${\ Displaystyle г (\ varphi) = 2a (1- \ соз \ varphi) = 4a \ sin ^ {2} {\ tfrac {\ varphi} {2}}}$

${\ displaystyle \ rho (\ varphi) = \ cdots = {\ frac {[16a ^ {2} \ sin ^ {2} {\ frac {\ varphi} {2}}] ^ {\ frac {3} {2 }}} {24a ^ {2} \ sin ^ {2} {\ frac {\ varphi} {2}}}} = {\ frac {8} {3}} a \ sin {\ frac {\ varphi} { 2}} \.}$

Характеристики

Аккорды через куспид

• C1: хорды, проходящие через острие кардиоиды, имеют одинаковую длину .${\ displaystyle 4a}$
• С2: В серединах этих аккордов через параболический лежат по периметру неподвижной окружности генератора (смотрите рисунок).

доказательство для C1

Точки находятся на хорде через куспид (= начало координат). Следовательно ${\ Displaystyle P: п (\ varphi), \; Q: p (\ varphi + \ pi)}$

${\ Displaystyle | PQ | знак равно г (\ varphi) + r (\ varphi + \ pi)}$

${\ Displaystyle = 2a (1- \ соз \ varphi) + 2a (1- \ соз (\ varphi + \ pi)) = \ cdots = 4a}$ .

доказательство для C2

Для доказательства используется представление в комплексной плоскости (см. Выше). По очкам

${\ Displaystyle P: \ p (\ varphi) = a \; (- e ^ {i2 \ varphi} + 2e ^ {i \ varphi} -1)}$

${\ Displaystyle Q: \ п (\ varphi + \ pi) = a \; (- е ^ {i2 (\ varphi + \ pi)} + 2e ^ {i (\ varphi + \ pi)} - 1) = а \; (- e ^ {i2 \ varphi} -2e ^ {i \ varphi} -1)}$,

середина хорды является ${\ displaystyle PQ}$

${\ Displaystyle M: ​​\ {\ tfrac {1} {2}} (п (\ varphi) + p (\ varphi + \ pi)) = \ cdots = -a-ae ^ {i2 \ varphi}}$

который лежит по периметру окружности со средней точкой и радиусом (см. рисунок). ${\ displaystyle -a}$${\ displaystyle a}$

Кардиоида как обратная кривая параболы

• Кардиоида - это обратная кривая параболы с фокусом в центре инверсии (см. График)

В примере, показанном на графике, образующие окружности имеют радиус . Следовательно, кардиоида имеет полярное представление ${\ Displaystyle а = {\ tfrac {1} {2}}}$

${\ Displaystyle г (\ varphi) = 1- \ соз \ varphi}$

и его обратная кривая

${\ Displaystyle г (\ varphi) = {\ гидроразрыва {1} {1- \ соз \ varphi}}}$,

которая представляет собой параболу (s. парабола в полярных координатах ) с уравнением в декартовых координатах. ${\ Displaystyle х = {\ tfrac {1} {2}} (y ​​^ {2} -1)}$

Замечание: Не всякая обратная кривая параболы является кардиоидой. Например, если парабола перевернута через круг, центр которого находится в вершине параболы, то результатом будет циссоида Диокла .

Кардиоида как конверт карандаша кругов

В предыдущем разделе, если дополнительно инвертировать касательные параболы, получится пучок окружностей, проходящий через центр инверсии (начало координат). Подробное рассмотрение показывает: Середины окружностей лежат на периметре неподвижной образующей окружности. (Образующая окружность - обратная кривая директрисы парабол.)

Это свойство приводит к следующему простому способу рисования кардиоиды:

1) Выберите круг и точку по его периметру,${\ displaystyle c}$${\ displaystyle O}$

2) нарисуйте круги, содержащие центры , и${\ displaystyle O}$${\ displaystyle c}$

3) нарисуйте конверт этих кругов.

доказательство с условием конверта

Огибающая пучка неявно заданных кривых

${\ Displaystyle F (х, y, t) = 0}$

с параметром состоит из таких точек, которые являются решениями нелинейной системы ${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle (х, у)}$

• ${\ Displaystyle F (x, y, t) = 0, \ quad F_ {t} (x, y, t) = 0 \;}$( состояние конверта ).

( означает частную производную для параметра . ${\ displaystyle F_ {t}}$${\ displaystyle t}$

Позвольте быть круг с серединой и радиусом . Затем имеет параметрическое представление . Пучок окружностей с центрами в содержащей точке можно неявно представить как ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle (-1,0)}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle (-1+ \ соз т, \ грех т)}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle O = (0,0)}$

${\ Displaystyle F (x, y, t) = (x + 1- \ cos t) ^ {2} + (y- \ sin t) ^ {2} - (2-2 \ cos t) = 0}$,

что эквивалентно

${\ Displaystyle F (x, y, t) = x ^ {2} + y ^ {2} + 2x \; (1- \ cos t) -2y \; \ sin t = 0 \ ;.}$

Второе условие конверта:

${\ Displaystyle F_ {t} (х, y, t) = 2x \; \ sin t-2y \; \ cos t = 0}$.

Легко проверить, что точки кардиоиды с параметрическим представлением

${\ Displaystyle х (т) = 2 (1- \ соз т) \ соз т, \ четырехъядерный у (т) = 2 (1- \ соз т) \ грех т}$

выполнить нелинейную систему выше. Параметр идентичен параметру угла кардиоиды. ${\ displaystyle t}$

Кардиоида как конверт карандаша линий

Аналогичный и простой метод рисования кардиоиды использует карандаш из линий . Это связано с Л. Кремона :

1. Нарисуйте круг, разделите его периметр на равные части с помощью точек (см. Рисунок) и пронумеруйте их последовательно.${\ displaystyle 2N}$
2. Нарисуйте аккорды: . (то есть: вторая точка перемещается с двойной скоростью.)${\ Displaystyle (1,2), (2,4), ...., (N, 2n), ...., (N, 2N), (N + 1,2), (N + 2, 4), ....,}$
3. Огибающая этих аккордов кардиоида.

доказательство

В следующем рассмотрении используются тригонометрические формулы для . Для простоты вычислений доказательство дано для кардиоиды с полярным представлением (см. Раздел Кардиоиды в различных положениях ). ${\ Displaystyle \ соз \ альфа + \ соз \ бета, \ \ грех \ альфа + \ грех \ бета, \ 1+ \ соз 2 \ альфа, \ \ соз 2 \ альфа, \ грех 2 \ альфа}$${\ Displaystyle г = 2 (1 {\ цвет {красный} +} \ соз \ varphi)}$

уравнение касательной

из кардиоида с полярным представлением : ${\ Displaystyle г = 2 (1+ \ соз \ varphi)}$

Из параметрического представления

${\ Displaystyle х (\ varphi) = 2 (1+ \ соз \ varphi) \ соз \ varphi,}$

${\ Displaystyle у (\ varphi) = 2 (1+ \ соз \ varphi) \ грех \ varphi}$

получается нормальный вектор . Уравнение касательной : ${\ displaystyle {\ vec {n}} = ({\ dot {y}}, - {\ dot {x}}) ^ {T}}$${\ displaystyle {\ dot {y}} (\ varphi) \ cdot (xx (\ varphi)) - {\ dot {x}} (\ varphi) \ cdot (yy (\ varphi)) = 0}$

${\ Displaystyle (\ соз 2 \ varphi + \ соз \ varphi) \ cdot x \ + \ (\ sin 2 \ varphi + \ sin \ varphi) \ cdot y = 2 (1+ \ cos \ varphi) ^ {2} \.}$

С помощью тригонометрических формул и последующего деления на уравнение касательной можно переписать в виде: ${\ displaystyle \ cos {\ tfrac {1} {2}} \ varphi}$

• ${\ displaystyle \ cos ({\ tfrac {3} {2}} \ varphi) \ cdot x + \ sin ({\ tfrac {3} {2}} \ varphi) \ cdot y = 4 (\ cos {\ tfrac { 1} {2}} \ varphi) ^ {3} \ quad 0 <\ varphi <2 \ pi, \ \ varphi \ neq \ pi.}$

уравнение хорды

из круга с средней точкой и радиусом : Для уравнения секущей линии , проходящей две точки один получает: ${\ displaystyle (1,0)}$${\ displaystyle 3}$${\ Displaystyle (1 + 3 \ соз \ тета, 3 \ грех \ тета), \ (1 + 3 \ соз {\ цвет {красный} 2} \ тета, 3 \ грех {\ цвет {красный} 2} \ тета ))}$

${\ Displaystyle (\ грех \ тета - \ грех 2 \ тета) \ CDOT х \ + \ (\ соз 2 \ тета - \ грех \ тета) \ CDOT у = -2 \ соз \ тета - \ грех 2 \ тета \ .}$

С помощью тригонометрических формул и последующего деления на уравнение секущей линии можно переписать: ${\ displaystyle \ sin {\ tfrac {1} {2}} \ theta}$

• ${\ displaystyle \ cos ({\ tfrac {3} {2}} \ theta) \ cdot x + \ sin ({\ tfrac {3} {2}} \ theta) \ cdot y = 4 (\ cos {\ tfrac { 1} {2}} \ theta) ^ {3} \ quad 0 <\ theta <2 \ pi.}$

Несмотря на то, что два угла имеют разное значение (см. Рисунок), одна и та же линия имеет значение. Следовательно, любая секущая окружности, определенная выше, также является касательной к кардиоиде: ${\ displaystyle \ varphi, \ theta}$${\ displaystyle \ varphi = \ theta}$

• Кардиоида - это огибающая хорд круга.

Замечание:
Доказательство можно провести с помощью условий огибающей (см. Предыдущий раздел) неявного пучка кривых:

${\ Displaystyle F (x, y, t) = \ cos {\ tfrac {3} {2}} t \ cdot x \ + \ \ sin {\ tfrac {3} {2}} t \ cdot y-4 ( \ cos {\ tfrac {1} {2}} t) ^ {3} = 0 \}$ - пучок секущих окружности (см. выше) и

${\ displaystyle F_ {t} (x, y, t) = - {\ tfrac {3} {2}} \ sin {\ tfrac {3} {2}} t \ cdot x \ + \ {\ tfrac {3 } {2}} \ cos {\ tfrac {3} {2}} t \ cdot y + 3 \ cos {\ tfrac {1} {2}} t \ sin t = 0 \.}$

Для фиксированного параметра t оба уравнения представляют собой линии. Их точка пересечения

${\ Displaystyle х (т) = 2 (1+ \ соз т) \ соз т, \ четырехъядерный у (т) = 2 (1+ \ соз т) \ грех т}$,

которая является точкой кардиоиды с полярным уравнением ${\ displaystyle r = 2 (1+ \ cos t).}$

Кардиоида как каустика круга

Соображения, сделанные в предыдущем разделе, доказывают, что каустика круга с источником света по периметру круга является кардиоидой.

• Если на плоскости есть источник света в точке по периметру круга, который отражает любой луч, то отраженные лучи внутри круга являются касательными к кардиоиде.${\ displaystyle Z}$

доказательство

Как и в предыдущем разделе, круг может иметь середину и радиус . Его параметрическое представление ${\ displaystyle (1,0)}$${\ displaystyle 3}$

${\ Displaystyle с (\ varphi) = (1 + 3 \ соз \ varphi, 3 \ sin \ varphi) \.}$

Касательная в точке окружности имеет вектор нормали . Следовательно, отраженный луч имеет вектор нормали (см. График) и содержит точку . Отраженный луч является частью линии с уравнением (см. Предыдущий раздел) ${\ Displaystyle C: \ к (\ varphi)}$${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {t} = (\ соз \ varphi, \ sin \ varphi) ^ {T}}$${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {r} = (\ cos {\ color {red} {\ tfrac {3} {2}}} \ varphi, \ sin {\ color {red} {\ tfrac { 3} {2}}} \ varphi) ^ {T}}$${\ Displaystyle C: \ (1 + 3 \ соз \ varphi, 3 \ sin \ varphi)}$

${\ displaystyle \ cos {\ tfrac {3} {2}} \ varphi \ cdot x \ + \ sin {\ tfrac {3} {2}} \ varphi \ cdot y = 4 (\ cos {\ tfrac {1 } {2}} \ varphi) ^ {3} \,}$

который является касательной к кардиоиде с полярным уравнением

${\ Displaystyle г = 2 (1+ \ соз \ varphi)}$

из предыдущего раздела.

Замечание: Для таких соображений обычно пренебрегают многократными отражениями от круга.

Кардиоида как педальная кривая круга

Кардиоидное поколение Cremona не следует путать со следующим поколением:

Позвольте быть круг и точка на периметре этого круга. Верно следующее: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle O}$

• Ступни перпендикуляров от точки на касательных окружности являются точками кардиоиды.${\ displaystyle O}$${\ displaystyle k}$

Следовательно, кардиоида - это особая педальная изгиба круга.

доказательство

В декартовой системе координат окружность может иметь середину и радиус . Касательная в точке окружности имеет уравнение ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (2a, 0)}$${\ displaystyle 2a}$${\ Displaystyle (2a + 2a \ соз \ varphi, 2a \ sin \ varphi)}$

${\ displaystyle (x-2a) \ cdot \ cos \ varphi + y \ cdot \ sin \ varphi = 2a \.}$

Основание перпендикуляра от точки на касательной - это точка с еще неизвестным расстоянием до начала координат . Вставка точки в уравнение касательной дает ${\ displaystyle O}$${\ Displaystyle (г \ соз \ varphi, г \ грех \ varphi)}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle O}$

${\ Displaystyle (г \ соз \ varphi -2a) \ соз \ varphi + r \ sin ^ {2} \ varphi = 2a \ quad \ rightarrow \ quad r = 2a (1+ \ cos \ varphi)}$

что является полярным уравнением кардиоиды.

Замечание: если точка не находится на периметре круга , получается лимит Паскаля . ${\ displaystyle O}$${\ displaystyle k}$

Эволюция кардиоиды

Эволютное кривой представляет собой геометрическое место центров кривизны. Подробно: Для кривой с радиусом кривизны эволюция имеет представление ${\ displaystyle {\ vec {x}} (s) = {\ vec {c}} (s)}$${\ displaystyle \ rho (s)}$

${\ displaystyle {\ vec {X}} (s) = {\ vec {c}} (s) + \ rho (s) {\ vec {n}} (s).}$

с соответствующим образом ориентированным блоком normal. ${\ displaystyle {\ vec {n}} (s)}$

При кардиоиде получают:

• Эволютная из кардиоидной является еще кардиоидной одна треть , как больших (с. Рисунок).

доказательство

Для кардиоиды с параметрическим представлением

${\ displaystyle x (\ varphi) = 2a (1- \ cos \ varphi) \ cos \ varphi = 4a \ sin ^ {2} {\ tfrac {\ varphi} {2}} \ cos \ varphi \,}$

${\ displaystyle y (\ varphi) = 2a (1- \ cos \ varphi) \ sin \ varphi = 4a \ sin ^ {2} {\ tfrac {\ varphi} {2}} \ sin \ varphi}$

единица нормальная

${\ displaystyle {\ vec {n}} (\ varphi) = (- \ sin {\ tfrac {3} {2}} \ varphi, \ cos {\ tfrac {3} {2}} \ varphi)}$

и радиус кривизны

${\ displaystyle \ rho (\ varphi) = {\ tfrac {8} {3}} a \ sin {\ tfrac {\ varphi} {2}} \.}$

Следовательно, параметрические уравнения эволюции имеют вид

${\ displaystyle X (\ varphi) = 4a \ sin ^ {2} {\ tfrac {\ varphi} {2}} \ cos \ varphi - {\ tfrac {8} {3}} a \ sin {\ tfrac {\ varphi} {2}} \ cdot \ sin {\ tfrac {3} {2}} \ varphi = \ cdots = {\ tfrac {4} {3}} a \ cos ^ {2} {\ tfrac {\ varphi} {2}} \ cos \ varphi - {\ tfrac {4} {3}} а \,}$

${\ Displaystyle Y (\ varphi) = 4a \ sin ^ {2} {\ tfrac {\ varphi} {2}} \ sin \ varphi + {\ tfrac {8} {3}} a \ sin {\ tfrac {\ varphi} {2}} \ cdot \ cos {\ tfrac {3} {2}} \ varphi \ = \ cdots = {\ tfrac {4} {3}} a \ cos ^ {2} {\ tfrac {\ varphi } {2}} \ sin \ varphi \.}$

Эти уравнения описывают кардиоиду втрое меньшего размера, повернутую на 180 градусов и смещенную по оси x на . ${\ displaystyle - {\ tfrac {4} {3}} а}$

(Были использованы тригонометрические формулы: ) ${\ displaystyle \ sin {\ tfrac {3} {2}} \ varphi = \ sin {\ tfrac {\ varphi} {2}} \ cos \ varphi + \ cos {\ tfrac {\ varphi} {2}} \ sin \ varphi \, \ \ cos {\ tfrac {3} {2}} \ varphi = \ cdots, \ \ sin \ varphi = 2 \ sin {\ tfrac {\ varphi} {2}} \ cos {\ tfrac { \ varphi} {2}} \, \ \ cos \ varphi = \ cdots \.}$

Ортогональные траектории

Ортогональная траектория из пучка кривых является кривой , которая пересекает любые кривой карандаш ортогональна. Для кардиоидов верно следующее:

• Ортогональные траектории пучка кардиоидов с уравнениями

${\ Displaystyle г = 2а (1- \ соз \ varphi) \, \; а> 0 \, \}$

кардиоиды с уравнениями

${\ displaystyle r = 2b (1+ \ cos \ varphi) \, \; b> 0 \.}$

(Второй карандаш можно рассматривать как отражение на оси Y первого. См. Диаграмму.)

Доказательство:
для кривой, заданной функцией в полярных координатах , выполняется следующая связь с декартовыми координатами: ${\ Displaystyle г (\ varphi)}$

${\ Displaystyle х (\ varphi) = р (\ varphi) \ соз \ varphi \, \ qquad}$ ${\ Displaystyle у (\ varphi) = р (\ varphi) \ грех \ varphi \ qquad}$

а для производных

${\ displaystyle {\ frac {dx} {d \ varphi}} = r '(\ varphi) \ cos \ varphi -r (\ varphi) \ sin \ varphi \, \ qquad}$${\ displaystyle {\ frac {dy} {d \ varphi}} = r '(\ varphi) \ sin \ varphi + r (\ varphi) \ cos \ varphi \.}$

Разделив второе уравнение на первое, получим декартов наклон касательной к кривой в точке : ${\ Displaystyle (г (\ varphi), \ varphi)}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {r '(\ varphi) \ sin \ varphi + r (\ varphi) \ cos \ varphi} {r' (\ varphi) \ cos \ varphi -r (\ varphi) \ sin \ varphi}}.}$

Для кардиоидов с уравнениями и соответственно получаем: ${\ Displaystyle г = 2а (1- \ соз \ varphi) \;}$${\ Displaystyle г = 2b (1+ \ соз \ varphi) \}$

${\ displaystyle {\ frac {dy_ {a}} {dx}} = {\ frac {\ cos \ varphi - \ cos 2 \ varphi} {\ sin 2 \ varphi - \ sin \ varphi}} \ quad}$ а также ${\ displaystyle \ quad {\ frac {dy_ {b}} {dx}} = - {\ frac {\ cos \ varphi + \ cos 2 \ varphi} {\ sin 2 \ varphi + \ sin \ varphi}} \. }$

(Наклон любой кривой зависит только от параметров, а не от них  !) Следовательно ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle a, b}$

${\ displaystyle {\ frac {dy_ {a}} {dx}} \ cdot {\ frac {dy_ {b}} {dx}} = \ cdots = - {\ frac {\ cos ^ {2} \ varphi - \ cos ^ {2} 2 \ varphi} {\ sin ^ {2} 2 \ varphi - \ sin ^ {2} \ varphi}} = - {\ frac {-1+ \ cos ^ {2} \ varphi + 1- \ cos ^ {2} 2 \ varphi} {\ sin ^ {2} 2 \ varphi - \ sin ^ {2} \ varphi}} = - 1 \.}$

Это означает: любая кривая первого пучка пересекает любую кривую второго пучка ортогонально.

На разных должностях

Выбор других положений кардиоиды в системе координат приводит к другим уравнениям. На рисунке показаны 4 наиболее распространенных положения кардиоиды и их полярные уравнения.

В комплексном анализе

В комплексном анализе , то изображение любого круга через начало координат при отображении является кардиоидой. Одно из применений этого результата состоит в том, что граница центральной компоненты периода 1 множества Мандельброта является кардиоидой, задаваемой уравнением${\ displaystyle от z \ до z ^ {2}}$

${\ displaystyle c \, = \, {\ frac {1- \ left (e ^ {it} -1 \ right) ^ {2}} {4}}. \,}$

Набор Мандельброта содержит бесконечное количество слегка искаженных копий самого себя, и центральная лампочка любой из этих уменьшенных копий является приблизительной кардиоидой.

Каустики

Некоторые каустики могут принимать форму кардиоидов. Катакостика круга относительно точки на окружности - это кардиоида. Кроме того, катакустика конуса относительно лучей, параллельных образующей, представляет собой поверхность, поперечное сечение которой является кардиоидой. Это видно, как на фотографии справа, в конической чашке, частично заполненной жидкостью, когда свет светит издалека и под углом, равным углу конуса. Форма кривой на дне цилиндрической чашки - это половина нефроида , который выглядит очень похоже.

Смотрите также

• Лимасон
• Нефроид
• Дельтовидная
• Жезл Витгенштейна
• Кардиоидный микрофон
• Лемниската Бернулли
• Рамочная антенна
• Радиопеленгатор
• Радиопеленгация
• Яги антенна
• Джованни Сальвемини

Примечания

использованная литература

• RC Yates (1952). «Кардиоидный». Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. У. Эдвардс. стр. 4 и след.
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвинов. С.  24–25 . ISBN 0-14-011813-6.

внешние ссылки

• "Кардиоида" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Кардиоида" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Сердечный жевали кардиоидные в вырез в-узел
• Вайсштейн, Эрик В. «Кардиоида» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Эпициклоида - 1-лабчатая» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая сердца» . MathWorld .
• Xah Lee, Cardioid (1998) (На этом сайте представлен ряд альтернативных конструкций) .
• Ян Вассенаар, Кардиоид , (2005)