Плоская кривая - Plane curve

В математике плоская кривая - это кривая на плоскости, которая может быть евклидовой плоскостью , аффинной плоскостью или проективной плоскостью . Наиболее часто изучаемые случаи - гладкие плоские кривые (включая кусочно гладкие плоские кривые) и алгебраические плоские кривые . Плоские кривые также включают жордановы кривые (кривые, которые охватывают часть плоскости, но не обязательно должны быть гладкими) и графики непрерывных функций .

Символическое представление

Плоской кривой часто может быть представлена в декартовой системе координат с помощью неявного уравнения вида для некоторой функции конкретных F . Если это уравнение может быть решено явно для y или x, то есть переписано как или для конкретной функции g или h, то это обеспечивает альтернативную, явную форму представления. Плоская кривая также часто может быть представлена ​​в декартовых координатах параметрическим уравнением вида для конкретных функций и${\ displaystyle f (x, y) = 0}$${\ Displaystyle у = г (х)}$${\ Displaystyle х = час (у)}$${\ Displaystyle (х, у) = (х (т), у (т))}$${\ Displaystyle х (т)}$${\ displaystyle y (t).}$

Плоские кривые иногда также могут быть представлены в альтернативных системах координат , таких как полярные координаты, которые выражают положение каждой точки через угол и расстояние от начала координат.

Гладкая плоская кривая

Гладкая плоская кривая представляет собой кривую в реальном евклидовой плоскости R ² и представляет собой одномерное гладкое многообразие . Это означает, что гладкая плоская кривая - это плоская кривая, которая «локально выглядит как линия » в том смысле, что около каждой точки она может быть отображена на линию с помощью гладкой функции . Эквивалентно гладкая плоская кривая может быть задана локально уравнением f ( x , y ) = 0 , где f  : R ² → R - гладкая функция , а частные производные ∂ f / ∂ x и ∂ f / ∂ y равны никогда оба 0 в точке кривой.

Алгебраическая плоская кривая

Алгебраическая кривая плоская кривая в аффинной или проективной плоскости , заданной одной полиномиальное уравнение F ( х , у ) = 0 (или F ( х , у , г ) = 0 , где Р представляет собой однородный многочлен , в проективном случае .)

Алгебраические кривые широко изучаются с 18 века.

Каждая алгебраическая плоская кривая имеет степень, степень определяющего уравнения, которая в случае алгебраически замкнутого поля равна числу пересечений кривой с линией общего положения . Например, круг, заданный уравнением x ² + y ² = 1, имеет степень 2.

В несингулярном плоских алгебраических кривых степени 2 называются коническими сечениями , и их проективное пополнение все изоморфно проективному завершение окружности х ² + у ² = 1 (то есть проективные кривая уравнения х ² + у ² - z ² = 0 ). Плоские кривые степени 3 называются плоскими кубическими кривыми и, если они неособые, эллиптическими кривыми . Кривые степени 4 называются плоскими кривыми четвертой степени .

Примеры

Многочисленные примеры плоских кривых показаны в Галерее кривых и перечислены в Списке кривых . Здесь показаны алгебраические кривые степени 1 или 2 (алгебраическая кривая степени меньше 3 всегда содержится в плоскости):

Имя	Неявное уравнение	Параметрическое уравнение	Как функция	график
Прямая линия	${\ displaystyle ax + by = c}$	${\ Displaystyle (х, у) = (х_ {0} + \ альфа т, у_ {0} + \ бета т)}$	${\ displaystyle y = mx + c}$
Круг	${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$	${\ Displaystyle (х, у) = (г \ соз т, г \ грех т)}$
Парабола	${\ displaystyle yx ^ {2} = 0}$	${\ Displaystyle (х, у) = (т, т ^ {2})}$	${\ Displaystyle у = х ^ {2}}$
Эллипс	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ Displaystyle (х, у) = (а \ соз т, б \ грех т)}$
Гипербола	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ Displaystyle (х, у) = (а \ сш т, б \ зп т)}$

Смотрите также

• Дифференциальная геометрия
• Алгебраическая геометрия
• Кривая Осгуда
• Аппроксимация кривой плоскости
• Проективные многообразия

использованная литература

• Кулидж, Дж. Л. (28 апреля 2004 г.), Трактат об алгебраических плоских кривых , Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, RC (1952), Справочник по кривым и их свойствам , JW Edwards, ASIN  B0007EKXV0.
• Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог специальных плоских кривых , Довер, ISBN 0-486-60288-5.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Плоская кривая" . MathWorld .