Лимасон - Limaçon

Построение лимака с началом полярных координат в точке ( x , y ) = (1/2, 0) ${\ Displaystyle г = 2 + \ соз (\ пи - \ тета)}$

В геометрии , A улитка Паскаля или улитка Паскаля / л ɪ м ə с ɒ п / , также известный как улитка Паскаля Паскаль , определяется как рулетка , образованной на пути от точки , закрепленной на окружности , когда что круг катится вокруг внешней стороны круг равного радиуса. Его также можно определить как рулетку, образованную, когда круг катится по кругу с половиной своего радиуса, так что меньший круг находится внутри большего круга. Таким образом, они принадлежат к семейству кривых, называемых центрированными трохоидами ; более конкретно, они являются эпитрохоидами . Кардиоида является частным случаем , в котором точка генерации рулетки лежит на подвижной окружности; полученная кривая имеет острие .

В зависимости от положения точки, образующей кривую, она может иметь внутреннюю и внешнюю петли (давая название семейству), она может иметь форму сердца или может быть овальной.

Лимасон - это бициркулярная рациональная плоская алгебраическая кривая степени 4.

Три лимака: ямчатый, с острым концом ( кардиоидный ) и петлевой. Не показано: выпуклый лимит.

История

Самое раннее официальное исследование лимасонов обычно приписывают Этьену Паскалю , отцу Блеза Паскаля . Однако некоторые проницательные исследования в отношении них были предприняты ранее немецким художником эпохи Возрождения Альбрехтом Дюрером . В « Underweysung der Messung» («Инструкция по измерению») Дюрера содержатся конкретные геометрические методы изготовления лимасонов. Кривая была названа Жилем де Робервалем, когда он использовал ее в качестве примера для поиска касательных.

Уравнения

Уравнение (с точностью до сдвига и вращения) лимака в полярных координатах имеет вид

${\ Displaystyle г = б + а \ соз \ тета.}$

Его можно преобразовать в декартовы координаты , умножив на r (таким образом, введя точку в начале координат, которая в некоторых случаях является ложной) и подставив и для получения ${\ Displaystyle г ^ {2} = х ^ {2} + у ^ {2}}$${\ Displaystyle г \ соз \ тета = х}$

${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -ax) ^ {2} = b ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}).}$

Применяя параметрическую форму преобразования полярных координат в декартово, мы также имеем

${\ Displaystyle х = (б + а \ соз \ тета) \ соз \ тета = {а \ над 2} + Ь \ соз \ тета + {а \ над 2} \ соз 2 \ тета,}$

${\ Displaystyle у = (б + а \ соз \ тета) \ грех \ тета = б \ грех \ тета + {а \ над 2} \ грех 2 \ тета;}$

при установке

${\ Displaystyle Z знак равно Икс + Iy = (б + а \ соз \ тета) (\ соз \ тета + я \ грех \ тета)}$

дает эту параметризацию в виде кривой на комплексной плоскости :

${\ displaystyle z = {a \ over 2} + be ^ {i \ theta} + {a \ over 2} e ^ {2i \ theta}.}$

Если бы мы сместились по горизонтали , т. Е. ${\ displaystyle -a / 2}$

${\ displaystyle z = be ^ {it} + {a \ over 2} e ^ {2it}}$ ,

мы бы, изменив положение начала координат, преобразовали бы в обычную форму уравнения центрированной трохоиды. Обратите внимание на изменение независимой переменной на этом этапе, чтобы прояснить, что мы больше не используем параметризацию полярных координат по умолчанию . ${\ displaystyle \ theta = \ arg z}$

Особые случаи

В частном случае полярное уравнение имеет вид ${\ displaystyle a = b}$

${\ Displaystyle г = б (1+ \ соз \ тета) = 2b \ соз ^ {2} {\ tfrac {\ theta} {2}}}$

или же

${\ displaystyle r ^ {1 \ over 2} = (2b) ^ {1 \ over 2} \ cos {\ tfrac {\ theta} {2}},}$

что делает его членом семейства кривых с синусоидальной спиралью . Эта кривая - кардиоида .

В частном случае центрированная трохоидная форма уравнения принимает вид ${\ displaystyle a = 2b}$

${\ displaystyle z = b (e ^ {it} + e ^ {2it}) = be ^ {3it \ over 2} (e ^ {it \ over 2} + e ^ {- it \ over 2}) = 2be ^ {3it \ over 2} \ cos {t \ over 2},}$

или, в полярных координатах,

${\ displaystyle r = 2b \ cos {\ theta \ over 3}}$

что делает его членом семейства кривых роз . Эта кривая представляет собой трисектрису , которую иногда называют трисектрисой лимона .

Форма

Когда лимасон представляет собой простую замкнутую кривую. Однако начало координат удовлетворяет приведенному выше декартову уравнению, поэтому график этого уравнения имеет узел или изолированную точку. ${\ displaystyle b> a}$

Когда область, ограниченная кривой, является выпуклой, а когда кривая имеет углубление, ограниченное двумя точками перегиба . В точке является точка кривизны 0 . ${\ displaystyle b> 2a}$${\ displaystyle a <b <2a}$${\ displaystyle b = 2a}$${\ displaystyle (-a, 0)}$

По мере уменьшения относительно , вдавливание становится более выраженным, пока при , кривая не станет кардиоидной, а вдавливание не станет выступом . Для куспид расширяется до внутреннего цикла, а кривая пересекает себя в начале координат. По мере приближения к 0 петля заполняет внешнюю кривую и, в пределе, лимит становится кругом, пройденным дважды. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b = a}$${\ Displaystyle 0 <Ь <а}$${\ displaystyle b}$

Измерение

Площадь, ограниченная лимасоном, составляет . При этом подсчитывается площадь, заключенная во внутреннем цикле, дважды. В этом случае кривая пересекает начало координат под углом , площадь, ограниченная внутренним контуром, равна ${\ Displaystyle г = б + а \ соз \ тета}$${\ displaystyle (b ^ {2} + {{a ^ {2}} \ over 2}) \ pi}$${\ displaystyle b <a}$${\ displaystyle \ pi \ pm \ arccos {b \ over a}}$

${\ displaystyle \ left (b ^ {2} + {{a ^ {2}} \ over 2} \ right) \ arccos {b \ over a} - {3 \ over 2} b {\ sqrt {a ^ { 2} -b ^ {2}}},}$

площадь, ограниченная внешним контуром, равна

${\ displaystyle \ left (b ^ {2} + {{a ^ {2}} \ over 2} \ right) \ left (\ pi - \ arccos {b \ over a} \ right) + {3 \ over 2 } b {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}},}$

а площадь между петлями -

${\ displaystyle \ left (b ^ {2} + {{a ^ {2}} \ over 2} \ right) \ left (\ pi -2 \ arccos {b \ over a} \ right) + 3b {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}.}$

Окружность лимака задается полным эллиптическим интегралом второго рода :

${\ displaystyle 4 (a + b) E \ left ({{2 {\ sqrt {ab}}} \ over a + b} \ right).}$

Отношение к другим кривым

• Позвольте быть точкой и быть кругом, центр которого нет . Тогда оболочка тех кругов, центр которых лежит и которые проходят, - это лимит. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle P}$

Лимасон - педальный изгиб круга

• Педаль из круга является улитка Паскаля. Фактически, педаль относительно начала круга с радиусом и центром имеет полярное уравнение . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle (а, 0)}$${\ Displaystyle г = б + а \ соз \ тета}$

• Обратный по отношению к единичной окружности IS ${\ Displaystyle г = б + а \ соз \ тета}$

${\ Displaystyle г = {1 \ над {б + а \ соз \ тета}}}$

что является уравнением конического сечения с эксцентриситетом и фокусом в начале координат. Таким образом, limaçon может быть определен как обратный конике, где центр инверсии является одним из фокусов. Если коника является параболой, то обратная сторона будет кардиоидой, если коника является гиперболой, тогда соответствующий лимит будет иметь внутреннюю петлю, а если коника является эллипсом, то соответствующий лимит не будет иметь петли. ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$

• Конхоида окружности по отношению к точке на окружности является улитка Паскаля.

• Частным частным случаем декартова овала является лимит.

Смотрите также

• Рулетка
• Центрированный трохоид
• Список периодических функций

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Джейн Гроссман и Майкл Гроссман. «Ямочка или без ямочки» , Двухлетний математический журнал колледжа , январь 1982 г., страницы 52–55.
• Говард Антон. Исчисление , 2-е издание, стр. 708, John Wiley & Sons, 1984.
• Говард Антон. [1] С. 725 - 726.
• Говард Ивс. Обзор геометрии , Том 2 (страницы 51,56,273), Аллин и Бэкон, 1965.

Внешние ссылки

• "Лимакон Паскаля" в архиве истории математики MacTutor
• «Лимасон» на www.2dcurves.com
• "Лимасон Паскаля" в MathCurve
• "Лимакон Паскаля" в Визуальном словаре специальных плоских кривых
• "Лимакон Паскаля" на PlanetPTC (Mathcad)