Кривизна - Curvature

Мигрирующая клетка Dictyostelium discoideum дикого типа , границы которой окрашены кривизной. Шкала шкалы: 5 мкм.

В математике , кривизна является одной из нескольких сильно связанных понятий в геометрии . Интуитивно кривизна - это величина, на которую кривая отклоняется от прямой линии или поверхность отклоняется от плоскости .

Для кривых каноническим примером является окружность , кривизна которой равна обратной величине ее радиуса . Меньшие круги изгибаются более резко и, следовательно, имеют большую кривизну. Кривизны в точке о наличии дифференцируемой кривой кривизна ее соприкасающейся окружности , то есть круг , который лучше всего аппроксимирует кривую вблизи этой точки. Кривизна прямой равна нулю. В отличие от касательной , которая является векторной величиной, кривизна в точке обычно является скалярной величиной, то есть выражается одним действительным числом .

Для поверхностей (и, в более общем смысле, для многомерных многообразий ), которые вложены в евклидово пространство , понятие кривизны более сложное, поскольку оно зависит от выбора направления на поверхности или многообразии. Это приводит к понятиям максимальной кривизны , минимальной кривизны и средней кривизны .

Для римановых многообразий (размерности не менее двух), которые не обязательно вложены в евклидово пространство, можно определить кривизну внутренне , то есть без ссылки на внешнее пространство. См преобразования кривизны для определения, что делается в терминах длин кривых прослежены на многообразии, и выражается с использованием линейной алгебры , с помощью тензора кривизны Римана .

История

В Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum философ и математик XIV века Николь Орем вводит понятие кривизны как меры отклонения от прямолинейности; для кругов кривизна обратно пропорциональна радиусу; и он пытается распространить эту идею на другие кривые с постоянно меняющейся величиной.

Кривизна дифференцируемой кривой первоначально определялась через соприкасающиеся окружности . В этом случае Огюстен-Луи Коши показал, что центр кривизны - это точка пересечения двух бесконечно близких нормальных линий к кривой.

Плоские кривые

Интуитивно, кривизна описывает для любой части кривого , сколько направления кривых изменений за небольшое расстояние (например , угол в рад / м ), так что это мера мгновенной скорости изменения в направлении точки , которая перемещается по кривая: чем больше кривизна, тем больше скорость изменения. Другими словами, кривизна измеряет, насколько быстро вращается единичный касательный вектор к кривой (быстро с точки зрения положения кривой). Фактически, можно доказать, что эта мгновенная скорость изменения и есть кривизна. Точнее, предположим, что точка движется по кривой с постоянной скоростью в одну единицу, то есть положение точки P ( s ) является функцией параметра s , который можно рассматривать как время или как длина дуги от заданного начала координат. Пусть Т ( ы ) быть единичный касательный вектор кривой в Р ( ы ) , который также является производным от Р ( х ) относительно х . Тогда производная T ( s ) по s - это вектор, нормальный к кривой, длина которого равна кривизне.

Для того чтобы иметь смысл, определение кривизны и ее различные характеристики требуют, чтобы кривая была непрерывно дифференцируемой вблизи P , так как касательная к ней непрерывно изменяется; это также требует, чтобы кривая была дважды дифференцируемой в точке P , чтобы гарантировать существование вовлеченных пределов и производной T ( s ) .

Определение кривизны в терминах производной единичного касательного вектора, вероятно, менее интуитивно понятно, чем определение в терминах соприкасающейся окружности, но формулы для вычисления кривизны легче вывести. Поэтому, а также из-за ее использования в кинематике , эта характеристика часто приводится как определение кривизны.

Оскулирующий круг

Исторически кривизна дифференцируемой кривой определялась через соприкасающийся круг , который лучше всего приближается к кривой в точке. Более точно, для данной точки Р на кривой, каждая другая точка Q кривой определяет круг (или иногда линию) , проходящую через Q и касательной к кривой в Р . Соприкасающаяся окружность есть предел , если он существует, из этого круга , когда Q стремится к P . Тогда центр и радиус кривизны кривой в точке P являются центром и радиусом соприкасающейся окружности. Кривизна обратно пропорциональна радиусу кривизны. То есть кривизна

где R - радиус кривизны (вся окружность имеет эту кривизну, ее можно прочитать как поворот на длине R ).

Этим определением сложно манипулировать и выразить его формулами. Поэтому были введены другие эквивалентные определения.

С точки зрения параметризации длины дуги

Каждую дифференцируемую кривую можно параметризовать по длине дуги . В случае плоской кривой это означает существование параметризации γ ( s ) = ( x ( s ), y ( s )) , где x и y - действительные дифференцируемые функции, производные которых удовлетворяют

Это означает, что касательный вектор

имеет норму, равную единице, и, следовательно, является единичным касательным вектором .

Если кривая дважды дифференцируема, то есть если существуют вторые производные x и y , то существует производная T ( s ) . Этот вектор нормален к кривой, его норма - кривизна κ ( s ) , и он ориентирован к центру кривизны. То есть,

Более того, поскольку радиус кривизны

и центр кривизны находится по нормали к кривой, центр кривизны - точка

Если N ( s ) - единичный вектор нормали, полученный из T ( s ) вращением против часовой стрелкиπ/2, тогда

где k ( s ) = ± κ ( s ) . Действительное число k ( s ) называется ориентированной кривизной или кривизной со знаком . Это зависит как от ориентации плоскости (определение против часовой стрелки), так и от ориентации кривой, предусмотренной параметризацией. Фактически, изменение переменной s → - s обеспечивает другую параметризацию длины дуги и меняет знак k ( s ) .

С точки зрения общей параметризации

Пусть γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) - собственное параметрическое представление дважды дифференцируемой плоской кривой. Здесь собственно означает, что в области определения параметризации производнаяd γ/dt определен, дифференцируем и нигде не равен нулевому вектору.

При такой параметризации кривизна со знаком равна

где штрихи относятся к производным по t . Таким образом, кривизна κ равна

Они могут быть выражены безкоординатным образом как

Эти формулы могут быть получены из частного случая параметризации длины дуги следующим образом. Вышеупомянутое условие параметризации подразумевает, что длина дуги s является дифференцируемой монотонной функцией параметра t , и наоборот, что t является монотонной функцией s . Более того, изменяя, если необходимо, s на - s , можно предположить, что эти функции возрастают и имеют положительную производную. Используя обозначения предыдущего раздела и цепное правило , мы имеем

и, таким образом, принимая норму обеих сторон

где штрих означает вывод по t .

Кривизна - это норма производной T по s . Используя приведенную выше формулу и правило цепочки, эту производную и ее норму можно выразить только через γ ' и γ , при этом параметр длины дуги s полностью исключен, давая приведенные выше формулы для кривизны.

График функции

График функции у = ф ( х ) , является частным случаем параметризованном кривой, формы

Поскольку первая и вторая производные от x равны 1 и 0, предыдущие формулы упрощаются до

для кривизны, и для

для подписанной кривизны.

В общем случае кривой знак кривизны со знаком как-то произвольно, поскольку зависит от ориентации кривой. В случае графика функции существует естественная ориентация за счет увеличения значений x . Это делает значимым признак подписанной кривизны.

Знак кривизны со знаком такой же, как знак второй производной от f . Если он положительный, то график имеет вогнутость вверх, а если он отрицательный, график имеет вогнутость вниз. Он равен нулю, значит, есть точка перегиба или точка волнистости .

Когда наклон графика (то есть производная функции) мал, кривизна со знаком хорошо аппроксимируется второй производной. Точнее, используя большие обозначения O ,

В физике и технике принято аппроксимировать кривизну второй производной, например, в теории пучков или для вывода волнового уравнения натянутой струны, а также в других приложениях, где используются небольшие уклоны. Это часто позволяет системы, которые в противном случае нелинейными следует рассматривать как линейные.

Полярные координаты

Если кривая определяется в полярных координатах радиусом, выраженным как функция полярного угла, то есть r является функцией θ , то ее кривизна равна

где штрих относится к дифференцированию по θ .

Это следует из формулы для общей параметризации с учетом параметризации

Неявная кривая

Для кривой, определяемой неявным уравнением F ( x , y ) = 0 с частными производными, обозначенными F x , F y , F xx , F xy , F yy , кривизна задается формулой

Кривизна со знаком не определена, поскольку она зависит от ориентации кривой, которая не обеспечивается неявным уравнением. Кроме того , изменение F в - F не изменяет кривой, но меняет знак числителя , если абсолютное значение опущено в предыдущей формуле.

Точка кривой, где F x = F y = 0, является особой точкой , что означает, что кривая не дифференцируема в этой точке, и, таким образом, кривизна не определена (чаще всего точка является либо точкой пересечения, либо бугорок ).

Вышеупомянутая формула для кривизны может быть получена из выражения кривизны графика функции с помощью теоремы о неявной функции и того факта, что на такой кривой выполняется

Примеры

Может быть полезно проверить на простых примерах, что разные формулы, приведенные в предыдущих разделах, дают одинаковый результат.

Круг

Обычная параметризация окружности радиуса r : γ ( t ) = ( r cos t , r sin t ) . Формула кривизны дает

Из этого следует, как и ожидалось, что радиус кривизны - это радиус окружности, а центр кривизны - это центр окружности.

Круг - это редкий случай, когда параметризацию длины дуги легко вычислить, так как это

Это параметризация длины дуги, поскольку норма

равно единице. Эта параметризация дает одно и то же значение кривизны, поскольку оно равно делению на r 3 как в числителе, так и в знаменателе в предыдущей формуле.

Тот же круг также можно определить неявным уравнением F ( x , y ) = 0 с F ( x , y ) = x 2 + y 2 - r 2 . Тогда формула кривизны в этом случае дает

Парабола

Рассмотрим параболу y = ax 2 + bx + c .

Это график функции с производной 2 ax + b и второй производной 2 a . Итак, кривизна со знаком

Он имеет знак a для всех значений x . Это означает, что при a > 0 вогнутость всюду направлена ​​вверх; если а <0 , вогнутость направлена ​​вниз; при a = 0 кривизна всюду равна нулю, что подтверждает, что парабола в этом случае вырождается в прямую.

(Беззнаковая) кривизна максимальна при x = -б/2 а, то есть в стационарной точке (нулевой производной) функции, которая является вершиной параболы.

Рассмотрим параметризацию γ ( t ) = ( t , at 2 + bt + c ) = ( x , y ) . Первая производная от x равна 1 , а вторая производная равна нулю. Подстановка в формулу для общих параметризаций дает точно такой же результат, как и выше, с заменой x на t . Если использовать простые числа для производных по параметру t .

Та же парабола также может быть определена неявным уравнением F ( x , y ) = 0 с F ( x , y ) = ax 2 + bx + c - y . Поскольку F y = –1 и F yy = F xy = 0 , получается точно такое же значение для (беззнаковой) кривизны. Однако кривизна со знаком здесь не имеет смысла, поскольку - F ( x , y ) = 0 является действительным неявным уравнением для той же параболы, которая дает противоположный знак для кривизны.

Формулы Френе – Серре для плоских кривых.

Векторы Т и N в двух точках на плоской кривой, переведенного версии второго кадра (пунктир), и δ T изменение T . Здесь δs - расстояние между точками. В пределеd T/dsбудет находиться в направлении N . Кривизна описывает скорость вращения рамы.

Выражение кривизны С точки зрения параметризации длины дуги - это, по сути, первая формула Френе – Серре.

где штрихи относятся к производным по длине дуги s , а N ( s ) - нормальный единичный вектор в направлении T '(s) .

Поскольку плоские кривые имеют нулевое кручение , вторая формула Френе – Серре дает соотношение

Для общей параметризации параметром t нужны выражения, содержащие производные по t . Поскольку они получены умножением наds/dtпроизводные по s , при любой надлежащей параметризации

Космические кривые

Анимация кривизны и вектора ускорения T ′ ( s )

Как и в случае кривых в двух измерениях, кривизна кривой C регулярного пространства в трех измерениях (и выше) представляет собой величину ускорения частицы, движущейся с единичной скоростью по кривой. Таким образом, если γ ( s ) является параметризацией C длиной дуги, то единичный касательный вектор T ( s ) задается формулой

а кривизна - это величина ускорения:

Направление ускорения - это единичный вектор нормали N ( s ) , который определяется формулой

Плоскость, содержащая два вектора T ( s ) и N ( s ), является плоскостью соприкосновения с кривой в точке γ ( s ) . Кривизна имеет следующую геометрическую интерпретацию. В соприкасающейся плоскости существует окружность, касательная к γ ( s ), чей ряд Тейлора до второго порядка в точке контакта совпадает с рядом Тейлора для γ ( s ) . Это соприкасающийся круг кривой. Радиус окружности R ( s ) называется радиусом кривизны , а кривизна обратной величине радиуса кривизны:

Касательная, кривизна и вектор нормали вместе описывают поведение кривой второго порядка вблизи точки. В трех измерениях поведение кривой третьего порядка описывается связанным понятием кручения , которое измеряет степень, в которой кривая имеет тенденцию перемещаться по спиральной траектории в пространстве. Кручение и кривизна связаны формулами Френе – Серре (в трех измерениях) и их обобщением (в более высоких измерениях).

Общие выражения

Для параметрически определенной пространственной кривой в трех измерениях, заданной в декартовых координатах как γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , кривизна равна

где штрих означает дифференцирование по параметру t . Это можно выразить независимо от системы координат с помощью формулы

где × обозначает векторное произведение . Эквивалентно,

Здесь T обозначает матрицу, транспонированную вектора. Эта последняя формула (без перекрестного произведения) также верна для кривизны кривых в евклидовом пространстве любой размерности.

Кривизна от длины дуги и хорды

Принимая во внимание две точки P и Q на С , пусть с ( P , Q ) длина дуги участка кривой между P и Q , и пусть д ( Р , Q ) обозначает длину отрезка от Р до Q . Кривизна C в точке P определяется пределом

где предел берется как точка Q приближается к P на C . Знаменатель также можно принять равным d ( P , Q ) 3 . Формула действительна в любом измерении. Кроме того, рассматривая предел независимо друг от друга по обе стороны от Р , такое определение кривизны иногда может вместить особенность в Р . Формула следует путем проверки ее на соприкасающийся круг.

Поверхности

Кривизна кривых, нарисованных на поверхности, является основным инструментом для определения и изучения кривизны поверхности.

Кривые на поверхностях

Для кривой, нарисованной на поверхности (встроенной в трехмерное евклидово пространство ), определены несколько кривизны, которые связывают направление кривизны с единичным вектором нормали к поверхности , включая:

Любая неособая кривая на гладкой поверхности имеет касательный вектор T, лежащий в касательной плоскости поверхности. Нормальная кривизна , к п , кривизна кривой проекции на плоскость , содержащую касательную кривой в Т и нормали к поверхности U ; геодезическая кривизна , к г , есть кривизна кривой проецируются на касательную плоскость поверхности в; а геодезическое кручение (или относительное кручение ) τ r измеряет скорость изменения нормали к поверхности вокруг касательной к кривой.

Пусть кривая параметризована длиной дуги , и пусть t = u × T, так что T , t , u образуют ортонормированный базис , называемый репером Дарбу . Вышеуказанные количества связаны между собой:

Основная кривизна

Седловая поверхность с нормальными плоскостями в направлениях главных кривизны

Все кривые на поверхности с одним и тем же касательным вектором в данной точке будут иметь одинаковую нормальную кривизну, которая совпадает с кривизной кривой, полученной путем пересечения поверхности с плоскостью, содержащей T и u . Взяв все возможные касательные векторы, максимальное и минимальное значения нормальной кривизны в точке называются главными кривизнами , k 1 и k 2 , а направления соответствующих касательных векторов называются направлениями главных нормалей .

Нормальные разделы

Кривизну можно оценить по нормальным сечениям поверхности , аналогично § Кривые на поверхностях выше (см., Например, радиус кривизны Земли ).

Гауссова кривизна

В отличие от кривых, которые не имеют собственной кривизны, но имеют внешнюю кривизну (они имеют только кривизну, заданную вложением), поверхности могут иметь внутреннюю кривизну, независимо от вложения. Гауссова кривизна , названный в честь Гаусс , равна произведению главных кривизн, K 1 K 2 . Она имеет размерность −2 и положительна для сфер , отрицательна для однополостных гиперболоидов и равна нулю для плоскостей и цилиндров . Он определяет, является ли поверхность локально выпуклой (когда она положительная) или локально седловидной (когда она отрицательная).

Гауссова кривизна является внутренним свойством поверхности, то есть не зависит от конкретного вложения поверхности; интуитивно это означает, что муравьи, живущие на поверхности, могут определять гауссову кривизну. Например, муравей, живущий на сфере, может измерить сумму внутренних углов треугольника и определить, что он больше 180 градусов, подразумевая, что пространство, в котором он обитает, имеет положительную кривизну. С другой стороны, муравей, живущий на цилиндре, не обнаружит такого отклонения от евклидовой геометрии ; в частности, муравей не смог обнаружить, что две поверхности имеют разную среднюю кривизну (см. ниже), что является чисто внешним типом кривизны.

Формально гауссова кривизна зависит только от римановой метрики поверхности. Это Gauss «празднуется Theorema Egregium , который он нашел в то время как касается географических исследований и картографии.

Внутреннее определение гауссовой кривизны в точке P следующее: представьте муравья, привязанного к P короткой нитью длины r . Она проходит вокруг P в то время как поток полностью растягивается и измеряет длину С ( г ) одного полного поездки по P . Если бы поверхность была плоской, муравей нашел бы C ( r ) = 2π r . На искривленных поверхностях формула для C ( r ) будет другой, и гауссова кривизна K в точке P может быть вычислена по теореме Бертрана – Диге – Пюизо как

Интеграл гауссовой кривизны по всей поверхности тесно связан с поверхностью в эйлеровой характеристику ; см. теорему Гаусса – Бонне .

Дискретный аналог кривизны, соответствующий сосредоточению кривизны в точке и особенно полезный для многогранников , - это (угловой) дефект ; аналогом теоремы Гаусса – Бонне является теорема Декарта о полном угловом дефекте .

Поскольку (гауссова) кривизна может быть определена без ссылки на пространство вложения, нет необходимости, чтобы поверхность была вложена в пространство более высокой размерности, чтобы она могла быть искривленной. Такая внутренне искривленная двумерная поверхность является простым примером риманова многообразия .

Средняя кривизна

Средняя кривизна - это внешняя мера кривизны, равная половине суммы главных кривизны ,к 1 + к 2/2. Он имеет размерность -1 . Средняя кривизна тесно связана с первым изменением площади поверхности . В частности, минимальная поверхность, такая как мыльная пленка, имеет нулевую среднюю кривизну, а мыльный пузырь имеет постоянную среднюю кривизну. В отличие от кривизны Гаусса, средняя кривизна является внешней и зависит от вложения, например, цилиндр и плоскость локально изометричны, но средняя кривизна плоскости равна нулю, а кривизна цилиндра отлична от нуля.

Вторая фундаментальная форма

Внутренняя и внешняя кривизна поверхности может быть объединена во второй фундаментальной форме. Это квадратичная форма в касательной плоскости к поверхности в точке, значение которой в конкретном касательном векторе X к поверхности является нормальной составляющей ускорения кривой вдоль касательной к X поверхности ; то есть это нормальная кривизна кривой, касательной к X (см. выше ). Символично,

где N - единица нормали к поверхности. Для единичных касательных векторов X вторая основная форма принимает максимальное значение k 1 и минимальное значение k 2 , которые возникают в главных направлениях u 1 и u 2 , соответственно. Таким образом, по теореме о главной оси вторая фундаментальная форма имеет вид

Таким образом, вторая фундаментальная форма кодирует как внутреннюю, так и внешнюю кривизну.

Оператор формы

Инкапсуляцию кривизны поверхности можно найти в операторе формы S , который является самосопряженным линейным оператором касательной плоскости к самой себе (в частности, дифференциалом карты Гаусса ).

Для поверхности с касательными векторами X и нормалью N оператор формы может быть компактно выражен в обозначении суммирования индексов как

(Сравните альтернативное выражение кривизны для плоской кривой.)

Уравнения Вейнгартена дают значение S через коэффициенты первой и второй фундаментальных форм как

Основные кривизны - это собственные значения оператора формы, основные направления кривизны - это его собственные векторы , кривизна Гаусса - его определитель , а средняя кривизна - половина его следа .

Искривление пространства

Расширяя предыдущий аргумент, пространство трех или более измерений может быть искривлено по своей сути. Кривизна является внутренней в том смысле, что это свойство, определенное в каждой точке пространства, а не свойство, определенное по отношению к большему пространству, которое его содержит. В общем, искривленное пространство может или не может быть задумано как встроенное в многомерное окружающее пространство ; в противном случае его кривизну можно определить только внутренне.

После открытия внутреннего определения кривизны, которое тесно связано с неевклидовой геометрией , многие математики и ученые задавались вопросом, может ли обычное физическое пространство искривляться, хотя успех евклидовой геометрии до того времени означал, что радиус кривизны должен быть астрономически большим. В общей теории относительности , описывающей гравитацию и космологию , идея слегка обобщается на «кривизну пространства-времени »; в теории относительности пространство-время - это псевдориманово многообразие . Как только координата времени определена, трехмерное пространство, соответствующее конкретному времени, обычно является искривленным римановым многообразием; но поскольку выбор временной координаты в значительной степени произвольный, физически значимой является кривизна лежащего в основе пространства-времени.

Хотя произвольно искривленное пространство очень сложно описать, кривизна пространства, которое является локально изотропным и однородным , описывается единственной гауссовой кривизной, как для поверхности; математически это сильные условия, но они соответствуют разумным физическим предположениям (все точки и все направления неразличимы). Положительная кривизна соответствует обратному квадрату радиуса кривизны; пример - сфера или гиперсфера . Примером отрицательно искривленного пространства является гиперболическая геометрия . Пространство или пространство-время с нулевой кривизной называется плоским . Например, евклидово пространство является примером плоского пространства, а пространство Минковского - примером плоского пространства-времени. Однако есть и другие примеры плоской геометрии в обеих настройках. Тора или цилиндр может быть оба даны плоские метрики, но различается по своей топологии . Для искривленного пространства также возможны другие топологии. См. Также форму Вселенной .

Обобщения

Параллельная транспортировка вектора из ANBA дает другой вектор. Эта неспособность вернуться к исходному вектору измеряется голономией поверхности.

Математическое понятие кривизны также определяется в гораздо более общем контексте. Многие из этих обобщений подчеркивают различные аспекты кривизны, как это понимается в более низких измерениях.

Одно из таких обобщений - кинематическое. Кривизну кривой, естественно, можно рассматривать как кинематическую величину, представляющую силу, ощущаемую определенным наблюдателем, движущимся вдоль кривой; аналогично, кривизна в высших измерениях может рассматриваться как своего рода приливная сила (это один из способов мышления о секционной кривизне ). Это обобщение кривизны зависит от того, как соседние пробные частицы расходятся или сходятся, когда им позволяют свободно перемещаться в пространстве; см. поле Якоби .

Другое широкое обобщение кривизны связано с изучением параллельного переноса на поверхности. Например, если вектор перемещается по петле на поверхности сферы, сохраняя параллельность на протяжении всего движения, то конечное положение вектора может не совпадать с исходным положением вектора. Это явление известно как голономия . Различные обобщения в абстрактной форме фиксируют эту идею кривизны как меры голономии; см. форму кривизны . Тесно связанное понятие кривизны происходит из калибровочной теории в физике, где кривизна представляет собой поле, а векторный потенциал поля - это величина, которая в целом зависит от траектории: она может измениться, если наблюдатель перемещается по петле.

Еще два обобщения кривизны - это скалярная кривизна и кривизна Риччи . На изогнутой поверхности, такой как сфера, площадь диска на поверхности отличается от площади диска того же радиуса в плоском пространстве. Эта разница (в подходящем пределе) измеряется скалярной кривизной. Разница в площади сектора диска измеряется кривизной Риччи. Каждая из скалярной кривизны и кривизны Риччи определяется аналогичным образом в трех и более измерениях. Они особенно важны в теории относительности, где оба появляются на стороне уравнений поля Эйнштейна, которые представляют геометрию пространства-времени (другая сторона которого представляет присутствие материи и энергии). Эти обобщения кривизны лежат в основе, например, представления о том, что кривизна может быть свойством меры ; увидеть кривизну меры .

Другое обобщение кривизны основывается на способности сравнивать искривленное пространство с другим пространством, имеющим постоянную кривизну. Часто это делается с помощью треугольников в пробелах. Понятие треугольника имеет смысл в метрических пространствах , и это порождает пространства CAT ( k ) .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки