Байесовская многомерная линейная регрессия - Bayesian multivariate linear regression

Часть серии по
Регрессионный анализ
Модели
Линейная регрессия Простая регрессия Полиномиальная регрессия Общая линейная модель
Обобщенная линейная модель Дискретный выбор Биномиальная регрессия Бинарная регрессия Логистическая регрессия Полиномиальный логит Смешанный логит Пробит Полиномиальный пробит Заказал логит Заказал пробит Пуассон
Многоуровневая модель Фиксированные эффекты Случайные эффекты Линейная модель смешанных эффектов Нелинейная модель смешанных эффектов
Нелинейная регрессия Непараметрический Полупараметрический Надежный Квантиль Изотонический Основные компоненты Наименьший угол Местный Сегментированный
Ошибки в переменных
Предварительный расчет
Наименьших квадратов Линейный Нелинейный
Обыкновенный Взвешенный Обобщенный
Частичное Общее количество Неотрицательный Регрессия хребта Регулярный
Наименьшие абсолютные отклонения Итеративно переназначенный Байесовский Байесовский многомерный
Задний план
Проверка регрессии Средний и прогнозируемый ответ Ошибки и остатки Доброту соответствия Студентизованный остаток Теорема Гаусса – Маркова
Математический портал
v т е

В статистике , байесовский многомерный линейной регрессии является байесовский подход к многомерной линейной регрессии , т.е. линейной регрессии , где прогнозируемый результат является вектором коррелированных случайных величин , а не одной скалярной случайной величины. Более общую трактовку этого подхода можно найти в статье « Оценка MMSE» .

подробности

Рассмотрим задачу регрессии, в которой предсказываемая зависимая переменная является не одним вещественным скаляром, а вектором коррелированных действительных чисел длиной m . Как и в стандартной настройке регрессии, есть n наблюдений, где каждое наблюдение i состоит из k -1 независимых переменных , сгруппированных в вектор длины k (где фиктивная переменная со значением 1 была добавлена, чтобы учесть коэффициент пересечения ). Это можно рассматривать как набор из m задач регрессии для каждого наблюдения i : ${\ Displaystyle \ mathbf {х} _ {я}}$

${\ displaystyle y_ {i, 1} = \ mathbf {x} _ {i} ^ {\ rm {T}} {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} + \ epsilon _ {i, 1}}$

${\ displaystyle \ cdots}$

${\ displaystyle y_ {i, m} = \ mathbf {x} _ {i} ^ {\ rm {T}} {\ boldsymbol {\ beta}} _ {m} + \ epsilon _ {i, m}}$

где набор ошибок все коррелирован. Эквивалентно, это можно рассматривать как единую проблему регрессии, где результатом является вектор-строка, а векторы коэффициентов регрессии уложены друг за другом, как показано ниже: ${\ Displaystyle \ {\ epsilon _ {я, 1}, \ ldots, \ epsilon _ {я, м} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {i} ^ {\ rm {T}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {i} ^ {\ rm {T}} = \ mathbf {x} _ {i} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {B} + {\ boldsymbol {\ epsilon }} _ {i} ^ {\ rm {T}}.}$

Матрица коэффициентов B представляет собой матрицу, в которой векторы коэффициентов для каждой задачи регрессии расположены горизонтально: ${\ Displaystyle к \ раз м}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1}, \ ldots, {\ boldsymbol {\ beta}} _ {m}}$

${\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {pmatrix} \\ {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} \\\\\ end {pmatrix}} \ cdots {\ begin {pmatrix} \\ {\ boldsymbol {\ beta}} _ {m} \\\\\ end {pmatrix}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {pmatrix} \ beta _ { 1,1} \\\ vdots \\\ beta _ {k, 1} \\\ end {pmatrix}} \ cdots {\ begin {pmatrix} \ beta _ {1, m} \\\ vdots \\\ beta _ {k, m} \\\ end {pmatrix}} \ end {bmatrix}}.}$

Вектор шума для каждого наблюдения i в совокупности нормален, так что результаты для данного наблюдения коррелированы: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ epsilon}} _ {я}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ epsilon}} _ {i} \ sim N (0, {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}).}$

Мы можем записать всю проблему регрессии в матричной форме как:

${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = \ mathbf {X} \ mathbf {B} + \ mathbf {E},}$

где Y и E - матрицы. Конструкции матрица X представляет собой матрицу с наблюдениями уложенных вертикально, как и в стандартной линейной регрессии установки: ${\ Displaystyle п \ раз м}$ ${\ Displaystyle п \ раз к}$

${\ Displaystyle \ mathbf {X} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {x} _ {1} ^ {\ rm {T}} \\\ mathbf {x} _ {2} ^ {\ rm {T} } \\\ vdots \\\ mathbf {x} _ {n} ^ {\ rm {T}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1,1} & \ cdots & x_ {1, k} \\ x_ {2,1} & \ cdots & x_ {2, k} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {n, 1} & \ cdots & x_ {n, k} \ end {bmatrix }}.}$

Классическое решение частотного линейного метода наименьших квадратов состоит в простой оценке матрицы коэффициентов регрессии с использованием псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза : ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} = (\ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X}) ^ {- 1} \ mathbf {X} ^ {\ rm { T}} \ mathbf {Y}}$.

Чтобы получить байесовское решение, нам нужно указать условное правдоподобие, а затем найти подходящее сопряженное априорное значение. Как и в одномерном случае линейной байесовской регрессии , мы обнаружим, что можем указать естественный условный сопряженный априор (который зависит от масштаба).

Запишем нашу условную вероятность в виде

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {E} | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}) \ propto | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} | ^ {- n / 2} \ exp (- {\ frac {1} {2}} {\ rm {tr}} (\ mathbf {E} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {E} {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ { \ epsilon} ^ {- 1})),}$

писать ошибки в терминах и урожайности ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}, \ mathbf {X},}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {Y} | \ mathbf {X}, \ mathbf {B}, {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}) \ propto | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} | ^ {- n / 2} \ exp (- {\ frac {1} {2}} {\ rm {tr}} ((\ mathbf {Y} - \ mathbf {X} \ mathbf {\ mathbf {B}}) ^ {\ rm {T}} (\ mathbf {Y} - \ mathbf {X} \ mathbf {\ mathbf {B}}) {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {-1})),}$

Мы ищем естественный сопряженный априор - совместную плотность, которая имеет ту же функциональную форму, что и вероятность. Поскольку вероятность квадратична по , мы переписываем правдоподобие так, чтобы оно было нормальным (отклонение от классической выборочной оценки). ${\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {B}, \ Sigma _ {\ epsilon})}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle (\ mathbf {B} - {\ hat {\ mathbf {B}}})}$

Используя ту же технику, что и в случае с байесовской линейной регрессией , мы разлагаем экспоненциальный член, используя матричную форму метода суммы квадратов. Однако здесь нам также потребуется использовать матричное дифференциальное исчисление ( произведение Кронекера и преобразования векторизации ).

Во-первых, давайте применим сумму квадратов, чтобы получить новое выражение для вероятности:

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {Y} | \ mathbf {X}, \ mathbf {B}, {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}) \ propto | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} | ^ {- (nk) / 2} \ exp (- {\ rm {tr}} ({\ frac {1} {2}} \ mathbf {S} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {S} {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {- 1})) | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} | ^ {- k / 2} \ exp (- {\ frac {1} {2}} {\ rm {tr}} ((\ mathbf {B} - {\ hat {\ mathbf {B}}}) ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} (\ mathbf {B} - {\ hat {\ mathbf {B}}}) {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {- 1} )),}$

${\ Displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbf {Y} - \ mathbf {X} {\ hat {\ mathbf {B}}}}$

Мы хотели бы разработать условную форму для априорных точек:

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {B}, {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}) = \ rho ({\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}) \ rho (\ mathbf { B} | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}),}$

где - это распределение, обратное Вишарту, и - некоторая форма нормального распределения в матрице . Это достигается с помощью преобразования векторизации , которое преобразует вероятность из функции матриц в функцию векторов . ${\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon})}$${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {B} | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon})}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}, {\ hat {\ mathbf {B}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} = {\ rm {vec}} (\ mathbf {B}), {\ hat {\ boldsymbol {\ beta}}} = {\ rm {vec}} ({\ шляпа {\ mathbf {B}}})}$

Напишите

${\ displaystyle {\ rm {tr}} ((\ mathbf {B} - {\ hat {\ mathbf {B}}}) ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} ^ {\ rm {T} } \ mathbf {X} (\ mathbf {B} - {\ hat {\ mathbf {B}}}) {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {- 1}) = {\ rm {vec }} (\ mathbf {B} - {\ hat {\ mathbf {B}}}) ^ {\ rm {T}} {\ rm {vec}} (\ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} (\ mathbf {B} - {\ hat {\ mathbf {B}}}) {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {- 1})}$

Позволять

${\ displaystyle {\ rm {vec}} (\ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} (\ mathbf {B} - {\ hat {\ mathbf {B}}}) {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {- 1}) = ({\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {- 1} \ otimes \ mathbf {X} ^ {\ rm {T }} \ mathbf {X}) {\ rm {vec}} (\ mathbf {B} - {\ hat {\ mathbf {B}}}),}$

где обозначает произведение Кронекера матриц A и B , обобщение внешнего произведения, которое умножает матрицу на матрицу для создания матрицы, состоящей из каждой комбинации произведений элементов из двух матриц. ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}}$${\ Displaystyle м \ раз п}$${\ displaystyle p \ times q}$${\ displaystyle mp \ times nq}$

затем

${\ displaystyle {\ rm {vec}} (\ mathbf {B} - {\ hat {\ mathbf {B}}}) ^ {\ rm {T}} ({\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon } ^ {- 1} \ otimes \ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X}) {\ rm {vec}} (\ mathbf {B} - {\ hat {\ mathbf {B}) }})}$

${\ displaystyle = ({\ boldsymbol {\ beta}} - {\ hat {\ boldsymbol {\ beta}}}) ^ {\ rm {T}} ({\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {-1} \ otimes \ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X}) ({\ boldsymbol {\ beta}} - {\ hat {\ boldsymbol {\ beta}}})}$

что приведет к нормальной вероятности . ${\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ beta}} - {\ hat {\ boldsymbol {\ beta}}})}$

С вероятностью в более понятной форме, теперь мы можем найти естественное (условное) сопряжение априорной точки.

Сопряженное предварительное распределение

Естественное сопряжение до использования векторизованной переменной имеет вид: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$

${\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {\ beta}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}) = \ rho ({\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}) \ rho ( {\ boldsymbol {\ beta}} | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon})}$,

где

${\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}) \ sim {\ mathcal {W}} ^ {- 1} (\ mathbf {V_ {0}}, {\ boldsymbol {\ nu }} _ {0})}$

и

${\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {\ beta}} | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}) \ sim N ({\ boldsymbol {\ beta}} _ {0}, {\ boldsymbol { \ Sigma}} _ {\ epsilon} \ otimes {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0} ^ {- 1}).}$

Заднее распространение

Используя вышеупомянутые априорное значение и вероятность, апостериорное распределение можно выразить как:

${\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {\ beta}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} | \ mathbf {Y}, \ mathbf {X}) \ propto | {\ boldsymbol {\ Sigma }} _ {\ epsilon} | ^ {- ({\ boldsymbol {\ nu}} _ {0} + m + 1) / 2} \ exp {(- {\ frac {1} {2}} {\ rm {tr}} (\ mathbf {V_ {0}} {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {- 1}))}}$

${\ displaystyle \ times | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} | ^ {- k / 2} \ exp {(- {\ frac {1} {2}} {\ rm {tr}} ( (\ mathbf {B} - \ mathbf {B_ {0}}) ^ {\ rm {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0} (\ mathbf {B} - \ mathbf {B_ {0} }) {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {- 1}))}}$

${\ displaystyle \ times | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} | ^ {- n / 2} \ exp {(- {\ frac {1} {2}} {\ rm {tr}} ( (\ mathbf {Y} - \ mathbf {XB}) ^ {\ rm {T}} (\ mathbf {Y} - \ mathbf {XB}) {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {- 1}))},}$

где . Термины, в которых участвуют, могут быть сгруппированы (с ) с использованием: ${\ displaystyle {\ rm {vec}} (\ mathbf {B_ {0}}) = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0} = \ mathbf {U} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {U}}$

${\ displaystyle (\ mathbf {B} - \ mathbf {B_ {0}}) ^ {\ rm {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0} (\ mathbf {B} - \ mathbf {B_ {0}}) + (\ mathbf {Y} - \ mathbf {XB}) ^ {\ rm {T}} (\ mathbf {Y} - \ mathbf {XB})}$

${\ displaystyle = \ left ({\ begin {bmatrix} \ mathbf {Y} \\\ mathbf {UB_ {0}} \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} \ mathbf {X} \\\ mathbf {U} \ end {bmatrix}} \ mathbf {B} \ right) ^ {\ rm {T}} \ left ({\ begin {bmatrix} \ mathbf {Y} \\\ mathbf {UB_ {0}} \ конец {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} \ mathbf {X} \\\ mathbf {U} \ end {bmatrix}} \ mathbf {B} \ right)}$

${\ displaystyle = \ left ({\ begin {bmatrix} \ mathbf {Y} \\\ mathbf {UB_ {0}} \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} \ mathbf {X} \\\ mathbf {U} \ end {bmatrix}} \ mathbf {B_ {n}} \ right) ^ {\ rm {T}} \ left ({\ begin {bmatrix} \ mathbf {Y} \\\ mathbf {UB_ {0 }} \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} \ mathbf {X} \\\ mathbf {U} \ end {bmatrix}} \ mathbf {B_ {n}} \ right) + (\ mathbf {B } - \ mathbf {B_ {n}}) ^ {\ rm {T}} (\ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} + {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0 }) (\ mathbf {B} - \ mathbf {B_ {n}})}$

${\ displaystyle = (\ mathbf {Y} - \ mathbf {XB_ {n}}) ^ {\ rm {T}} (\ mathbf {Y} - \ mathbf {XB_ {n}}) + (\ mathbf {B_ {0}} - \ mathbf {B_ {n}}) ^ {\ rm {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0} (\ mathbf {B_ {0}} - \ mathbf {B_ {n }}) + (\ mathbf {B} - \ mathbf {B_ {n}}) ^ {\ rm {T}} (\ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} + {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0}) (\ mathbf {B} - \ mathbf {B_ {n}})}$,

с участием

${\ displaystyle \ mathbf {B_ {n}} = (\ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} + {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0}) ^ {- 1} (\ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} {\ hat {\ mathbf {B}}} + {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0} \ mathbf {B_ {0} }) = (\ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} + {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0}) ^ {- 1} (\ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {Y} + {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0} \ mathbf {B_ {0}})}$.

Теперь это позволяет нам записать апостериор в более удобной форме:

${\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {\ beta}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} | \ mathbf {Y}, \ mathbf {X}) \ propto | {\ boldsymbol {\ Sigma }} _ {\ epsilon} | ^ {- ({\ boldsymbol {\ nu}} _ {0} + m + n + 1) / 2} \ exp {(- {\ frac {1} {2}} { \ rm {tr}} ((\ mathbf {V_ {0}} + (\ mathbf {Y} - \ mathbf {XB_ {n}}) ^ {\ rm {T}} (\ mathbf {Y} - \ mathbf {XB_ {n}}) + (\ mathbf {B_ {n}} - \ mathbf {B_ {0}}) ^ {\ rm {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0} (\ mathbf {B_ {n}} - \ mathbf {B_ {0}})) {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {- 1}))}}$

${\ displaystyle \ times | {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} | ^ {- k / 2} \ exp {(- {\ frac {1} {2}} {\ rm {tr}} ( (\ mathbf {B} - \ mathbf {B_ {n}}) ^ {\ rm {T}} (\ mathbf {X} ^ {T} \ mathbf {X} + {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ { 0}) (\ mathbf {B} - \ mathbf {B_ {n}}) {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} ^ {- 1}))}}$.

Это принимает форму обратного распределения Уишарта, умноженного на матричное нормальное распределение :

${\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon} | \ mathbf {Y}, \ mathbf {X}) \ sim {\ mathcal {W}} ^ {- 1} (\ mathbf { V_ {n}}, {\ boldsymbol {\ nu}} _ {n})}$

и

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {B} | \ mathbf {Y}, \ mathbf {X}, {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon}) \ sim {\ mathcal {MN}} _ {к , m} (\ mathbf {B_ {n}}, {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {n} ^ {- 1}, {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {\ epsilon})}$.

Параметры этого апостериорного отдела определяются как:

${\ displaystyle \ mathbf {V_ {n}} = \ mathbf {V_ {0}} + (\ mathbf {Y} - \ mathbf {XB_ {n}}) ^ {\ rm {T}} (\ mathbf {Y } - \ mathbf {XB_ {n}}) + (\ mathbf {B_ {n}} - \ mathbf {B_ {0}}) ^ {\ rm {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0 } (\ mathbf {B_ {n}} - \ mathbf {B_ {0}})}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nu}} _ {n} = {\ boldsymbol {\ nu}} _ {0} + n}$

${\ displaystyle \ mathbf {B_ {n}} = (\ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} + {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0}) ^ {- 1} (\ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {Y} + {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0} \ mathbf {B_ {0}})}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {n} = \ mathbf {X} ^ {\ rm {T}} \ mathbf {X} + {\ boldsymbol {\ Lambda}} _ {0}}$

Смотрите также

• Байесовская линейная регрессия
• Матричное нормальное распределение

Ссылки

• Коробка, ГЭП ; Тяо, GC (1973). «8». Байесовский вывод в статистическом анализе . Вайли. ISBN 0-471-57428-7.
• Гейссер, С. (1965). «Байесовское оценивание в многомерном анализе». Анналы математической статистики . 36 (1): 150–159. JSTOR  2238083 .
• Тяо, GC; Зеллнер, А. (1964). «О байесовской оценке многомерной регрессии». Журнал Королевского статистического общества. Серия Б (Методологическая) . 26 (2): 277–285. JSTOR  2984424 .