Модель случайных эффектов - Random effects model

В статистике модель случайных эффектов , также называемая моделью компонентов дисперсии , представляет собой статистическую модель, в которой параметры модели являются случайными величинами . Это своего рода иерархическая линейная модель , которая предполагает, что анализируемые данные взяты из иерархии различных групп населения, различия которых связаны с этой иерархией. В эконометрике модели случайных эффектов используются в панельном анализе иерархических или панельных данных, когда не предполагается никаких фиксированных эффектов (это допускает индивидуальные эффекты). Модель случайных эффектов - это частный случай смешанной модели .

Сравните это с определениями биостатистики , поскольку биостатистики используют «фиксированные» и «случайные» эффекты для обозначения, соответственно, средних и специфических для каждой популяции эффектов (и там, где последние обычно считаются неизвестными, скрытыми переменными ).

Качественное описание

Модели случайных эффектов помогают контролировать ненаблюдаемую неоднородность, когда неоднородность постоянна во времени и не коррелирует с независимыми переменными. Эта константа может быть удалена из продольных данных с помощью разности, так как взятие первой разницы удалит все инвариантные во времени компоненты модели.

Можно сделать два общих предположения об индивидуальном конкретном эффекте: предположение о случайных эффектах и предположение о фиксированных эффектах. Предположение о случайных эффектах состоит в том, что индивидуальная ненаблюдаемая неоднородность не коррелирует с независимыми переменными. Предположение о фиксированном эффекте состоит в том, что индивидуальный конкретный эффект коррелирует с независимыми переменными.

Если предположение о случайных эффектах выполняется, то оценщик случайных эффектов более эффективен, чем модель с фиксированными эффектами. Однако, если это предположение не выполнено, то случайные эффекты оценка не соответствует .

Простой пример

Предположим, m крупных начальных школ выбраны случайным образом из тысяч в большой стране. Предположим также, что в каждой выбранной школе случайным образом выбраны n учеников одного возраста. Устанавливаются их баллы по стандартному тесту способностей. Пусть Y _ij - результат j- го ученика i- й школы. Простой способ смоделировать отношения этих величин:

{\ Displaystyle Y_ {ij} = \ mu + U_ {i} + W_ {ij}, \,}

где μ - средний результат теста для всей совокупности. В этой модели U _i - это случайный эффект для конкретной школы : он измеряет разницу между средним баллом в школе i и средним баллом по всей стране. Термин W _ij представляет собой индивидуальный случайный эффект, т. Е. Это отклонение оценки j-го ученика от среднего значения для i-й школы.

Модель может быть дополнена дополнительными независимыми переменными, которые будут отражать различия в баллах между разными группами. Например:

{\ displaystyle Y_ {ij} = \ mu + \ beta _ {1} \ mathrm {Sex} _ {ij} + \ beta _ {2} \ mathrm {ParentsEduc} _ {ij} + U_ {i} + W_ { ij}, \,}

где Sex _ij - фиктивная переменная для мальчиков / девочек, а ParentsEduc _ij регистрирует, скажем, средний уровень образования родителей ребенка. Это смешанная модель , а не модель чисто случайных эффектов, поскольку она вводит термины с фиксированными эффектами для определения пола и образования родителей.

Компоненты отклонения

Дисперсия Y _Ij является суммой дисперсий τ ² и σ ² из U _я и W _IJ соответственно.

Позволять

{\ displaystyle {\ overline {Y}} _ {i \ bullet} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} Y_ {ij}}

быть средним не всех оценок в i- й школе, а тех , которые были получены в i- й школе, включенных в случайную выборку . Позволять

{\ displaystyle {\ overline {Y}} _ {\ bullet \ bullet} = {\ frac {1} {mn}} \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ { n} Y_ {ij}}

быть средней величиной .

Позволять

{\ displaystyle SSW = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (Y_ {ij} - {\ overline {Y}} _ {i \ bullet}) ^ {2} \,}

{\ displaystyle SSB = n \ sum _ {i = 1} ^ {m} ({\ overline {Y}} _ {i \ bullet} - {\ overline {Y}} _ {\ bullet \ bullet}) ^ { 2} \,}

быть соответственно суммой квадратов из-за различий внутри групп и суммой квадратов из-за разницы между группами. Тогда можно показать, что

{\ displaystyle {\ frac {1} {m (n-1)}} E (SSW) = \ sigma ^ {2}}

а также

{\ displaystyle {\ frac {1} {(m-1) n}} E (SSB) = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n}} + \ tau ^ {2}.}

Эти « ожидаемые средние квадраты » могут использоваться в качестве основы для оценки «компонентов дисперсии» σ ² и τ ² .

Параметр τ ² также называют коэффициентом внутриклассовой корреляции .

Непредвзятость

В целом, случайные эффекты эффективны, и их следует использовать (по сравнению с фиксированными эффектами), если предположения, лежащие в их основе, считаются выполненными. Для того, чтобы случайные эффекты работали в школьном примере, необходимо, чтобы специфические для школы эффекты не коррелировали с другими ковариатами модели. Это можно проверить, запустив фиксированные эффекты, затем случайные эффекты и выполнив тест спецификации Хаусмана . Если тест отклоняется, то случайные эффекты смещаются, и фиксированные эффекты являются правильной процедурой оценки.

Приложения

Модели случайных эффектов, используемые на практике, включают модель договоров страхования Бюльмана и модель Фэя-Херрио, используемую для оценки малых территорий .

Смотрите также

дальнейшее чтение

Балтаги, Бади Х. (2008). Эконометрический анализ панельных данных (4-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Wiley. С. 17–22. ISBN 978-0-470-51886-1.
Сяо, Ченг (2003). Анализ панельных данных (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 73 -92. ISBN 0-521-52271-4.
Вулдридж, Джеффри М. (2002). Эконометрический анализ поперечных и панельных данных . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. 257–265 . ISBN 0-262-23219-7.

Languages

In other projects