Мера Бэра - Baire measure

В математике мера Бэра является мерой на а-алгебре из Бэра множеств одного топологического пространства , значение которого на каждом компакт Бэр конечно. В компактных метрических пространств в борелевские и множества Бэра одинаковы, поэтому Бэра меры такие же , как борелевских мер , которые конечны на компактах . В общем случае множества Бэра и борелевские множества не обязательно должны быть одинаковыми. В пространствах с небэровскими борелевскими множествами используются меры Бэра, поскольку они более напрямую связаны со свойствами непрерывных функций .

Вариации

Существует несколько неэквивалентных определений множеств Бэра , соответственно, существует несколько неэквивалентных понятий меры Бэра на топологическом пространстве. Все они совпадают на пространствах, которые являются локально компактными σ-компактными хаусдорфовыми пространствами .

Связь с мерой Бореля

На практике меры Бэра можно заменить обычными мерами Бореля . Связь между мерами Бэра и регулярными мерами Бореля заключается в следующем:

• Ограничение конечной борелевской меры на множества Бэра является мерой Бэра.
• Конечная мера Бэра на компактном пространстве всегда регулярна.
• Конечная мера Бэра на компактном пространстве - это ограничение единственной регулярной борелевской меры.
• В компактных (или σ-компактных) метрических пространствах борелевские множества такие же, как множества Бэра, а меры Бореля такие же, как меры Бэра.

Примеры

• Счетная мера на единичном интервале - это мера на множествах Бэра, которая не является регулярной (или σ-конечной).
• (Левая или правая) мера Хаара на локально компактной группе является мерой Бэра, инвариантной относительно левого (правого) действия группы на самой себе. В частности, если группа является абелевой группой , левая и правая меры Хаара совпадают, и мы говорим, что мера Хаара инвариантна относительно сдвига . См. Также двойственность Понтрягина .

Ссылки

• Леонард Гиллман и Мейер Джерисон , Кольца непрерывных функций , Springer Verlag # 43, 1960