Теорема Акс-Гротендика - Ax–Grothendieck theorem

В математике теорема Ax-Гротендик является результатом о приемистости и сюрьективности из многочленов , что была доказана независимо друг от друга Джеймса Ax и Гротендик .

Теорема часто даются в этом особом случае: если P является инъективна полиномиальной функцией от п - мерного комплексного векторного пространства на себя , то P является взаимно однозначным . То есть, если P всегда отображает разные аргументы в разные значения, то значения P покрывают все C n .

Полная теорема обобщается на любое алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем .

Доказательство через конечные поля

Доказательство теоремы Гротендиком основано на доказательстве аналогичной теоремы для конечных полей и их алгебраических замыканий . То есть для любого поля F , которое само является конечным или которое является замыканием конечного поля, если многочлен P из F n в себя инъективен, то он биективен.

Если F - конечное поле, то F n конечно. В этом случае теорема верна по тривиальным причинам, не имеющим ничего общего с представлением функции в виде полинома: любая инъекция конечного множества в себя является биекцией. Когда F - алгебраическое замыкание конечного поля, результат следует из Nullstellensatz Гильберта . Следовательно, теорема Акс-Гротендика для комплексных чисел может быть доказана, если показать, что контрпример над C трансформируется в контрпример в некотором алгебраическом расширении конечного поля.

Этот метод доказательства примечателен тем, что он является примером идеи о том, что конечные алгебраические отношения в полях характеристики 0 переводятся в алгебраические отношения над конечными полями с большой характеристикой. Таким образом, можно использовать арифметику конечных полей , чтобы доказать утверждение о С , даже если нет гомоморфизма из любого конечного поля к C . Таким образом, доказательство использует теоретико-модельные принципы для доказательства элементарного утверждения о многочленах. Доказательство для общего случая использует аналогичный метод.

Прочие доказательства

Есть и другие доказательства теоремы. Арман Борель дал доказательство, используя топологию. Случай n = 1 и поля C следует, поскольку C алгебраически замкнут, и его также можно рассматривать как частный случай результата, что для любой аналитической функции f на C инъективность f влечет сюръективность f . Это следствие теоремы Пикара .

Связанные результаты

Другой пример сведения теорем о морфизмах конечного типа к конечным полям можно найти в EGA IV : там доказано, что радиальный S -эндоморфизм схемы X конечного типа над S биективен (10.4.11) и что если X / S имеет конечное представление и эндоморфизм является мономорфизмом, то это автоморфизм (17.9.6). Следовательно, схема конечного представления над базой S является когопфовым объектом в категории S -схем.

Теорема Акс-Гротендика может также использоваться для доказательства теоремы Эдемского сада , результата, который, как и теорема Акс-Гротендика, связывает инъективность с сюръективностью, но в клеточных автоматах, а не в алгебраических полях. Хотя прямые доказательства этой теоремы известны, доказательство с помощью теоремы Акс-Гротендика распространяется в более широком смысле на автоматы, действующие на аменабельных группах .

Некоторые частичные обращения к теореме Акс-Гротендика:

  • В общем случае сюръективное полиномиальное отображение n -мерного аффинного пространства над конечно порожденным расширением Z или Z / p Z [ t ] биективно с полиномиально обратным рациональным над тем же кольцом (и, следовательно, биективно на аффинном пространстве алгебраического замыкания).
  • В общем случае сюръективное рациональное отображение n- мерного аффинного пространства над гильбертовым полем в общем случае биективно с рациональным обратным, определенным над тем же полем. («Гильбертово поле» определяется здесь как поле, для которого выполняется теорема Гильберта о неприводимости, например, рациональные числа и функциональные поля.)

использованная литература

внешние ссылки