Абсолютно несводимый - Absolutely irreducible

В математике , многомерный полином определяется над рациональными числами является абсолютно неприводимым , если оно неприводимым над полем комплексных чисел . Например, абсолютно неприводимо, но, хотя оно неприводимо по целым и действительным числам, оно сводится по комплексным числам как и, следовательно, не является абсолютно неприводимым. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + iy) (x-iy),}$

В более общем смысле, многочлен, определенный над полем K, является абсолютно неприводимым, если он неприводим над любым алгебраическим расширением поля K , а аффинное алгебраическое множество, определяемое уравнениями с коэффициентами в поле K, является абсолютно неприводимым, если оно не является объединением двух алгебраических множества , определяемые уравнениями в алгебраически замкнутом расширении в K . Другими словами, абсолютно неприводимое алгебраическое множество является синонимом алгебраического многообразия , которое подчеркивает, что коэффициенты определяющих уравнений не могут принадлежать алгебраически замкнутому полю.

Абсолютно неприводимый также применяются, с тем же значением, чтобы линейные представления о алгебраических группах .

Во всех случаях быть абсолютно неприводимым - это то же самое, что быть неприводимым над алгебраическим замыканием основного поля.

Примеры

• Одномерный многочлен степени большей или равной 2 никогда не бывает абсолютно неприводимым в силу фундаментальной теоремы алгебры .
• Неприводимое двумерное представление симметрической группы S ₃ порядка 6, первоначально определенное над полем рациональных чисел , абсолютно неприводимо.
• Представление группы окружностей вращениями на плоскости неприводимо (над полем действительных чисел), но не является абсолютно неприводимым. После расширения поля до комплексных чисел оно распадается на две неприводимые компоненты. Этого следовало ожидать, поскольку круговая группа коммутативна и известно, что все неприводимые представления коммутативных групп над алгебраически замкнутым полем одномерны.
• Вещественное алгебраическое многообразие, определяемое уравнением

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

абсолютно неприводимо. Это обычная окружность над вещественными числами, которая остается неприводимым коническим сечением над полем комплексных чисел. Абсолютная неприводимость вообще имеет место над любым полем характеристики не два. Во второй характеристике уравнение эквивалентно ( x  +  y  −1) ² = 0. Следовательно, оно определяет двойную линию x  +  y  = 1, которая представляет собой несократимую схему .

• Алгебраическое многообразие, задаваемое уравнением

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 0}$

не является абсолютно неприводимым. В самом деле, левую часть можно разложить на множители как

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + yi) (x-yi),}$где - квадратный корень из −1.${\ displaystyle i}$

Следовательно, это алгебраическое многообразие состоит из двух прямых, пересекающихся в начале координат, и не является абсолютно неприводимым. Это верно либо уже над основным полем, если −1 - квадрат, либо над квадратичным расширением, полученным присоединением i .

Рекомендации