Нечеткая логика T-нормы - T-norm fuzzy logics

Нечеткие логики с T-нормой - это семейство неклассических логик , неформально ограниченных семантикой, которая принимает реальный единичный интервал [0, 1] для системы значений истинности и функций, называемых t-нормами для допустимых интерпретаций конъюнкции . В основном они используются в прикладной нечеткой логике и теории нечетких множеств в качестве теоретической основы для приближенных рассуждений.

Нечеткие логики T-нормы относятся к более широким классам нечетких логик и многозначных логик . Чтобы создать импликацию с хорошим поведением , обычно требуется, чтобы t-нормы были непрерывными слева ; логики непрерывных слева t-норм также принадлежат к классу субструктурных логик , среди которых они отмечены выполнением закона предлинейности ( A  →  B ) ∨ ( B  →  A ). Изучаются как пропозициональная, так и нечеткая логика с t-нормой первого (или более высокого порядка ), а также их разложения модальными и другими операторами. Логики, которые ограничивают семантику t-нормы до подмножества реального единичного интервала (например, конечнозначные логики Лукасевича ), также обычно включаются в класс.

Важные примеры т-нормы нечеткой логики являются моноидальная т-норма логики MTL всех левых-непрерывных т-норм, основная логика BL всех непрерывных т-норм, продукт нечеткой логики в произведение Т-нормы, или нильпотентное минимальная логика в нильпотентная минимальная t-норма. Некоторые независимо мотивированные логики также относятся к нечетким логикам t-нормы, например, логика Лукасевича (которая является логикой t-нормы Лукасевича) или логика Геделя – Даммета (которая является логикой минимальной t-нормы).

Мотивация

Как члены семейства нечетких логик , нечеткие логики с t-нормой в первую очередь направлены на обобщение классической двузначной логики путем допуска промежуточных значений истинности между 1 (истина) и 0 (ложность), представляющих степени истинности предложений. Предполагается, что степени являются действительными числами из единичного интервала [0, 1]. В нечеткой логике пропозициональной t-нормы пропозициональные связки считаются функциональными по истинности , то есть значение истинности сложного предложения, образованного пропозициональной связкой из некоторых составляющих пропозиций, является функцией (называемой функцией истинности связки) от значения истинности составляющих предложений. Функции истинности оперируют множеством степеней истинности (в стандартной семантике на интервале [0, 1]); таким образом, функция истинности n- мерной пропозициональной связки c является функцией F c : [0, 1] n → [0, 1]. Функции истинности обобщают таблицы истинности пропозициональных связок, известных из классической логики, для работы с более крупной системой значений истинности.

Нечеткие логики с T-нормой накладывают определенные естественные ограничения на функцию истинности конъюнкции . Предполагается, что функция истинности конъюнкции удовлетворяет следующим условиям:

  • Коммутативность , то есть для всех x и y в [0, 1]. Это выражает предположение, что порядок нечетких предложений несущественен в сочетании, даже если допускаются промежуточные степени истинности.
  • Ассоциативность , то есть для всех x , y и z в [0, 1]. Это выражает предположение, что порядок выполнения соединения несущественен, даже если допускаются промежуточные степени истинности.
  • Монотонность , то есть, если тогда для всех x , y и z в [0, 1]. Это выражает предположение, что увеличение степени истинности конъюнкции не должно уменьшать степень истинности конъюнкции.
  • Нейтральность 1 , то есть для всех x в [0, 1]. Это предположение соответствует рассмотрению степени истинности 1 как полной истины, соединение с которой не уменьшает значение истинности другого соединения. Вместе с предыдущими условиями это условие гарантирует, что также для всех x в [0, 1], что соответствует рассмотрению степени истинности 0 как полной ложности, соединение с которой всегда полностью ложно.
  • Непрерывность функции (предыдущие условия сводят это требование к непрерывности по любому аргументу). Неформально это выражает предположение, что микроскопические изменения степеней истинности конъюнктов не должны приводить к макроскопическому изменению степени истинности их конъюнкции. Это условие, среди прочего, обеспечивает хорошее поведение (остаточной) импликации, полученной из конъюнкции; однако для обеспечения хорошего поведения достаточно левой непрерывности (в любом аргументе) функции . Поэтому в общей нечеткой логике t-нормы требуется только непрерывность слева , что выражает предположение, что микроскопическое уменьшение степени истинности конъюнкта не должно макроскопически уменьшать степень истинности конъюнкции.

Эти предположения делают функцию истинности конъюнкции непрерывной слева t-нормой , что объясняет название семейства нечетких логик ( основанных на t-норме ). Конкретная логика семейства может делать дополнительные предположения о поведении конъюнкции (например, логика Гёделя требует своей идемпотентности ) или других связок (например, логика IMTL (инволютивная моноидальная логика t-нормы) требует инволютивности отрицания).

Все непрерывные слева t-нормы имеют единственный остаток , то есть бинарную функцию, такую ​​что для всех x , y и z в [0, 1],

если и только если

Остаток непрерывной слева t-нормы можно явно определить как

Это гарантирует, что остаток будет поточечно наибольшей функцией, такой что для всех x и y ,

Последнее можно интерпретировать как нечеткую версию правила вывода modus ponens . Таким образом, остаток непрерывной слева t-нормы можно охарактеризовать как самую слабую функцию, которая делает нечеткий modus ponens действительным, что делает его подходящей функцией истинности для импликации в нечеткой логике. Непрерывность t-нормы слева является необходимым и достаточным условием для выполнения этой связи между конъюнкцией t-нормы и ее остаточной импликацией.

Функции истинности дальнейших пропозициональных связок могут быть определены с помощью t-нормы и ее остатка, например, остаточное отрицание или би-остаточная эквивалентность Функции истинности пропозициональных связок также могут быть введены с помощью дополнительных определений: наиболее распространенными являются минимальные (который играет роль другой конъюнктивной связки), максимум (который играет роль дизъюнктивной связки) или оператор дельты Бааза, определенный в [0, 1] как если бы и иначе. Таким образом, непрерывная слева t-норма, ее невязка и функции истинности дополнительных пропозициональных связок определяют значения истинности сложных пропозициональных формул в [0, 1].

Формулы, которые всегда дают результат 1, называются тавтологиями относительно данной непрерывной слева t-нормы или тавтологиями. Множество всех тавтологий называется логикой t-нормы, поскольку эти формулы представляют законы нечеткой логики (определяемые t-нормой), которые выполняются (до степени 1) независимо от степеней истинности атомарных формул . Некоторые формулы являются тавтологиями по отношению к более широкому классу непрерывных слева t-норм; набор таких формул называется логикой класса. Важными логиками t-нормы являются логики определенных t-норм или классов t-норм, например:

Оказывается, что многие логики определенных t-норм и классов t-норм аксиоматизируемы. Теорема полноты аксиоматической системы относительно соответствующей семантики t-нормы на [0, 1] тогда называется стандартной полнотой логики. Помимо стандартной вещественной семантики на [0, 1], логики надежны и полны по отношению к общей алгебраической семантике, образованной подходящими классами предлинейных коммутативных ограниченных целочисленных решеток с аппроксимацией .

История

Некоторые конкретные нечеткие логики t-нормы были введены и исследованы задолго до того, как семья была признана (даже до появления понятий нечеткой логики или t-нормы ):

Систематическое изучение частности т-норма нечеткой логики и их классы началось с Гайками «s (1998) монографиями метаматематикой нечеткой логики , который представил понятие логики непрерывной Т-норму, логика три основных непрерывного t- норм (Лукасевича, Гёделя и произведения) и «базовой» нечеткой логики BL всех непрерывных t-норм (все они как пропозициональные, так и первого порядка). Книга также начала исследование нечетких логик как неклассических логик с исчислениями гильбертова, алгебраической семантикой и метаматематическими свойствами, известными из других логик (теоремы полноты, теоремы дедукции , сложности и т. Д.).

С тех пор было введено множество нечетких логик с t-нормой и исследованы их метаматематические свойства. Некоторые из наиболее важных нечетких логик t-нормы были введены в 2001 г. Эстевой и Годо ( MTL , IMTL, SMTL, NM, WNM), Эстевой, Годо и Монтанья (пропозициональный) и Cintula (первого порядка). .

Логический язык

Логический словарь нечетких логик пропозициональной t-нормы стандартно включает следующие связки:

  • Импликация ( бинарная ). В контексте других , чем т-норме на основе нечеткой логики, т-норме на основе импликация иногда называют остаточным следствием или R-Подразумевается , так как его стандартная семантика является отстоем из т-нормы , реализующая сильные конъюнкции.
  • Сильная конъюнкция (бинарная). В контексте субструктурной логики знак и группа имен , интенсиональное , мультипликативное или параллельное соединение часто используются для сильного соединения.
  • Слабая конъюнкция (бинарная), также называемая решеточной конъюнкцией (поскольку она всегда реализуется решеточной операцией meet в алгебраической семантике). В контексте субструктурной логики для соединения решетки иногда используются имена аддитивное , экстенсиональное или сравнительное соединение. В логике BL и ее расширениях (хотя и не в логиках t-нормы в целом) слабая конъюнкция определима в терминах импликации и сильной конъюнкции посредством
Наличие двух конъюнктивных связок - общая черта несужающихся субструктурных логик .
  • Нижний ( нулевой ); или - общие альтернативные знаки, а ноль - общее альтернативное имя пропозициональной константы (поскольку константы bottom и zero субструктурных логик совпадают в нечетких логиках с t-нормой). Утверждение представляет собой ложь или абсурд и соответствует классическому значению истинности « ложь» .
  • Отрицание ( унарное ), иногда называемое остаточным отрицанием, если рассматриваются другие связки отрицания, поскольку оно определяется из остаточного импликации с помощью reductio ad absurdum:
  • Эквивалентность (двоичная), определяемая как
В логике t-нормы определение эквивалентно
  • (Слабая) дизъюнкция (бинарная), также называемая решеточной дизъюнкцией (поскольку она всегда реализуется решеточной операцией соединения в алгебраической семантике). В логике t-нормы это определимо в терминах других связок как
  • Топ (нульарный), называемая также один и обозначаются или (как в верхней и константе нуля субструктурных логики совпадают в т-норма нечеткой логики). Утверждение соответствует классическому значению истинности true и может быть определено в логике t-нормы как

Некоторые логики пропозициональной t-нормы добавляют к вышеуказанному языку дополнительные пропозициональные связки, чаще всего следующие:

  • Delta соединительно является одноместный соединителен, утверждающей классическую истинности суждения, как формулы вида ведет себя как в классической логике. Также называется дельтой Бааза , поскольку она была впервые использована Маттиасом Баазом для логики Гёделя – Даммета . Расширение логики t-нормы связкой Дельта обычно обозначается как
  • Константы истинности - это нулевые связки, представляющие конкретные значения истинности от 0 до 1 в стандартной семантике с действительными значениями. Для действительного числа соответствующая константа истинности обычно обозначается как Чаще всего константы истинности для всех рациональных чисел складываются. Система всех констант истинности в языке должна удовлетворять аксиомам бухгалтерского учета :
и т.д. для всех пропозициональных связок и всех констант истинности, определяемых в языке.
  • Инволютивное отрицание (унарное) может быть добавлено как дополнительное отрицание к логике t-нормы, остаточное отрицание которой само не является инволютивным , то есть если оно не подчиняется закону двойного отрицания . Логика t-нормы, расширенная с помощью инволютивного отрицания, обычно обозначается и называется инволюцией .
  • Сильная дизъюнкция (бинарная). В контексте субструктурной логики это также называется групповой , интенсиональной , мультипликативной или параллельной дизъюнкцией . Несмотря на то, что он является стандартным для субструктурной логики без сжатия, в нечеткой логике с t-нормой он обычно используется только при наличии инволютивного отрицания, что делает его определяемым (и, таким образом, аксиоматизируемым) законом де Моргана на основе сильного соединения:
  • Дополнительные конъюнкции t-нормы и остаточные следствия . Некоторые выразительно сильные логики t-нормы, например логика ŁΠ , имеют в своем языке более одного сильного соединения или остаточного импликации. В стандартной семантике вещественных значений все такие сильные конъюнкции реализуются различными t-нормами, а остаточные импликации - их остатками.

Правильно сформированные формулы логик пропозициональной t-нормы определяются из пропозициональных переменных (обычно счетного числа) вышеуказанными логическими связками, как это обычно бывает в пропозициональной логике . Чтобы сохранить круглые скобки, обычно используется следующий порядок приоритета:

  • Унарные связки (связываются наиболее тесно)
  • Бинарные связки, кроме импликации и эквивалентности
  • Импликация и эквивалентность (связывайте наиболее свободно)

Варианты логики t-нормы первого порядка используют обычный логический язык логики первого порядка с указанными выше пропозициональными связками и следующими кванторами :

  • Общий количественный показатель
  • Экзистенциальный квантификатор

Вариант первого порядка пропозициональной логики t-нормы обычно обозначается как

Семантика

Алгебраическая семантика преимущественно используется для пропозициональной нечеткой логики с t-нормой, с тремя основными классами алгебр, относительно которых нечеткая логика с t-нормой является полной :

  • Общая семантика , состоящая из всех -алгебр, то есть всех алгебр, для которых логика правильна .
  • Линейная семантика , состоящая из всех линейных -алгебр, то есть всех -алгебр, чей порядок решетки является линейным .
  • Стандартная семантика , состоящая из всех стандартных -алгебр, то есть всех -алгебр, редукция решетки которых является вещественным единичным интервалом [0, 1] с обычным порядком. В стандартных -алгебрах интерпретация сильной конъюнкции является непрерывной слева t-нормой, а интерпретация большинства пропозициональных связок определяется t-нормой (отсюда и названия логик, основанных на t-норме , и t-норм- алгебр , которые также используется для -алгебр на решетке [0, 1]). Однако в логиках с t-нормой с дополнительными связками вещественнозначная интерпретация дополнительных связок может быть ограничена дополнительными условиями для называния алгебры t-нормы стандартной: например, в стандартных -алгебрах логики с инволюцией требуется, чтобы интерпретация дополнительного инволютивного отрицания была стандартной инволюцией, а не другими инволюциями, которые также могут интерпретировать над t-нормальными алгебрами. В общем, поэтому определение стандартных алгебр с t-нормой должно быть явно дано для логик с t-нормой с дополнительными связками.

Библиография

  • Эстева Ф. и Годо Л., 2001, "Моноидальная логика на основе t-нормы: к логике непрерывных слева t-норм". Нечеткие множества и системы 124 : 271–288.
  • Фламинио Т. и Маркиони Э., 2006, логики на основе Т-нормы с независимым инволютивным отрицанием. Нечеткие множества и системы 157 : 3125–3144.
  • Готвальд С. & Хайек П., 2005, Математическая нечеткая логика, основанная на треугольных нормах. В EP Klement & R. Mesiar (ред.), Логические, алгебраические, аналитические и вероятностные аспекты треугольных норм , стр. 275–300. Эльзевир, Амстердам, 2005 г.
  • Гайек П., 1998, Метаматематика нечеткой логики . Дордрехт: Клувер. ISBN  0-7923-5238-6 .

Рекомендации

  1. ^ a b Эстева и Годо (2001)
  2. ^ Лукасевич J., 1920, O logice trojwartosciowej (Польский, О трехзначной логике). Ручей философский 5 : 170–171.
  3. ^ Хэй, LS, 1963, Аксиоматизация бесконечнозначного исчисления предикатов. Журнал символической логики 28 : 77–86.
  4. ^ Гедель К., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie дер Wissenschaften Wien 69 : 65-66.
  5. ^ Даммет М., 1959, Исчисление высказываний со счетной матрицей, Журнал символической логики 27 : 97–106
  6. ^ Эстева Ф., Годо Л. и Монтанья Ф., 2001, Логики ŁΠ и ŁΠ½: две полные нечеткие системы, соединяющие Лукасевича и логику произведения, Архив математической логики 40 : 39–67.
  7. ^ Cintula P., 2001, The ŁΠ и ŁΠ½ пропозициональные и предикатные логики, нечеткие множества и системы 124 : 289-302.
  8. ^ Бааз М., 1996, Бесконечнозначная логика Гёделя с 0-1-проекциями и релятивизацией. В P. Hájek (ed.), Gödel'96: Logical Foundations of Mathematics, Computer Science and Physics , Springer, Lecture Notes in Logic 6 : 23–33.
  9. ^ Хайек (1998)
  10. ^ Фламинио и Маркиони (2006)