Càdlàg - Càdlàg

В математике , càdlàg ( на французском языке: « продолжить Droite, Лимите à гош „), RCLL (“непрерывна справа с левыми пределами»), или corlol ( «непрерывных на (правый,) предел включения () влево») функции - это функция, определенная на действительных числах (или их подмножестве ), которая всюду непрерывна справа и везде имеет пределы слева . Функции Кадлага важны при изучении случайных процессов, которые допускают (или даже требуют) скачки, в отличие от броуновского движения , которое имеет непрерывные траектории выборки. Набор функций càdlàg в заданной области известен как пространство Скорохода .

Два связанных термина: càglàd , обозначающее «continue à gauche, limite à droite», обращение càdlàg влево-вправо, и càllàl для «continue à l'un, limite à l'autre» (непрерывный с одной стороны, ограничение на с другой стороны) для функции, которая взаимозаменяемо либо càdlàg, либо càglàd в каждой точке области.

Определение

Пусть ( М , д ) быть метрическим пространством , и пусть E ⊆ R . Функция ƒ :  E → M называется функцией càdlàg , если для каждого т ∈ Е ,

• левый предел ƒ ( t - ): = Пт _{с ↑ т}  ƒ ( ы ) существует; а также
• правый предел ƒ ( T + ): = Пт _{с ↓ т}  ƒ ( ы ) существует и равен ƒ ( т ).

То есть, ƒ непрерывно справа с левыми пределами.

Примеры

• Все функции, непрерывные на некотором подмножестве действительных чисел, являются функциями càdlàg на этом подмножестве.
• Как следствие их определения, все кумулятивные функции распределения являются функциями càdlàg. Например, кумулятивная величина в точке соответствует вероятности быть меньше или равной , а именно . Другими словами, рассматриваемый полуоткрытый интервал для двустороннего распределения является закрытым справа.${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} [х \ leq r]}$${\ displaystyle (- \ infty, r]}$
• Правая производная любой выпуклой функции f, определенной на открытом интервале, является возрастающей функцией кадлага.${\ displaystyle f _ {+} ^ {\ prime}}$

Скороход космос

Множество всех càdlàg функций от E до M часто обозначается D ( E ; M ) (или просто D ) и называется пространством Скорохода в честь украинского математика Анатолия Скорохода . Пространству Скорохода может быть назначена топология, которая интуитивно позволяет нам «немного покачивать пространство и время» (тогда как традиционная топология равномерной сходимости позволяет нам только «немного покачивать пространство»). Для простоты возьмем E = [0, T ] и M = R ⁿ - более общую конструкцию см. Биллингсли.

Мы должны сначала определить аналог модуля непрерывности , π ' _ƒ ( б ) . Для любого F ⊆ E положим

${\ Displaystyle w_ {е} (F): = \ sup _ {s, t \ in F} | f (s) -f (t) |}$

и для δ > 0 определим модуль кадлага как

${\ displaystyle \ varpi '_ {f} (\ delta): = \ inf _ {\ Pi} \ max _ {1 \ leq i \ leq k} w_ {f} ([t_ {i-1}, t_ { я})),}$

где нижняя грань проходит по всем разбиениям Π = {0 = t ₀ < t ₁ <… < t _k = T }, k ∈ N , с min _i  ( t _i - t _{i −1} )> δ . Это определение имеет смысл для non-càdlàg ƒ (так же, как обычный модуль непрерывности имеет смысл для разрывных функций), и можно показать, что ƒ является càdlàg тогда и только тогда, когда ϖ ′ _ƒ ( δ ) → 0 при δ → 0 .

Теперь пусть Λ обозначает множество всех строго возрастающих непрерывных биекций из E в себя (это «покачивания во времени»). Позволять

${\ Displaystyle \ | е \ |: = \ sup _ {т \ in E} | е (т) |}$

Обозначим через равномерную норму о функциях на E . Определим метрику Скорохода σ на D следующим образом:

${\ Displaystyle \ sigma (е, г): = \ inf _ {\ лямбда \ in \ Lambda} \ max \ {\ | \ lambda -I \ |, \ | fg \ circ \ lambda \ | \},}$

где I :  E → E - тождественная функция. С точки зрения интуиции "покачивания", || λ - I || измеряет размер «покачивания во времени», и || ƒ - g ○ λ || измеряет размер «покачивания в пространстве».

Можно показать, что метрика Скорохода действительно является метрикой. Топология Σ порождается сг называется топологией Скороход на D .

Эквивалентная метрика,

${\ displaystyle d (е, g): = \ inf _ {\ lambda \ in \ Lambda} (\ | \ lambda -I \ | + \ | fg \ circ \ lambda \ |),}$

был введен независимо и использовался в теории управления для анализа коммутационных систем.

Свойства пространства Скорохода

Обобщение равномерной топологии.

Пространство С непрерывных функций на Й является подпространством из D . Топология Скорохода, релятивизированная к C, совпадает с равномерной топологией там.

Полнота

Можно показать, что, хотя D не является полным пространством относительно метрики Скорохода σ , существует топологически эквивалентная метрика σ _0, относительно которой D полно.

Отделимость

Что касается либо сг или сг ₀ , D является сепарабельное пространство . Таким образом, пространство Скорохода - это польское пространство .

Герметичность в пространстве Скорохода

Под применением теоремы Арцела , можно показать , что последовательность ( μ _п ) _{п = 1,2, ...} из вероятностных мер на пространстве Скорохода D является жесткой , если и только если выполнены оба следующие условия:

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} {\ big (} \ {f \ in D \; | \; \ | f \ | \ geq a \} {\ big)} = 0,}$

а также

${\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} {\ big (} \ {f \ in D \; | \; \ varpi '_ { f} (\ delta) \ geq \ varepsilon \} {\ big)} = 0 {\ text {для всех}} \ varepsilon> 0.}$

Алгебраическая и топологическая структура

При топологии Скорохода и поточечном сложении функций D не является топологической группой, что можно увидеть на следующем примере:

Позвольте быть полуоткрытым интервалом и принять последовательность характеристических функций. Несмотря на то, что в топологии Скорохода последовательность не сходится к 0. ${\ displaystyle E = [0,2)}$${\ displaystyle f_ {n} = \ chi _ {[1-1 / n, 2)} \ in D}$${\ displaystyle f_ {n} \ rightarrow \ chi _ {[1,2)}}$${\ displaystyle f_ {n} - \ chi _ {[1,2)}}$

использованная литература

дальнейшее чтение

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Нью-Йорк, Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-00710-2.
• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк, Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-19745-9.