Теорема Сколема – Нётер - Skolem–Noether theorem
В теории колец , ветвь математики, то Skolem-Нётер характеризует автоморфизмы из простых колец . Это фундаментальный результат теории центральных простых алгебр .
Теорема была впервые опубликована Thoralf Сколемой в 1927 году в его работе Zur Theorie дера assoziativen Zahlensysteme ( немецкий : О теории ассоциативных систем счисления ) , а затем заново открыта Нётером .
утверждение
В общей постановке, пусть и Б быть простыми унитарные кольца, и пусть к быть центром B . Центр k является полем, так как при x, отличном от нуля в k , простота B означает, что ненулевой двусторонний идеал BxB = (x) является всем B , и, следовательно, что x является единицей . Если размер из B над к конечен, то есть , если B является центральной простой алгеброй конечной размерности, и также к алгебра, то дается K - алгебра гомоморфизмов
- f , g : A → B ,
существует такая единица b в B , что для всех a в A
- g ( a ) = b · f ( a ) · b −1 .
В частности, всякий автоморфизм центральной простой k -алгебры является внутренним автоморфизмом .
Доказательство
Сначала предположим . Тогда f и g определяют действия A на ; пусть Обозначим -модулях полученного таким образом. Поскольку отображение f инъективно в силу простоты A , значит, A также конечномерно. Следовательно, два простых A -модуля изоморфны и являются конечной прямой суммой простых A- модулей. Так как они имеют одинаковую размерность, то существует изоморфизм A -модулей . Но такой b должен быть элементом . В общем случае это матричная алгебра, и это просто. Согласно первой части, примененной к картам , существует такое, что
для всех и . Взяв , находим
для всех з . То есть b находится внутри, и поэтому мы можем писать . Взяв это время, мы находим
- ,
что и искали.
Примечания
Ссылки
- Сколем, Торальф (1927). "Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme". Skrifter Осло (на немецком языке ) (12): 50. JFM 54.0154.02 .
- Обсуждение в главе IV Милна , теории полей классов [1]
- Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования в области высшей математики. 101 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 .
- Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 .