Теорема Серра – Свона - Serre–Swan theorem

В математической области топологии и К-теории , то Серра-Лебедь , которая также называется теоремой лебедя , относится геометрическое понятие векторных расслоений на алгебраическую концепцию проекционных модулей и приводит к общей интуиции всей математики : «проективные модули над коммутативные кольца подобны векторным расслоениям на компактных пространствах ».

Две точные формулировки теорем несколько различаются. Исходная теорема, сформулированная Жан-Пьером Серром в 1955 году, носит более алгебраический характер и касается векторных расслоений на алгебраическом многообразии над алгебраически замкнутым полем (любой характеристики ). Дополнительный вариант, изложенный Ричардом Своном в 1962 году, является более аналитическим и касается (действительных, комплексных или кватернионных) векторных расслоений на гладком многообразии или хаусдорфовом пространстве .

Дифференциальная геометрия

Пусть M является гладким многообразием (не обязательно компактным), и Е представляет собой гладкое векторное расслоение над М . Тогда Γ (E) , пространство гладких сечений в Е , является модуль над C ^∞ ( M ) (коммутативной алгеброй гладких вещественных функций на М ). Теорема Свана утверждает, что этот модуль конечно порожден и проективен над C ^∞ ( M ). Другими словами, каждое векторное расслоение является прямым слагаемым некоторого тривиального расслоения: для некоторого k . Теорема может быть доказана путем построения эпиморфизма расслоения из тривиального расслоения. Это можно сделать, например, показывая секции s ₁ ... s _k со свойством, что для каждой точки p { s _i ( p )} покрывают волокно над р . ${\ Displaystyle M \ times \ mathbb {R} ^ {k}}$${\ displaystyle M \ times \ mathbb {R} ^ {k} \ to E.}$

Когда M будет подключен , то верно и обратное утверждение: каждый конечно порожденный проективный модуль над C ^∞ ( M ) возникает таким образом из некоторого гладкого векторного расслоения на М . Такой модуль можно рассматривать как гладкую функцию f на M со значениями в идемпотентных матрицах n × n для некоторого n . Слой соответствующего векторного расслоения над x будет тогда образом f ( x ). Если M не связно, обратное неверно, если только не допускаются векторные расслоения непостоянного ранга (что означает допускающие многообразия непостоянной размерности). Например, если M - нульмерное 2-точечное многообразие, модуль конечно порожден и проективен над, но не свободен , и поэтому не может соответствовать сечениям какого-либо (постоянного ранга) векторного расслоения над M (все из которые тривиальны). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ oplus 0}$${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (М) \ cong \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$

Сказанное выше можно сформулировать иначе: для любого связного гладкого многообразия M секционный функтор Γ из категории гладких векторных расслоений над M в категорию конечно порожденных проективных C ^∞ ( M ) -модулей является полным , точным и существенно сюръективный . Поэтому категория гладких векторных расслоений на М является эквивалентом к категории конечно порожденным, проективным C ^∞ ( M ) -модули. Подробности можно найти в ( Неструев 2003 ).

Топология

Пусть Х представляет собой компактное хаусдорфово пространство , и С ( Х ) является кольцом непрерывных вещественных функций на X . Как и в предыдущем результате, категория вещественных векторных расслоений на X эквивалентна категории конечно порожденных проективных модулей над C ( X ). Тот же результат имеет место, если заменить «вещественное» на «комплексное» и «вещественное векторное расслоение» на «комплексное векторное расслоение», но он не выполняется, если заменить поле полностью несвязным полем, таким как рациональные числа. .

Более подробно, пусть Vec ( Х ) быть категория из комплексных векторных расслоений над X , и пусть ProjMod (С ( Х )) будет категория конечно порожденных проективных модулей над C * -алгеброй С ( Х ). Существует функтор Γ: Vec ( X ) → ProjMod (C ( X )), который переводит каждое комплексное векторное расслоение E над X в C ( X ) -модуль Γ ( X , E ) сечений . Если - морфизм векторных расслоений над X, то отсюда следует, что ${\ displaystyle \ tau: (E_ {1}, \ pi _ {1}) \ to (E_ {2}, \ pi _ {2})}$${\ displaystyle \ pi _ {2} \ circ \ tau = \ pi _ {1}}$

${\ Displaystyle \ forall s \ in \ Gamma (X, E_ {1}) \ quad \ pi _ {2} \ circ \ tau \ circ s = \ pi _ {1} \ circ s = {\ text {id} }_{ИКС},}$

давая карту

${\ Displaystyle {\ begin {case} \ Gamma \ tau: \ Gamma (X, E_ {1}) \ to \ Gamma (X, E_ {2}) \\ s \ mapsto \ tau \ circ s \ end {case }}}$

который соблюдает структуру модуля (Várilly, 97) . Теорема Свана утверждает, что функтор Γ является эквивалентностью категорий .

Алгебраическая геометрия

Аналогичный результат в алгебраической геометрии , полученный Серром (1955 , § 50), применим к векторным расслоениям в категории аффинных многообразий . Пусть X аффинное многообразие со структурой пучка и когерентный пучок из -модулей на X . Тогда является пучком ростков конечномерного векторного расслоения тогда и только тогда, когда пространство сечений является проективным модулем над коммутативным кольцом${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X},}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ Gamma ({\ mathcal {F}}, X),}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}},}$${\ displaystyle A = \ Gamma ({\ mathcal {O}} _ {X}, X).}$

Ссылки

• Каруби, Макс (1978), K-теория: введение , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1
• Манохаран, Palanivel (1995), "Обобщенная лебедя теорема и ее применение", Труды Американского математического общества , 123 (10): 3219-3223, DOI : 10,2307 / 2160685 , JSTOR  2160685 , MR  1264823.
• Серра, Жан-Пьер (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Анналы математики , 61 (2): 197-278, DOI : 10,2307 / 1969915 , JSTOR  1969915 , МР  0068874.
• Лебедь, Ричард Г. (1962), "Вектор Связки и проективные модули", Труды Американского математического общества , 105 (2): 264-277, DOI : 10,2307 / 1993627 , JSTOR  1993627.
• Неструев, Джет (2003), Гладкие многообразия и наблюдаемые , Тексты для выпускников по математике, 220 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95543-7
• Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Сарданашвили, Геннадий (2005), Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике , World Scientific, ISBN 981-256-129-3.

Эта статья включает в себя материал из теоремы Серра-Свана по PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .