Расхождение суммы обратных простых чисел - Divergence of the sum of the reciprocals of the primes

Сумма, обратная простым числам, неограниченно возрастающая. Ось x отложена в логарифмической шкале, что показывает, что расхождение происходит очень медленно. Красная функция - это нижняя граница, которая также расходится.

Сумма обратных все простых чисел расходятся ; то есть:

${\ displaystyle \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {1} {p}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + { \ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} { 17}} + \ cdots = \ infty}$

Это было доказано Леонардом Эйлером в 1737 году и усиливает (т. Е. Дает больше информации) результат Евклида III века до нашей эры о том, что существует бесконечно много простых чисел .

Существует множество доказательств результата Эйлера, включая нижнюю оценку частичных сумм, утверждающую, что

${\ displaystyle \ sum _ {\ scriptstyle p {\ text {prime}} \ atop \ scriptstyle p \ leq n} {\ frac {1} {p}} \ geq \ log \ log (n + 1) - \ log {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

для всех натуральных чисел n . Двойной натуральный логарифм (log log) указывает, что расхождение может быть очень медленным, что действительно так. См. Постоянную Мейселя – Мертенса .

Гармонический ряд

Во-первых, мы опишем, как Эйлер первоначально обнаружил результат. Он рассматривал гармонический ряд

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + \ cdots = \ infty}$

Он уже использовал следующую « формулу произведения », чтобы показать существование бесконечного числа простых чисел.

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = \ prod _ {p} \ left (1 + {\ frac {1} {p}} + { \ frac {1} {p ^ {2}}} + \ cdots \ right) = \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- 1}}}}$

Здесь произведение берется по множеству всех простых чисел.

Такие бесконечные произведения сегодня называют произведениями Эйлера . Приведенный выше продукт является отражением основной теоремы арифметики . Эйлер заметил, что если бы было только конечное число простых чисел, то произведение справа явно сходилось бы, что противоречит расходимости гармонического ряда.

Доказательства

Доказательство Эйлера

Эйлер рассмотрел приведенную выше формулу продукта и предпринял ряд смелых логических шагов. Сначала он произвел натуральный логарифм каждой стороны, затем использовал разложение в ряд Тейлора для log x, а также сумму сходящегося ряда:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ log \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} \ right) & {} = \ log \ left (\ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- 1}}} \ right) = - \ sum _ {p} \ log \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) \\ [5pt] & = \ sum _ {p} \ left ({\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {2p ^ {2}}} + {\ frac {1 } {3p ^ {3}}} + \ cdots \ right) \\ [5pt] & = \ sum _ {p} {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {2}} \ сумма _ {p} {\ frac {1} {p ^ {2}}} + {\ frac {1} {3}} \ sum _ {p} {\ frac {1} {p ^ {3}}} + {\ frac {1} {4}} \ sum _ {p} {\ frac {1} {p ^ {4}}} + \ cdots \\ [5pt] & = A + {\ frac {1} {2 }} B + {\ frac {1} {3}} C + {\ frac {1} {4}} D + \ cdots \\ [5pt] & = A + K \ end {выровнено}}}$

для фиксированной постоянной K <1 . Затем он обратился к соотношению

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = \ log \ infty,}$

который он объяснил, например, в более поздней работе 1748 года, установив x = 1 в разложении в ряд Тейлора

${\ displaystyle \ log \ left ({\ frac {1} {1-x}} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n} }.}$

Это позволило ему сделать вывод, что

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + { \ frac {1} {11}} + \ cdots = \ log \ log \ infty.}$

Почти наверняка Эйлер имел в виду, что сумма обратных чисел простых чисел меньше n асимптотически регистрирует log n, когда n приближается к бесконечности. Оказывается, это действительно так, и более точная версия этого факта была строго доказана Францем Мертенсом в 1874 году. Таким образом, Эйлер получил правильный результат сомнительными способами.

Доказательство Эрдеша верхними и нижними оценками

Следующее доказательство от противного принадлежит Полю Эрдешу .

Пусть p _i обозначает i- е простое число. Предположим, что сумма обратных простых чисел сходится

Тогда существует наименьшее натуральное число k такое, что

${\ displaystyle \ sum _ {я = к + 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {p_ {i}}} <{\ frac {1} {2}} \ qquad (1)}$

Для положительного целого числа x пусть M _x обозначает множество тех n в {1, 2,…, x }, которые не делятся ни на какое простое число больше p _k (или, что то же самое, на все n ≤ x, которые являются произведением степеней простые числа p _i ≤ p _k ). Теперь мы получим верхнюю и нижнюю оценки для | M _x | , количество элементов в M _x . При больших  x эти оценки окажутся противоречивыми.

Верхняя оценка:

Каждый n в M _x может быть записан как n = m ² r с положительными целыми числами m и r , где r не содержит квадратов . Так как только K простых чисел р ₁ , ..., р _к можно показать (с показателем 1) в простые множители из  г , существует не более 2 ^K различных возможностей для  г . Кроме того, существует не более √ x возможных значений  m . Это дает нам верхнюю оценку

${\ displaystyle | M_ {x} | \ leq 2 ^ {k} {\ sqrt {x}} \ qquad (2)}$

Нижняя оценка:

Остальные x  - | M _x | числа в разности множеств {1, 2,…, x } \ M _x делятся на простое число больше p _k . Пусть N _{i , x} обозначает множество тех n в {1, 2,…, x }, которые делятся на i- е простое число p _i . потом

${\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, x \} \ smallsetminus M_ {x} = \ bigcup _ {i = k + 1} ^ {\ infty} N_ {i, x}}$

Поскольку количество целых чисел в N _{i , x} не превосходит Икс/п _я(фактически ноль при p _i > x ), получаем

${\ displaystyle x- | M_ {x} | \ leq \ sum _ {i = k + 1} ^ {\ infty} | N_ {i, x} | <\ sum _ {i = k + 1} ^ {\ infty} {\ frac {x} {p_ {i}}}}$

Используя (1), это означает, что

${\ displaystyle {\ frac {x} {2}} <| M_ {x} | \ qquad (3)}$

Это приводит к противоречию: при x ≥ 2 ^{2 k + 2} оценки (2) и (3) не могут выполняться одновременно, посколькуИкс/2≥ 2 ^к √ х .

Доказательство того, что в серии наблюдается логарифмический рост

Вот еще одно доказательство, которое фактически дает нижнюю оценку частичных сумм; в частности, он показывает, что эти суммы растут по крайней мере так же быстро, как log log n . Доказательство принадлежит Ивану Нивену, заимствованному из идеи Эйлера о расширении продукта . В дальнейшем сумма или произведение, взятое на p, всегда представляет собой сумму или произведение, взятое на указанный набор простых чисел.

Доказательство опирается на следующие четыре неравенства:

• Каждое положительное целое число i может быть однозначно выражено как произведение целого числа без квадратов и квадрата как следствие основной теоремы арифметики . Начнем с:

${\ displaystyle i = q_ {1} ^ {2 {\ alpha} _ {1} + {\ beta} _ {1}} \ cdot q_ {2} ^ {2 {\ alpha} _ {2} + {\ бета} _ {2}} \ cdot \ ldots \ cdot q_ {r} ^ {2 {\ alpha} _ {r} + {\ beta} _ {r}},}$

где βs равны 0 (соответствующая степень простого числа q четна) или 1 (соответствующая степень простого числа q нечетна). Выносим за скобки одну копию всех простых чисел, у которых β равно 1, оставляя произведение простых чисел на четные степени, что само по себе является квадратом. Переназначение:

${\ displaystyle i = (p_ {1} p_ {2} \ ldots p_ {s}) \ cdot b ^ {2},}$

где первый множитель, произведение простых чисел в первую степень, не содержит квадратов. Обращение всех i дает неравенство

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} \ leq \ left (\ prod _ {p \ leq n} \ left (1 + {\ frac {1}) {p}} \ right) \ right) \ cdot \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {2}}} \ right) = A \ cdot B. }$

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что

${\ displaystyle {\ frac {1} {i}} = {\ frac {1} {p_ {1} p_ {2} \ ldots p_ {s}}} \ cdot {\ frac {1} {b ^ {2 }}},}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left (1 + {\ frac {1} {p}} _ {1} \ right) \ left (1 + {\ frac {1} {p}} _ {2} \ right) \ ldots \ left (1 + {\ frac {1} {p}} _ {s} \ right) & = \ left ({\ frac {1} {p}} _ {1} \ right) \ left ({\ frac {1} {p}} _ {2} \ right) \ ldots \ left ({\ frac {1} {p}} _ {s} \ right) + \ ldots \\ & = {\ гидроразрыв {1} {p_ {1} p_ {2} \ ldots p_ {s}}} + \ ldots. \ end {align}}}$

То есть, это одно из слагаемых в расширенном продукте A . И поскольку это одно из слагаемых B , каждое i представлено в одном из членов AB при умножении. Следующее неравенство. ${\ Displaystyle 1 / (п_ {1} р_ {2} \ ldots p_ {s})}$${\ displaystyle 1 / b ^ {2}}$

• Оценка сверху натурального логарифма

${\ displaystyle {\ begin {align} \ log (n + 1) & = \ int _ {1} ^ {n + 1} {\ frac {dx} {x}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ underbrace {\ int _ {i} ^ {i + 1} {\ frac {dx} {x}}} _ {{} \, <\, {\ frac {1} {i} }} \\ & <\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} \ end {align}}}$

• Нижняя оценка 1 + x <exp ( x ) для экспоненциальной функции , которая верна для всех x > 0 .
• Пусть n ≥ 2 . Верхняя граница (с использованием телескопической суммы ) частичных сумм (сходимость - это все, что нам действительно нужно)

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {2}}} & <1+ \ sum _ {k = 2} ^ {n } \ underbrace {\ left ({\ frac {1} {k - {\ frac {1} {2}}}} - {\ frac {1} {k + {\ frac {1} {2}}}} \ справа)} _ {= \, {\ frac {1} {k ^ {2} - {\ frac {1} {4}}}} \,> \, {\ frac {1} {k ^ {2} }}} \\ & = 1 + {\ frac {2} {3}} - {\ frac {1} {n + {\ frac {1} {2}}}} <{\ frac {5} {3} } \ конец {выровнено}}}$

Комбинируя все эти неравенства, мы видим, что

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ log (n + 1) & <\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} \\ & \ leq \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 + {\ frac {1} {p}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {2}}} \\ & <{\ frac {5} {3}} \ prod _ {p \ leq n} \ exp \ left ({\ frac {1} {p}} \ right) \\ & = {\ frac {5} { 3}} \ exp \ left (\ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} \ right) \ end {align}}}$

Разделение на 5/3 а натуральный логарифм обеих частей дает

${\ displaystyle \ log \ log (n + 1) - \ log {\ frac {5} {3}} <\ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}}}$

по желанию. ∎

С использованием

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

(см. Базельскую проблему ), указанный выше постоянный журнал5/3= 0,51082 ... может быть улучшена , чтобы войтиπ ²/6= 0,4977… ; на самом деле оказывается, что

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} - \ log \ log n \ right) = M}$

где M = 0,261497… - постоянная Мейселя – Мертенса (в некотором роде аналогичная гораздо более известной постоянной Эйлера – Маскерони ).

Доказательство из неравенства Дюзарта

Из неравенства Дюзарта получаем

${\ displaystyle p_ {n} <n \ log n + n \ log \ log n \ quad {\ mbox {for}} n \ geq 6}$

потом

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {p_ {n}}} & \ geq \ sum _ {n = 6} ^ {\ infty } {\ frac {1} {p_ {n}}} \\ & \ geq \ sum _ {n = 6} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ log n + n \ log \ log n }} \\ & \ geq \ sum _ {n = 6} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n \ log n}} = \ infty \ end {выровнено}}}$

по интегральному признаку сходимости . Это показывает, что ряд слева расходится.

Доказательство геометрических и гармонических рядов

Предположим от противного, что сумма сошлась. Тогда существует такое, что . Назовите эту сумму . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ sum _ {я \ geq n + 1} {\ frac {1} {p_ {i}}} <1}$${\ displaystyle x}$

Теперь рассмотрим сходящийся геометрический ряд . ${\ Displaystyle х + х ^ {2} + х ^ {3} + \ cdots}$

Этот геометрический ряд содержит сумму обратных чисел всех чисел, разложение на простые числа которых содержит только простые числа в наборе . ${\ Displaystyle \ {p_ {n + 1}, p_ {n + 2}, \ cdots \}}$

Рассмотрим подсерии . Это подсерия, потому что не делится ни на что . ${\ Displaystyle \ сумма _ {я \ geq 1} {\ гидроразрыва {1} {1 + я (p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {n})}}}$${\ Displaystyle 1 + я (п_ {1} р_ {2} \ cdots р_ {п})}$${\ displaystyle p_ {j}, j \ leq n}$

Однако в тесте сравнения пределов эта подсерия расходится, сравнивая ее с гармоническим рядом. Действительно, . ${\ displaystyle \ lim _ {я \ to \ infty} {\ frac {1 + i (p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {n})} {i}} = p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {n}}$

Таким образом, мы нашли расходящиеся подсерии исходного сходящегося ряда, и поскольку все члены положительны, это дает противоречие. Мы можем заключить, что есть расхождения.${\ displaystyle \ sum _ {я \ geq 1} {\ frac {1} {p_ {i}}}}$${\ displaystyle \ blacksquare}$

Частичные суммы

Хотя частичные суммы обратных чисел простых чисел в конечном итоге превышают любое целочисленное значение, они никогда не равны целому числу.

Одно доказательство проводится по индукции: первая частичная сумма равна 1/2, который имеет вид странный/даже. Если n- я частичная сумма (при n ≥ 1 ) имеет видстранный/даже, то ( n + 1) -я сумма равна

${\ displaystyle {\ frac {\ text {odd}} {\ text {even}}} + {\ frac {1} {p_ {n + 1}}} = {\ frac {{\ text {odd}} \ cdot p_ {n + 1} + {\ text {even}}} {{\ text {even}} \ cdot p_ {n + 1}}} = {\ frac {{\ text {odd}} + {\ text {даже}}} {\ text {even}}} = {\ frac {\ text {odd}} {\ text {even}}}}$

поскольку ( n + 1) -е простое число p _{n + 1} нечетно; так как эта сумма также имеетстранный/даже Эта частичная сумма не может быть целым числом (потому что 2 делит знаменатель, но не числитель), и индукция продолжается.

Другое доказательство переписывает выражение для суммы первых n обратных простых чисел (или действительно суммы обратных чисел любого набора простых чисел) в терминах наименьшего общего знаменателя , который является произведением всех этих простых чисел. Тогда каждое из этих простых чисел делит все члены числителя, кроме одного, и, следовательно, не делит сам числитель; но каждый простой делает разделить знаменатель. Таким образом, выражение неприводимо и не является целым.

Смотрите также

• Теорема Евклида о том, что простых чисел бесконечно много
• Малый набор (комбинаторика)
• Теорема Бруна о сходящейся сумме обратных чисел-близнецов
• Список сумм обратных величин

использованная литература

Источники

• Данэм, Уильям (1999). Эйлер - хозяин всех нас . MAA . С.  61–79 . ISBN 0-88385-328-0.

внешние ссылки

• Колдуэлл, Крис К. «Простых чисел бесконечно много, но насколько велико из бесконечности?» .