Константа Мейселя – Мертенса - Meissel–Mertens constant

В пределе сумма обратных чисел для простых чисел < n и функции ln (ln n ) разделены константой, константой Мейселя – Мертенса (обозначенной выше M).

Константу Meissel-Мертенс (названная по имени Эрнста Меиссел и Франц Мертенс ), также называют постоянная Мертенсом , Кронекер константы «s , Адамар - де - ла - Валл-Пуссены постоянная или прайм постоянная обратным , это математическая константа в теории чисел , определяется как предельная разница между гармоническим рядом, суммированным только по простым числам и натуральному логарифму натурального логарифма:

${\ displaystyle M = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} - \ ln (\ ln n) \ right) = \ гамма + \ sum _ {p} \ left [\ ln \! \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) + {\ frac {1} {p}} \ right].}$

Здесь γ - постоянная Эйлера – Маскерони , которая имеет аналогичное определение, включающее сумму по всем целым числам (а не только по простым числам).

График суммы основной гармоники и приближение к ней Мертена. Оригинал этого рисунка имеет ось y длиной 8 см и охватывает интервал (2,5, 3,8), поэтому, если ось n будет построена в линейном масштабе, а не в логарифмическом масштабе, тогда она должна быть длиной в км - это размер Солнечной системы.${\ displaystyle n = 2 ^ {15}, 2 ^ {16}, \ ldots, 2 ^ {46} \ приблизительно 7,04 \ times 10 ^ {13}}$${\ displaystyle 5.33 (3) \ times 10 ^ {9}}$

Значение M примерно

M ≈ 0,2614972128476427837554268386086958590516 ... (последовательность A077761 в OEIS ).

Вторая теорема Мертенса устанавливает, что предел существует.

Тот факт, что существует два логарифма (логарифм) в пределе для постоянной Мейселя – Мертенса, можно рассматривать как следствие комбинации теоремы о простых числах и предела для постоянной Эйлера – Маскерони.

В популярной культуре

Константа Мейселя-Мертенса использовалась Google при торгах на патентном аукционе Nortel . Google разместил три ставки, основанные на математических числах: 1 902 160 540 долларов ( константа Бруна ), 2 614 972 128 долларов (константа Мейселя-Мертенса) и 3,14159 миллиарда долларов ( π ).

Смотрите также

• Расхождение суммы обратных простых чисел
• Простая дзета-функция

Ссылки

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Мертенс Констан» . MathWorld .
• Об остатке в серии Мертенс (файл постскриптума)