Последовательность Primefree - Primefree sequence

В математике , primefree последовательность представляет собой последовательность из целых чисел , которые не содержат каких - либо простых чисел . Более конкретно, это обычно означает последовательность, определяемую тем же рекуррентным соотношением, что и числа Фибоначчи , но с разными начальными условиями, из-за которых все члены последовательности являются составными числами , не все из которых имеют общий делитель . Выражаясь алгебраически, последовательность этого типа определяется соответствующим выбором двух составных чисел a ₁ и a ₂ , таких, что наибольший общий делитель равен 1, и таких, что для нет простых чисел в последовательности чисел рассчитывается по формуле ${\ displaystyle GCD (a_ {1}, a_ {2})}$ ${\ displaystyle n> 2}$

{\ Displaystyle а_ {п} = а_ {п-1} + а_ {п-2}}

.

Первая свободная от простых чисел последовательность этого типа была опубликована Рональдом Грэмом в 1964 году.

Последовательность Уилфа

Последовательность без простых чисел, найденная Гербертом Вильфом, имеет начальные члены

{\ displaystyle a_ {1} = 20615674205555510, a_ {2} = 3794765361567513}

(последовательность A083216 в OEIS )

Доказательство того, что каждый член этой последовательности является составным, основывается на периодичности числовых последовательностей, подобных Фибоначчи, по модулю членов конечного набора простых чисел. Для каждого простого числа позиции в последовательности, где числа делятся на повторение в периодическом шаблоне, и разные простые числа в наборе имеют перекрывающиеся шаблоны, которые приводят к покрывающему набору для всей последовательности. ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$

Нетривиальность

Требование взаимной простоты начальных членов последовательности, не содержащей простых чисел, необходимо для того, чтобы вопрос был нетривиальным. Если начальные условия разделяют простой множитель (например, набор и для некоторых и так больше , чем 1), в связи с распределительным свойством по умножению и в более общем смысле все последующие значения в последовательности будут кратны . В этом случае все числа в последовательности будут составными, но по тривиальной причине. ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle a_ {1} = XP}$ ${\ displaystyle a_ {2} = yp}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle a_ {3} = (x + y) p}$ ${\ displaystyle p}$

Порядок начальных терминов также важен. В биографии Пола Хоффмана Пола Эрдёша , человека, который любил только числа , цитируется последовательность Уилфа, но с изменением начальных терминов. Результирующая последовательность кажется свободной от простых чисел для первых ста членов или около того, но член 138 является 45-значным простым числом . ${\ displaystyle 439351292910452432574786963588089477522344721}$