Простое разложение 3-многообразий - Prime decomposition of 3-manifolds

В математике , то теорема простое разложение для 3-многообразия состояний, каждое компактное , ориентируемое 3-многообразие является связной суммой уникального ( до гомеоморфизм ) конечный набор простых 3-многообразий .

Многообразие является простым, если оно не может быть представлено как связная сумма более чем одного многообразия, ни одно из которых не является сферой того же измерения. Это условие необходимо, поскольку для любого многообразия M размерности верно, что ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle M = M \ # S ^ {n}.}$

(где M # S ⁿ означает связную сумму M и S ⁿ ). Если Р является простым 3-многообразие , то либо это S ²  ×  S ¹ или неориентируемо S ² расслоения над S ¹ , или это неприводимое , что означает , что любая встроенная 2-сфера ограничивает шар. Таким образом, теорему можно переформулировать, чтобы сказать, что существует единственное разложение связной суммы на неприводимые 3-многообразия и расслоения S ² над S ¹ .

Простое разложение имеет место и для неориентируемых 3-многообразий, но уникальность инструкция должна быть слегка модифицирована: каждое компактное, неориентируемое 3-многообразием является связной суммой неприводимых 3-многообразий и неориентируемой S ² пучков над S ¹ . Эта сумма является уникальным, пока мы указываем , что каждое слагаемое либо неприводимые , либо неориентируемая  S ² расслоением над  S ¹ .

Доказательство основано на методах нормальной поверхности , разработанных Хельмутом Кнезером . Существование было доказано Кнезером, но точная формулировка и доказательство уникальности были сделаны более 30 лет спустя Джоном Милнором .

использованная литература

• Милнор, Джон (1962). «Единственная теорема о разложении для трехмерных многообразий». Американский журнал математики . 84 : 1–7. DOI : 10.2307 / 2372800 . Руководство по ремонту  0142125 .