Координаты Плюккера - Plücker coordinates

В геометрии , плюккеровы координаты , введенные Плюккер в 19 - м веке, являются одним из способов , чтобы назначить шесть однородных координат в каждой строке в проективном 3-пространстве , P ³ . Поскольку они удовлетворяют квадратичному ограничению, они устанавливают взаимно однозначное соответствие между 4-мерным пространством прямых в P ³ и точками на квадрике в P ⁵ (проективное 5-пространство). Предшественник и частный случай координат Грассмана (которые описывают k -мерные линейные подпространства или плоскости в n- мерном евклидовом пространстве ), координаты Плюккера возникают естественным образом в геометрической алгебре . Они оказались полезными для компьютерной графики , а также могут быть расширены до координат для винтов и гаечных ключей в теории кинематики, используемой для управления роботами .

Геометрическая интуиция

Линия в трехмерном евклидовом пространстве определяется двумя отдельными точками, которые она содержит, или двумя отдельными плоскостями, которые ее содержат. Рассмотрим первый случай с точками и . Векторное смещение от до отлично от нуля, потому что точки различны и представляет направление линии. То есть каждое смещение между точками на является скалярным кратным . Если бы физическая частица с единичной массой переместилась из в в , у нее был бы момент относительно начала координат. Геометрический эквивалент - это вектор, направление которого перпендикулярно плоскости, содержащей и начало координат, и длина которого равна удвоенной площади треугольника, образованного смещением и началом координат. Рассматривая точки как смещения от начала координат, момент равен m = x × y , где «×» обозначает векторное векторное произведение . Для фиксированной линии площадь треугольника пропорциональна длине отрезка между и , рассматриваемого как основание треугольника; она не изменяется при скольжении основания вдоль линии параллельно самой себе. По определению вектор момента перпендикулярен каждому смещению вдоль линии, поэтому d ⋅ m = 0 , где «⋅» обозначает скалярное произведение вектора . ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$${\ displaystyle y = (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle d = yx}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Хотя ни одного, ни одного не достаточно для определения , вместе пара делает это однозначно с точностью до общего (ненулевого) скалярного множителя, который зависит от расстояния между и . То есть координаты ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

( д : м ) = ( д ₁ : д ₂ : д ₃ : м ₁ : м ₂ : м ₃ )

можно рассматривать как однородные координаты для L в том смысле, что все пары ( λ d : λ m ) при λ  ≠ 0 могут быть образованы точками на L и только L , и любая такая пара определяет единственную линию, пока d не равно нулю и d ⋅ m  = 0. Кроме того, этот подход распространяется на точки , прямые и плоскость «на бесконечности» в смысле проективной геометрии .

Пример. Пусть x  = (2,3,7) и y  = (2,1,0). Тогда ( d : m ) = (0: −2: −7: −7: 14: −4).

В качестве альтернативы, пусть уравнения для точек x двух различных плоскостей, содержащих L, имеют вид

0 = а + а ⋅ х

0 = Ь + Ь ⋅ х .

Тогда их соответствующие плоскости перпендикулярны векторам a и b , и направление L должно быть перпендикулярно обоим. Следовательно, мы можем положить d  = a × b , которое не равно нулю, потому что a и b не равны нулю и не параллельны (плоскости различны и пересекаются). Если точка x удовлетворяет обоим уравнениям плоскости, то она также удовлетворяет линейной комбинации

0	= a ( b + b ⋅ x ) - b ( a + a ⋅ x )
	= ( a b - b a ) ⋅ x .

То есть m  = a  b  -  b  a - вектор, перпендикулярный смещениям к точкам на L от начала координат; Фактически, это момент, согласованный с d, ранее определенным из a и b .

Доказательство 1. Необходимо показать, что m  = a  b  -  b  a = r × d = r × ( a × b ). ^{что такое " г "?}

Без ограничения общности пусть a ⋅ a = b ⋅ b = 1.

Точка B - начало координат. Линия L проходит через точку D и ортогональна плоскости рисунка. Две плоскости проходят через CD и DE и обе ортогональны плоскости изображения. Точки C и E являются ближайшими точками на этих плоскостях к началу B , поэтому углы BCD и BED являются прямыми углами, и поэтому точки B , C , D , E лежат на окружности (из-за следствия теоремы Фалеса ). BD - диаметр этого круга.

a  : = BE / || BE ||,   b  : = BC / || BC || ， r  : = BD, - a = || BE || = || BF || ， - b = || BC || = || BG ||,   m = a b - b a = FG, || d || = || a × b || = грех (FBG)

Угол BHF является прямым углом по следующему аргументу. Пусть . Так как (по конгруэнтности бок-угол-бок), то . Так как пусть . По теореме вписанного угла , так . ; , поэтому . Тогда DHF тоже должен быть прямым углом. ${\ displaystyle \ epsilon: = \ angle BEC}$${\ Displaystyle \ Delta BEC \ cong \ Delta BFG}$${\ displaystyle \ angle BFG = \ epsilon}$${\ displaystyle \ angle BEC + \ angle CED = 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ epsilon ': = 90 ^ {\ circ} - \ epsilon = \ angle CED}$${\ Displaystyle \ угол DEC = \ угол DBC}$${\ Displaystyle \ угол DBC = \ epsilon '}$${\ displaystyle \ angle HBF + \ angle BFH + \ angle FHB = 180 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ epsilon '+ \ epsilon + \ angle FHB = 180 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ epsilon + \ epsilon '= 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ angle FHB = 90 ^ {\ circ}}$

Углы DCF и DHF являются прямыми углами, поэтому четыре точки C, D, H, F лежат на окружности, и (по теореме о пересекающихся секущих )

|| BF || || BC || = || BH || || BD ||, то есть ab  sin (FBG) = || BH || || г || sin (FBG), 2 (площадь треугольника BFG) = ab sin (FBG) = || BH || || FG || = || BH || || г || sin (FBG), || м || = || FG || = || г || sin (FBG) = || г || || d ||, проверьте направление и m = r × d . ∎

Доказательство 2 :

Пусть a ⋅ a = b ⋅ b = 1. Отсюда следует, что

a = - || BE ||,      b = - || BC ||.

Согласно формуле тройного векторного произведения

r × ( a × b ) = ( r ⋅ b ) a - ( r ⋅ a ) b

потом

г × ( а × б )	знак равно	а || г || || б || cos (∠DBC) - b || г || || а || cos (∠DBE)
	знак равно	а || г || cos (∠DBC) - b || г || cos (∠DBE)
	знак равно	а || BC || - b || BE ||
	знак равно	- б а - (- а ) б
	знак равно	а б - б а      ∎

Когда || г || = 0 прямая L проходит через начало координат в направлении d . Если || г || > 0 линия имеет направление d ; плоскость, которая включает начало координат, и прямая L имеет вектор нормали m ; линия касается окружности на этой плоскости (перпендикулярной m и перпендикулярной плоскости рисунка) с центром в начале координат и радиусом || г ||.

Пример. Пусть a ₀  = 2, a  = (−1,0,0) и b ₀  = −7, b  = (0,7, −2). Тогда ( d : m ) = (0: −2: −7: −7: 14: −4).

Хотя обычное алгебраическое определение имеет тенденцию скрывать отношения, ( d : м ) являются координатами Плюккеровы из L .

Алгебраическое определение

Первоначальные координаты

В трехмерном проективном пространстве , пусть будет линия, проходящая через различные точки и с однородными координатами и . ${\ displaystyle P ^ {3}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle (x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3})}$${\ displaystyle (y_ {0}: y_ {1}: y_ {2}: y_ {3})}$

Координаты Плюккера определяются следующим образом: ${\ displaystyle p_ {ij}}$

${\ displaystyle p_ {ij}}$

${\ displaystyle {} = {\ begin {vmatrix} x_ {i} & y_ {i} \\ x_ {j} & y_ {j} \ end {vmatrix}} = x_ {i} y_ {j} -x_ {j} y_ {i}.}$

(кососимметричная матрица, элементы которой равны p _ij , также называется матрицей Плюккера ).
Отсюда следует, что p _ii  = 0 и p _ij  = - p _ji , сокращая возможности только до шести (4 выбирают 2) независимых величин. Шестиместный

${\ displaystyle (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12})}$

однозначно определяется L с точностью до общего ненулевого масштабного множителя. Кроме того, не все шесть компонентов могут быть нулевыми. Таким образом, координаты Плюккера L можно рассматривать как однородные координаты точки в 5-мерном проективном пространстве, как это предполагается с помощью обозначения двоеточия.

Чтобы увидеть эти факты, пусть M будет матрицей 4 × 2 с координатами точек в качестве столбцов.

${\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} x_ {0} & y_ {0} \\ x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} \ x_ {3} & y_ {3} \ конец {bmatrix}}}$

Плюккерово координата р _IJ является определителем строк I и J из М . Поскольку х и у являются различными точками, столбцы М являются линейно независимыми ; M имеет ранг 2. Пусть М ' является второй матрицей, с колоннами х' и у ' другой пары различных точек на L . Тогда столбцы матрицы M ′ являются линейными комбинациями столбцов матрицы M ; поэтому для некоторой невырожденной матрицы 2 × 2 Λ,

${\ displaystyle M '= M \ Lambda.}$

В частности, строки я и J из М ' и М связаны соотношением

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '_ {i} & y' _ {i} \\ x '_ {j} & y' _ {j} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x_ { i} & y_ {i} \\ x_ {j} & y_ {j} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {00} & \ lambda _ {01} \\\ lambda _ {10} & \ lambda _ {11} \ end {bmatrix}}.}$

Следовательно, определитель левой матрицы 2 × 2 равен произведению определителей правой матрицы 2 × 2, последний из которых является фиксированным скаляром, det Λ. Кроме того, все шесть субдетерминантов 2 × 2 в M не могут быть равны нулю, потому что ранг M равен 2.

Карта Плюккера

Обозначим множество всех прямых (линейных образов P ¹ ) в P ³ через G _1,3 . Таким образом, у нас есть карта:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ alpha \ двоеточие \ mathrm {G} _ {1,3} & \ rightarrow \ mathbf {P} ^ {5} \\ L & \ mapsto L ^ {\ alpha}, \ end {выровнено}}}$

куда

${\ displaystyle L ^ {\ alpha} = (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12}).}$

Двойные координаты

В качестве альтернативы линию можно описать как пересечение двух плоскостей. Пусть L - прямая, содержащаяся в разных плоскостях a и b с однородными коэффициентами ( a ⁰ : a ¹ : a ² : a ³ ) и ( b ⁰ : b ¹ : b ² : b ³ ) соответственно. ( Например, первое плоское уравнение Σ _k  a ^k x _k = 0.) Двойственная координата Плюккера p ^ij равна

${\ displaystyle p ^ {ij}}$

${\ displaystyle {} = {\ begin {vmatrix} a ^ {i} & a ^ {j} \\ b ^ {i} & b ^ {j} \ end {vmatrix}} = a ^ {i} b ^ {j } -a ^ {j} b ^ {i}.}$

Двойные координаты удобны в некоторых вычислениях и эквивалентны первичным координатам:

${\ displaystyle (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12}) = (p ^ {23}: p ^ {31}: p ^ {12}: p ^ {01}: p ^ {02}: p ^ {03})}$

Здесь равенство между двумя векторами в однородных координатах означает, что числа в правой части равны числам в левой части с точностью до некоторого общего коэффициента масштабирования . В частности, пусть ( i , j , k , ℓ ) будет четной перестановкой (0,1,2,3); тогда ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle p_ {ij} = \ lambda p ^ {k \ ell}.}$

Геометрия

Чтобы вернуться к геометрической интуиции, возьмем x ₀  = 0 как плоскость в бесконечности; таким образом, координаты точек, не находящихся на бесконечности, можно нормировать так, чтобы x ₀  = 1. Тогда M становится

${\ Displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} \ end {bmatrix}},}$

и постановка и , у нас и . ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$${\ displaystyle y = (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3})}$${\ displaystyle d = (p_ {01}, p_ {02}, p_ {03})}$${\ displaystyle m = (p_ {23}, p_ {31}, p_ {12})}$

По сути, у нас есть и . ${\ displaystyle d = (p ^ {23}, p ^ {31}, p ^ {12})}$${\ displaystyle m = (p ^ {01}, p ^ {02}, p ^ {03})}$

Биекция между линиями и квадрикой Клейна

Плоские уравнения

Если точка z  = ( z ₀ : z ₁ : z ₂ : z ₃ ) лежит на L , то столбцы

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {0} & y_ {0} & z_ {0} \\ x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \ \ x_ {3} & y_ {3} & z_ {3} \ end {bmatrix}}}$

являются линейно зависимыми , так что ранг этой большей матрицы еще 2. Это означает , что все 3 × 3 подматрицы имеет определитель нуля, генерируя четыре (4 выбрать 3) плоскость уравнений, такие как

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} & z_ {0} \\ x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \ end {vmatrix}} \\ [5pt] & = {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} \ end {vmatrix}} z_ {0} - {\ begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} \\ x_ {2} & y_ {2} \ end {vmatrix}} z_ {1} + {\ begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} \\ x_ {1} & y_ {1} \ end {vmatrix}} z_ {2} \\ [5pt] & = p_ {12} z_ {0} -p_ {02} z_ {1} + p_ {01} z_ {2}. \\ [5pt] & = p ^ {03} z_ {0} + p ^ {13} z_ {1} + p ^ {23} z_ {2}. \ End {выровнено} }}$

Полученные четыре возможных плоскости следующие.

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 0 & = & {} + p_ {12} z_ {0} & {} - p_ {02} z_ {1} & {} + p_ {01} z_ {2} & \\ 0 & = & {} - p_ {31} z_ {0} & {} - p_ {03} z_ {1} && {} + p_ {01} z_ {3} \\ 0 & = & {} + p_ {23} z_ {0} && {} - p_ {03} z_ {2} & {} + p_ {02} z_ {3} \\ 0 & = && {} + p_ {23} z_ {1} & {} + p_ { 31} z_ {2} & {} + p_ {12} z_ {3} \ end {matrix}}}$

Используя двойные координаты и позволяя ( a ⁰ : a ¹ : a ² : a ³ ) быть коэффициентами линии, каждый из них просто a ⁱ  = p ^ij , или

${\ displaystyle 0 = \ sum _ {i = 0} ^ {3} p ^ {ij} z_ {i}, \ qquad j = 0, \ ldots, 3.}$

Каждая координата Плюккера появляется в двух из четырех уравнений, каждый раз умножая другую переменную; и по меньшей мере одна из координат отличен от нуля, мы гарантированно не-незаполненных уравнения для двух различных плоскостей , пересекающихся в L . Таким образом, координаты Плюккера линии однозначно определяют эту линию, а карта α является инъекцией .

Квадратичное отношение

Образ α не является полным набором точек в P ⁵ ; координаты Плюккера прямой L удовлетворяют квадратичному соотношению Плюккера

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = p_ {01} p ^ {01} + p_ {02} p ^ {02} + p_ {03} p ^ {03} \\ & = p_ {01} p_ { 23} + p_ {02} p_ {31} + p_ {03} p_ {12}. \ End {align}}}$

Для доказательства запишите этот однородный многочлен в виде определителей и воспользуйтесь разложением Лапласа (в обратном порядке).

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} \\ x_ {1} & y_ {1} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {2 } & y_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} \\ x_ {2} & y_ {2} \ end {vmatrix }} {\ begin {vmatrix} x_ {3} & y_ {3} \\ x_ {1} & y_ {1} \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} \\ x_ {3} & y_ {3} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} \ end {vmatrix}} \\ [5pt] & = (x_ {0} y_ {1} -y_ {0} x_ {1}) {\ begin {vmatrix} x_ {2} & y_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} \ end {vmatrix}} - (x_ {0} y_ {2} -y_ {0} x_ {2}) {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {3} & y_ {3} \ end {vmatrix}} + (x_ {0} y_ {3} -y_ {0} x_ {3}) {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} \ end {vmatrix}} \ \ [5pt] & = x_ {0} \ left (y_ {1} {\ begin {vmatrix} x_ {2} & y_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} \ end {vmatrix}} - y_ { 2} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {3} & y_ {3} \ end {vmatrix}} + y_ {3} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1 } \\ x_ {2} & y_ {2} \ end {vmatrix}} \ right) -y_ {0} \ left (x_ {1} {\ begin {vmatrix} x_ {2} & y_ {2} \\ x_ { 3} & y_ {3} \ end {vmatrix}} - x_ {2} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {3} & y_ {3} \ end {vmatrix}} + x_ { 3} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} \ end {vmatrix}} \ справа) \\ [5pt] & = x_ {0} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & y_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & y_ {2} \\ x_ {3 } & y_ {3} & y_ {3} \ end {vmatrix}} - y_ {0} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {2} & x_ {2} & y_ { 2} \\ x_ {3} & x_ {3} & y_ {3} \ end {vmatrix}} \ end {align}}}$

Поскольку оба определителя 3 × 3 имеют повторяющиеся столбцы, правая часть тождественно равна нулю.

Другое доказательство можно сделать так: Так как вектор

${\ displaystyle d = \ left (p_ {01}, p_ {02}, p_ {03} \ right)}$

перпендикулярно вектору

${\ displaystyle m = \ left (p_ {23}, p_ {31}, p_ {12} \ right)}$

(см. выше), скалярное произведение d и m должно быть равно нулю! qed

Точечные уравнения

Если ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ ) быть координатами точки, каждая из четырех возможных точек на прямой имеет координаты x _i  = p _ij , для j  = 0 ... 3. Некоторые из этих возможных точек могут быть недопустимыми, потому что все координаты равны нулю, но поскольку по крайней мере одна координата Плюккера отлична от нуля, по крайней мере, две различные точки гарантированы.

Биективность

Если ( q ₀₁ : q ₀₂ : q ₀₃ : q ₂₃ : q ₃₁ : q ₁₂ ) - однородные координаты точки в P ⁵ , без ограничения общности предположим, что q _{01 не} равно нулю. Тогда матрица

${\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} q_ {01} & 0 \\ 0 & q_ {01} \\ - q_ {12} & q_ {02} \\ q_ {31} & q_ {03} \ end {bmatrix}}}$

имеет ранг 2, и поэтому ее столбцы являются различные точки , определяющие линию L . Когда P ⁵ координаты, д _IJ , удовлетворяет соотношение квадратичного плюккеровы, они являются координатами Плюккеровы из L . Чтобы убедиться в этом, сначала нормализуем q ₀₁ до 1. Затем мы немедленно получаем, что для координат Плюккера, вычисленных из M , p _ij  = q _ij , за исключением

${\ displaystyle p_ {23} = - q_ {03} q_ {12} -q_ {02} q_ {31}.}$

Но если q _ij удовлетворяет соотношению Плюккера q ₂₃ + q ₀₂ q ₃₁ + q ₀₃ q ₁₂  = 0, то p ₂₃  = q ₂₃ , завершая набор тождеств.

Следовательно, α - сюръекция на алгебраическое многообразие, состоящее из множества нулей квадратичного многочлена

${\ displaystyle p_ {01} p_ {23} + p_ {02} p_ {31} + p_ {03} p_ {12}.}$

А поскольку α также является инъекцией, прямые в P ³ находятся в биективном соответствии с точками этой квадрики в P ⁵ , называемой квадрикой Плюккера или квадрикой Клейна .

Использует

Координаты Плюккера позволяют кратко решать проблемы линейной геометрии в трехмерном пространстве, особенно те, которые связаны с падением .

Линия-линия пересечения

Две прямые в P ³ либо скошены, либо компланарны , и в последнем случае они либо совпадают, либо пересекаются в единственной точке. Если p _ij и p ′ _ij - координаты Плюккера двух прямых, то они компланарны именно тогда, когда d • m ′ + m • d ′ = 0, как показано

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = p_ {01} p '_ {23} + p_ {02} p' _ {31} + p_ {03} p '_ {12} + p_ {23} p' _ {01} + p_ {31} p '_ {02} + p_ {12} p' _ {03} \\ [5pt] & = {\ begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} & x'_ {0} & y '_ {0} \\ x_ {1} & y_ {1} & x' _ {1} & y '_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & x' _ {2} & y'_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} & x '_ {3} & y' _ {3} \ end {vmatrix}}. \ End {align}}}$

Когда линии скошены, знак результата указывает на смысл пересечения: положительный, если правый винт переводит L в L ', иначе отрицательный.

Квадратичное соотношение Плюккера по существу утверждает, что линия компланарна самой себе.

Линия-линия

В случае, если две прямые компланарны, но не параллельны, их общая плоскость имеет уравнение

0 = ( m • d ′) x ₀ + ( d × d ′) • x ,

куда ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

Малейшее возмущение разрушит существование общей плоскости, а почти параллельность линий вызовет численные трудности в поиске такой плоскости, даже если она действительно существует.

Line-line встреча

Две копланарные линии, ни одна из которых не содержит начала координат, имеют общую точку.

( x ₀  : x ) = ( d • m ′: m × m ′).

Для обработки строк, не отвечающих этому ограничению, см. Ссылки.

Встреча на самолете

Для плоскости с уравнением

${\ displaystyle 0 = a ^ {0} x_ {0} + a ^ {1} x_ {1} + a ^ {2} x_ {2} + a ^ {3} x_ {3},}$

или более кратко 0 = a ⁰ x ₀ + a • x ; и учитывая прямую, не входящую в нее, с координатами Плюккера ( d : m ), то их точка пересечения

( x ₀  : x ) = ( a • d  : a × m - a ₀ d ).

Координаты точки ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ ) также могут быть выражены через координаты Плюккера как

${\ displaystyle x_ {i} = \ sum _ {j \ neq i} a ^ {j} p_ {ij}, \ qquad i = 0 \ ldots 3.}$

Соединение точка-линия

Соответственно, если заданы точка ( y ₀ : y ) и линия, не содержащая ее, их общая плоскость имеет уравнение

0 = ( y • m ) x ₀ + ( y × d - y ₀ m ) • x .

Координаты плоскости ( a ⁰ : a ¹ : a ² : a ³ ) также могут быть выражены в терминах двойственных координат Плюккера как

${\ displaystyle a ^ {i} = \ sum _ {j \ neq i} y_ {j} p ^ {ij}, \ qquad i = 0 \ ldots 3.}$

Семейства линий

Поскольку квадрика Клейна находится в P ⁵ , она содержит линейные подпространства размерностей один и два (но не выше). Они соответствуют одно- и двухпараметрическим семействам линий в P ³ .

Например, предположим, что L и L ′ - разные прямые в P ^3, определяемые точками x , y и x ′, y ′ соответственно. Линейные комбинации их определяющих точек дают линейные комбинации их координат Плюккера, генерируя однопараметрическое семейство линий, содержащих L и L '. Это соответствует одномерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линии в самолете

Если три различных и непараллельных прямых лежат в одной плоскости; их линейные комбинации образуют двухпараметрическое семейство линий, все линии на плоскости. Это соответствует двумерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линии через точку

Если три различные и некомпланарные линии пересекаются в точке, их линейные комбинации создают двухпараметрическое семейство линий, все линии проходят через точку. Это также соответствует двумерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линейчатая поверхность

Линейчатая поверхность представляет собой семейство линий, не обязательно линейные. Это соответствует кривой на квадрике Клейна. Например, гиперболоид из одного листа - это квадратичная поверхность в P ^3, управляемая двумя разными семействами линий, одна линия каждой проходит через каждую точку поверхности; каждое семейство соответствует под отображением Плюккера коническому сечению внутри квадрики Клейна в P ⁵ .

Геометрия линии

В течение девятнадцатого века линейная геометрия интенсивно изучалась. В терминах приведенной выше биекции это описание внутренней геометрии квадрики Клейна.

трассировка лучей

Линейная геометрия широко используется в приложениях для трассировки лучей, где геометрия и пересечения лучей должны быть рассчитаны в 3D. Реализация описана во введении в координаты Плюккера, написанном для форума Ray Tracing Туисом Джонсом.

Смотрите также

• Плоская проективная плоскость
• Матрица Плюккера

использованная литература

• Ходж, WVD ; Д. Педо (1994) [1947]. Методы алгебраической геометрии, Том I (Книга II) . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-46900-5.
• Behnke, H .; Ф. Бахманн; К. Фладт; Х. Кунле, ред. (1984). Основы математики, Том II: Геометрия . пер. Ш.Гулд. MIT Press . ISBN 978-0-262-52094-2.
  С немецкого: Grundzüge der Mathematik, Band II: Geometrie . Vandenhoeck & Ruprecht.
• Guilfoyle, B .; В. Клингенберг (2004). «О пространстве ориентированных аффинных прямых в R ^ 3». Archiv der Mathematik . Birkhäuser . 82 (1): 81–84. arXiv : math / 0405189 . DOI : 10.1007 / s00013-003-4861-3 . ISSN  0003-889X .
• Купцов, Л.П. (2001) [1994], "Координаты Плюккера" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Мейсон, Мэтью Т .; Дж. Кеннет Солсбери (1985). Руки роботов и механика манипуляции . MIT Press . ISBN 978-0-262-13205-3.
• Hartley, R. ~ I .; Зиссерман А. (2004). Многоканальная геометрия в компьютерном зрении . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0521540518.
• Hohmeyer, M .; С. Теллер (1999). «Определение линий через четыре линии» (PDF) . Журнал графических инструментов . А.К. Петерс . 4 (3): 11–22. DOI : 10.1080 / 10867651.1999.10487506 . ISSN  1086-7651 .
• Шафаревич И.Р . ; А.О. Ремизов (2012). Линейная алгебра и геометрия . Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.
• Цзя, Ян-Бинь (2017). Координаты Плюккера для линий в пространстве (PDF) (Отчет).
• Шумейк, Кен (1998). «Учебное пособие по координатам Плюккера» . Новости трассировки лучей . Проверено 4 июля 2018 .