Косые линии - Skew lines

Прямоугольный параллелепипед . Линия, проходящая через сегмент AD, и линия, проходящая через сегмент B ₁ B, являются наклонными линиями, поскольку они не находятся в одной плоскости.

В трехмерной геометрии , косые линии две линии , которые не делают пересекаются и не являются параллельными . Простым примером пары косых прямых является пара прямых, проходящих через противоположные стороны правильного тетраэдра . Две прямые, лежащие в одной плоскости, должны либо пересекать друг друга, либо быть параллельны, поэтому наклонные линии могут существовать только в трех или более измерениях . Две линии перекосятся тогда и только тогда, когда они не компланарны .

Общая позиция

Если четыре точки выбраны случайным образом и равномерно внутри единичного куба , они почти наверняка будут определять пару косых линий. После выбора первых трех точек четвертая точка будет определять линию без перекоса в том и только в том случае, если она копланарна с первыми тремя точками. Однако плоскость, проходящая через первые три точки, образует подмножество нулевой меры куба, и вероятность того, что четвертая точка лежит на этой плоскости, равна нулю. В противном случае линии, определяемые точками, будут наклонными.

Точно так же в трехмерном пространстве очень небольшое возмущение любых двух параллельных или пересекающихся прямых почти наверняка превратит их в косые. Следовательно, любые четыре точки в общем положении всегда образуют косые линии.

В этом смысле косые линии являются «обычным» случаем, а параллельные или пересекающиеся прямые - частными случаями.

Формулы

Проверка на асимметрию

Если каждая строка в паре косых линий определяется двумя точками , что она проходит через, то эти четыре точки , не должны находиться в одной плоскости, поэтому они должны быть вершинами из в тетраэдра ненулевого объема . И наоборот, любые две пары точек, определяющие тетраэдр ненулевого объема, также определяют пару косых линий. Следовательно, проверка того, определяют ли две пары точек косые линии, заключается в применении формулы для объема тетраэдра в терминах его четырех вершин. Обозначая одну точку как вектор $a$ размером 1 × 3 , три элемента которого являются тремя значениями координат точки, а также обозначая $b$ , $c$ и $d$ для других точек, мы можем проверить, смещена ли линия, проходящая через $a$ и $b,$ к прямой, проходящей через $c$ и $d$ , посмотрев, дает ли формула объема тетраэдра ненулевой результат:

{\ Displaystyle V = {\ гидроразрыва {1} {6}} \ left | \ det \ left [{\ begin {matrix} \ mathbf {a} - \ mathbf {b} \\\ mathbf {b} - \ mathbf {c} \\\ mathbf {c} - \ mathbf {d} \ end {matrix}} \ right] \ right |.}

Ближайшие точки

Выражая две линии как векторы:

{\ displaystyle {\ text {Line 1:}} \; \ mathbf {v_ {1}} = \ mathbf {p_ {1}} + t_ {1} \ mathbf {d_ {1}}}

{\ displaystyle {\ text {Line 2:}} \; \ mathbf {v_ {2}} = \ mathbf {p_ {2}} + t_ {2} \ mathbf {d_ {2}}}

Перекрестное произведение из и перпендикулярно к линиям. ${\ displaystyle \ mathbf {d_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d_ {2}}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {п} = \ mathbf {d_ {1}} \ times \ mathbf {d_ {2}}}

Плоскость, образованная перемещениями линии 2 вдоль, содержит точку и перпендикулярна ей . ${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p_ {2}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {n_ {2}} = \ mathbf {d_ {2}} \ times \ mathbf {n}}$

Следовательно, точка пересечения линии 1 с вышеупомянутой плоскостью, которая также является точкой на линии 1, ближайшей к линии 2, определяется выражением

{\ displaystyle \ mathbf {c_ {1}} = \ mathbf {p_ {1}} + {\ frac {(\ mathbf {p_ {2}} - \ mathbf {p_ {1}}) \ cdot \ mathbf {n_ {2}}} {\ mathbf {d_ {1}} \ cdot \ mathbf {n_ {2}}}} \ mathbf {d_ {1}}}

Точно так же точка на линии 2, ближайшая к линии 1, определяется выражением (где ) ${\ Displaystyle \ mathbf {n_ {1}} = \ mathbf {d_ {1}} \ times \ mathbf {n}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {c_ {2}} = \ mathbf {p_ {2}} + {\ frac {(\ mathbf {p_ {1}} - \ mathbf {p_ {2}}) \ cdot \ mathbf {n_ {1}}} {\ mathbf {d_ {2}} \ cdot \ mathbf {n_ {1}}}} \ mathbf {d_ {2}}}

Теперь и образуют самый короткий отрезок , соединяющий линий 1 и 2. ${\ Displaystyle \ mathbf {c_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c_ {2}}}$

Расстояние

Расстояние между ближайшими точками в двух наклонных линиях можно выразить с помощью векторов:

{\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {a} + \ lambda \ mathbf {b};}

{\ displaystyle \ mathbf {y} = \ mathbf {c} + \ mu \ mathbf {d}.}

Здесь вектор $x$ размером 1 × 3 представляет произвольную точку на линии, проходящей через конкретную точку $a,$ где $b$ представляет направление линии, а значение действительного числа определяет, где находится точка на линии, и аналогично для произвольной точки $y$ на линия, проходящая через определенную точку $c$ в направлении $d$ . ${\ displaystyle \ lambda}$

Перекрестное произведение из б и д перпендикулярно к линии, как это единичный вектор

{\ displaystyle \ mathbf {n} = {\ frac {\ mathbf {b} \ times \ mathbf {d}} {| \ mathbf {b} \ times \ mathbf {d} |}}}

Тогда расстояние между линиями равно

{\ displaystyle d = | \ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {c} - \ mathbf {a}) |.}

(если | b × d | равно нулю, линии параллельны и этот метод использовать нельзя).

Более двух строк

Конфигурации

Конфигурации косых линий представляют собой набор строк , в которых все пары являются перекосом. Две конфигурации называются изотопными, если можно непрерывно преобразовывать одну конфигурацию в другую, сохраняя на протяжении всего преобразования инвариант, что все пары линий остаются перекосами. Любые две конфигурации из двух линий легко увидеть как изотопные, а конфигурации с одинаковым количеством линий в размерах больше трех всегда изотопны, но существует несколько неизотопных конфигураций из трех или более линий в трех измерениях ( Viro & Viro 1990 ). Количество неизотопных конфигураций n линий в R ³ , начиная с n = 1, равно

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (последовательность A110887 в OEIS ).

Линейчатые поверхности

Расслоение из проективного пространства на косых линиях на вложенном гиперболоиде .

Если повернуть линию L вокруг другой линии M наклона, но не перпендикулярно ей, поверхность вращения, заметаемая L, будет гиперболоидом одного листа . Так , например, три гиперболоид видимого на рисунке может быть сформирован таким образом , путем вращения линии L вокруг центральной белой вертикальной линии M . Копии L на этой поверхности образуют регулятор ; гиперболоид также содержит второе семейство линий, которые также наклонены к M на том же расстоянии, что и L от него, но с противоположным углом, которые образуют противоположный регулятор. Два регулятора отображают гиперболоид в виде линейчатой поверхности .

Аффинное преобразование этой линейчатой поверхности создает поверхность , которая в общем случае имеет эллиптическое поперечное сечение , а не круглое поперечное сечение , полученного путем поворота вокруг L L '; такие поверхности также называют гиперболоидами одного листа, и они снова управляются двумя семействами взаимно наклонных линий. Третий тип линейчатой поверхности - гиперболический параболоид . Подобно гиперболоиду одного листа, гиперболоид имеет два семейства косых линий; в каждом из двух семейств линии параллельны общей плоскости, но не друг другу. Любые три косые прямые в R ³ лежат ровно на одной линейчатой поверхности одного из этих типов ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ).

Теорема Галуччи

Если все три наклонные линии встречаются с тремя другими наклонными линиями, любая трансверсаль первого набора из трех встречает любую трансверсаль второго набора.

Перекос плоских поверхностей в больших размерах

В многомерном пространстве плоскость размерности k называется k -плоской. Таким образом, линию также можно назвать 1-бемольской.

Обобщая концепцию косых линий на d -мерное пространство, i -плоскость и j -плоскость могут быть перекосами, если $i + j < d$ . Как и в случае линий в 3-м пространстве, наклонные плоскости - это те, которые не параллельны и не пересекаются.

В аффинном d- пространстве две плоскости любой размерности могут быть параллельны. Однако в проективном пространстве параллелизма не существует; две квартиры должны либо пересекаться, либо быть перекошены. Пусть $I$ - множество точек на i -плоскости, а $J$ - множество точек на j -плоскости. В проективном d -пространстве, если $i + j \geq d,$ то пересечение $I$ и $J$ должно содержать ( i + j - d ) -плоскость. ( 0 -плоскость - это точка.)

В любой геометрии, если $I$ и $J$ пересекаются на k -плоскости при $k \geq 0$ , то точки $I \cup J$ определяют ( i + j - k ) -плоскость.

Смотрите также

Заметки

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Косые линии» . MathWorld .

Languages

In other projects