Кинематика - Kinematics

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle z}$

${\ Displaystyle {\ шляпа {\ mathbf {я}}}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {j}}}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {k}}}}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle \ left | \ mathbf {r} \ right |}$

${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

$${\ displaystyle | \ mathbf {r} | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}.}$$

Траектория частицы является вектором функцией времени, , которая определяет кривую прослежена по движущейся частицы, дается ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (т)}$

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = x (t) {\ hat {\ mathbf {i}}} + y (t) {\ hat {\ mathbf {j}}} + z (t) {\ шляпа {\ mathbf {k}}},}$$

${\ Displaystyle х (т)}$

${\ Displaystyle у (т)}$

${\ Displaystyle г (т)}$

Пройденное расстояние всегда больше или равно смещению.

Скорость и скорость

Скорость частицы является векторной величиной , которая описывает величину, а также направление движения частицы. Говоря более математически, скорость изменения вектора положения точки относительно времени - это скорость точки. Рассмотрим соотношение, образованное делением разницы двух положений частицы на временной интервал. Это отношение называется средней скоростью за этот интервал времени и определяется как

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ rm {avg}} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {r}} {\ Delta t}} \,}$$

${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle \ Delta t}$

${\ displaystyle \ Delta t}$

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {r}} {\ Delta t}} = {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = {\ dot {\ mathbf {r}}} = {\ dot {x}} {\ hat {\ mathbf {i}}} + {\ dot {y}} {\ hat {\ mathbf { j}}} + {\ dot {z}} {\ hat {\ mathbf {k}}},}$$

${\ displaystyle {\ dot {x}} = dx / dt}$

Скорость объекта является величина ее скорости. Это скалярная величина:

$${\ displaystyle v = | \ mathbf {v} | = {\ frac {ds} {dt}},}$$

${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle ds / dt}$

Ускорение

Вектор скорости может изменяться по величине и по направлению или по обоим сразу. Следовательно, ускорение учитывает как скорость изменения величины вектора скорости, так и скорость изменения направления этого вектора. То же самое рассуждение, которое используется в отношении положения частицы для определения скорости, может быть применено к скорости для определения ускорения. Ускорение частицы является вектор определяется скоростью изменения вектора скорости. Среднее ускорение частицы за интервал времени определяется как отношение.

$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {a}}} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {v}} {\ Delta t}} \,}$$

Ускорение частицы - это предел среднего ускорения, когда временной интервал приближается к нулю, который является производной по времени,

$${\ displaystyle \ mathbf {a} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {v}} {\ Delta t}} = {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ dot {\ mathbf {v}}} = {\ dot {v}} _ {x} {\ hat {\ mathbf {i}}} + {\ dot {v}} _ {y } {\ hat {\ mathbf {j}}} + {\ dot {v}} _ {z} {\ hat {\ mathbf {k}}}}$$

$${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ ddot {\ mathbf {r}}} = {\ ddot {x}} {\ hat {\ mathbf {i}}} + {\ ddot {y}} {\ hat {\ mathbf {j}}} + {\ ddot {z}} {\ hat {\ mathbf {k}}}}$$

Величина ускорения объекта - величина | а | вектора его ускорения. Это скалярная величина:

$${\ displaystyle | \ mathbf {a} | = | {\ dot {\ mathbf {v}}} | = {\ frac {dv} {dt}},}$$

Вектор относительного положения

Вектор относительного положения - это вектор, который определяет положение одной точки относительно другой. Это разница в положении двух точек. Положение одной точки A относительно другой точки B - это просто разница между их положениями.

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {A / B} = \ mathbf {r} _ {A} - \ mathbf {r} _ {B}}$

которая является разницей между компонентами их векторов положения.

Если точка A имеет компоненты положения${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {A} = \ left (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A} \ right)}$

Если точка B имеет компоненты положения${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {B} = \ left (x_ {B}, y_ {B}, z_ {B} \ right)}$

тогда положение точки A относительно точки B - это разница между их составляющими:${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {A / B} = \ mathbf {r} _ {A} - \ mathbf {r} _ {B} = \ left (x_ {A} -x_ {B}, y_ { A} -y_ {B}, z_ {A} -z_ {B} \ right)}$

Относительная скорость

Относительные скорости между двумя частицами в классической механике.

Скорость одной точки относительно другой - это просто разница между их скоростями.

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {A / B} = \ mathbf {v} _ {A} - \ mathbf {v} _ {B}}$$

Если точка A имеет компоненты скорости, а точка

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {A} = \ left (v_ {A_ {x}}, v_ {A_ {y}}, v_ {A_ {z}} \ right)}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {B} = \ left (v_ {B_ {x}}, v_ {B_ {y}}, v_ {B_ {z}} \ right)}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {A / B} = \ mathbf {v} _ {A} - \ mathbf {v} _ {B} = \ left (v_ {A_ {x}} - v_ {B_ { x}}, v_ {A_ {y}} - v_ {B_ {y}}, v_ {A_ {z}} - v_ {B_ {z}} \ right)}$

В качестве альтернативы, тот же самый результат может быть получен путем вычисления производной по времени относительного положения вектора г _{B / A} .

В случае, когда скорость близка к скорости света c (обычно в пределах 95%), в

Относительное ускорение

Ускорение одной точки C относительно другой точки B - это просто разница между их ускорениями.

$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {C / B} = \ mathbf {a} _ {C} - \ mathbf {a} _ {B}}$$

Если точка C имеет компоненты ускорения, а точка

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {C} = \ left (a_ {C_ {x}}, a_ {C_ {y}}, a_ {C_ {z}} \ right)}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {B} = \ left (a_ {B_ {x}}, a_ {B_ {y}}, a_ {B_ {z}} \ right)}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {C / B} = \ mathbf {a} _ {C} - \ mathbf {a} _ {B} = \ left (a_ {C_ {x}} - a_ {B_ { x}}, a_ {C_ {y}} - a_ {B_ {y}}, a_ {C_ {z}} - a_ {B_ {z}} \ right)}$

В качестве альтернативы, тот же самый результат может быть получен путем вычисления второй производной по времени от относительного положения вектора г _{В / А} .

Предполагая, что начальные условия положения, и скорости во времени известны, первое интегрирование дает скорость частицы как функцию времени. ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0}}$${\ displaystyle t = 0}$

$${\ displaystyle \ mathbf {v} (t) = \ mathbf {v} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {a} \, d \ tau = \ mathbf {v} _ { 0} + \ mathbf {a} t.}$$

Второе интегрирование дает его путь (траекторию),

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ mathbf {r} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v} (\ tau) \, d \ tau = \ mathbf { r} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ left (\ mathbf {v} _ {0} + \ mathbf {a} \ tau \ right) d \ tau = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf {v} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2}.}$$

Могут быть получены дополнительные соотношения между перемещением, скоростью, ускорением и временем. Поскольку ускорение постоянно,

$${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {v}} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0}} {t }}}$$

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ mathbf {r} _ {0} + \ left ({\ frac {\ mathbf {v} + \ mathbf {v} _ {0}} {2}} \ справа) т.}$$

Связь между скоростью, положением и ускорением без явной зависимости от времени может быть получена путем решения среднего ускорения для времени и замены и упрощения

$${\ displaystyle t = {\ frac {\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0}} {\ mathbf {a}}}}$$

$${\ displaystyle \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right) \ cdot \ mathbf {a} = \ left (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0} \ right) \ cdot {\ frac {\ mathbf {v} + \ mathbf {v} _ {0}} {2}} \,}$$

${\ displaystyle \ cdot}$

$${\ displaystyle 2 \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right) \ cdot \ mathbf {a} = | \ mathbf {v} | ^ {2} - | \ mathbf {v } _ {0} | ^ {2}.}$$

Скалярное произведение можно заменить косинусом угла α между векторами (подробнее см. В разделе « Геометрическая интерпретация скалярного произведения» ) и векторами по их величине, в этом случае:

$${\ displaystyle 2 \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right | \ left | \ mathbf {a} \ right | \ cos \ alpha = | \ mathbf {v} | ^ { 2} - | \ mathbf {v} _ {0} | ^ {2}.}$$

В случае ускорения всегда в направлении движения, и направление движения должно быть положительным или отрицательным, угол между векторами ( α ) равен 0, поэтому и ${\ Displaystyle \ соз 0 = 1}$

$${\ displaystyle | \ mathbf {v} | ^ {2} = | \ mathbf {v} _ {0} | ^ {2} +2 \ left | \ mathbf {a} \ right | \ left | \ mathbf {r } - \ mathbf {r} _ {0} \ right |.}$$

${\ displaystyle | \ mathbf {a} | = a, | \ mathbf {v} | = v, | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} | = \ Delta r}$

${\ displaystyle \ Delta r}$

$${\ displaystyle v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a \ Delta r.}$$

Это сводит параметрические уравнения движения частицы к декартовой зависимости скорости от положения. Это соотношение полезно, когда время неизвестно. Мы также знаем, что или - это площадь под графиком скорость – время.${\ textstyle \ Delta r = \ int v \, dt}$${\ displaystyle \ Delta r}$

График физики скорости и времени

Мы можем взять , добавив верхнюю и нижнюю области. Площадь дна представляет собой прямоугольник, а площадь прямоугольника является , где ширина и высота. В этом случае и (обратите внимание, что здесь отличается от ускорения ). Это означает, что нижняя область есть . Теперь найдем верхнюю область (треугольник). Площадь треугольника , где есть основание и высота. В этом случае и или . Добавление и результаты в уравнении приводят к уравнению . Это уравнение применимо, когда конечная скорость

${\ displaystyle \ Delta r}$

${\ Displaystyle A \ cdot B}$

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A = t}$

${\ displaystyle B = v_ {0}}$

${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle tv_ {0}}$

${\ textstyle {\ frac {1} {2}} BH}$

${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle B = t}$

${\ displaystyle H = at}$

${\ textstyle A = {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {1} {2}} att = {\ frac {1} {2}} at ^ {2} = {\ frac {at ^ {2}} {2}}}$

${\ displaystyle v_ {0} t}$

${\ textstyle {\ frac {at ^ {2}} {2}}}$

${\ displaystyle \ Delta r}$

${\ textstyle \ Delta r = v_ {0} t + {\ frac {at ^ {2}} {2}}}$

Рис. 2: Скорость и ускорение для неравномерного кругового движения: вектор скорости касается орбиты, но вектор ускорения направлен не радиально внутрь из-за его тангенциальной составляющей a _θ, которая увеличивает скорость вращения: d ω / d t = | _{& thetas} ; | / R .

Траектории частиц в цилиндрическо-полярных координатах

Часто бывает удобно сформулировать траекторию частицы r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )), используя полярные координаты в плоскости X - Y. В этом случае его скорость и ускорение принимают удобный вид.

Напомним , что траектория частицы Р определяется его координат вектора г , измеренной в неподвижной системе отсчета F . Когда частица движется, ее вектор координат r ( t ) отслеживает ее траекторию, которая представляет собой кривую в пространстве, задаваемую формулой:

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = x (t) {\ hat {\ mathbf {i}}} + y (t) {\ hat {\ mathbf {j}}} + z (t) {\ шляпа {\ mathbf {k}}},}$$

Рассмотрим частицу P, которая движется только по поверхности кругового цилиндра r ( t ) = constant, можно совместить ось Z неподвижной системы отсчета F с осью цилиндра. Затем угол θ вокруг этой оси в плоскости X - Y может использоваться для определения траектории как,

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = R \ cos (\ theta (t)) {\ hat {\ mathbf {i}}} + R \ sin (\ theta (t)) {\ hat {\ mathbf {j}}} + z (t) {\ hat {\ mathbf {k}}}}$$

Цилиндрические координаты для r ( t ) можно упростить, введя радиальный и тангенциальный единичные векторы:

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r} = \ cos (\ theta (t)) {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ sin (\ theta (t)) {\ hat {\ mathbf { j}}}, \ quad \ mathbf {e} _ {\ theta} = - \ sin (\ theta (t)) {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ cos (\ theta (t)) { \ hat {\ mathbf {j}}}.}$$

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {e} _ {r} = {\ dot {\ mathbf {e}}} _ {r} = {\ dot {\ theta}} \ mathbf { е} _ {\ theta}}$$

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ dot {\ mathbf {e}}} _ {r} = {\ ddot {\ mathbf {e}}} _ {r} = {\ ddot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta} - {\ dot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {r}}$$

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {e} _ {\ theta} = {\ dot {\ mathbf {e}}} _ {\ theta} = - {\ dot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {r}}$$

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ dot {\ mathbf {e}}} _ {\ theta} = {\ ddot {\ mathbf {e}}} _ {\ theta} = - {\ ddot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {r} - {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ mathbf {e} _ {\ theta}.}$$

Используя эти обозначения, r ( t ) принимает вид

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = R \ mathbf {e} _ {r} + z (t) {\ hat {\ mathbf {k}}}.}$$

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = R (t) \ mathbf {e} _ {r} + z (t) {\ hat {\ mathbf {k}}}.}$$

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} \ left (R \ mathbf {e} _ {r} + z {\ hat {\ mathbf {k}}} \ справа) = {\ dot {R}} \ mathbf {e} _ {r} + R {\ dot {\ mathbf {e}}} _ {r} + {\ dot {z}} {\ hat {\ mathbf {k}}} = {\ dot {R}} \ mathbf {e} _ {r} + R {\ dot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ dot {z}} {\ hat {\ mathbf {k}}}.}$$

Точно так же ускорение a _P , которое является производной скорости v _{P по времени} , определяется выражением:

$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ dot {R}} \ mathbf {e} _ {r} + R {\ dot {\ theta) }} \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ dot {z}} {\ hat {\ mathbf {k}}} \ right) = \ left ({\ ddot {R}} - R {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ right) \ mathbf {e} _ {r} + \ left (R {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {R}} {\ dot {\ theta} } \ right) \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ ddot {z}} {\ hat {\ mathbf {k}}}.}$$

Термин действует по направлению к центру кривизны траектории в этой точке траектории и обычно называется центростремительным ускорением. Этот термин называется ускорением Кориолиса. ${\ displaystyle -R {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ mathbf {e} _ {r}}$${\ displaystyle 2 {\ dot {R}} {\ dot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta}}$

Постоянный радиус

Если траектория частицы должна лежать на цилиндре, тогда радиус R постоянен, а векторы скорости и ускорения упрощаются. Скорость v _P - это производная по времени траектории r ( t ),

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} \ left (R \ mathbf {e} _ {r} + z {\ hat {\ mathbf {k}}} \ справа) = R {\ dot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ dot {z}} {\ hat {\ mathbf {k}}}.}$$

Плоские круговые траектории

Каждая частица на колесе движется по плоской круговой траектории (Kinematics of Machinery, 1876).

Частный случай траектории частицы на круговом цилиндре возникает, когда нет движения вдоль оси Z :

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = R \ mathbf {e} _ {r} + z_ {0} {\ hat {\ mathbf {k}}},}$$

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} \ left (R \ mathbf {e} _ {r} + z_ {0} {\ hat {\ mathbf {k}) }} \ right) = R {\ dot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta} = R \ omega \ mathbf {e} _ {\ theta},}$$

${\ displaystyle \ omega = {\ dot {\ theta}}}$

Ускорение a _P частицы P теперь определяется выражением:

$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} \ left (R {\ dot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta} \ right) = - R {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ mathbf {e} _ {r} + R {\ ddot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta}.}$$

Компоненты

$${\ displaystyle a_ {r} = - R {\ dot {\ theta}} ^ {2}, \ quad a _ {\ theta} = R {\ ddot {\ theta}},}$$

Обозначения для угловой скорости и углового ускорения часто определяют как

$${\ displaystyle \ omega = {\ dot {\ theta}}, \ quad \ alpha = {\ ddot {\ theta}},}$$

$${\ displaystyle a_ {r} = - R \ omega ^ {2}, \ quad a _ {\ theta} = R \ alpha.}$$

Точечные траектории в теле, движущемся в плоскости

Движение компонентов механической системы анализируется путем прикрепления системы отсчета к каждой части и определения того, как различные системы отсчета перемещаются относительно друг друга. Если структурная жесткость деталей достаточна, то их деформацией можно пренебречь и использовать жесткие преобразования для определения этого относительного движения. Это сводит описание движения различных частей сложной механической системы к задаче описания геометрии каждой части и геометрической ассоциации каждой части относительно других частей.

Геометрия - это изучение свойств фигур, которые остаются неизменными, пока пространство трансформируется различными способами, а точнее говоря, это изучение инвариантов относительно набора преобразований. Эти преобразования могут вызвать смещение треугольника в плоскости, при этом угол вершины и расстояния между вершинами остаются неизменными. Кинематику часто называют прикладной геометрией, где движение механической системы описывается с использованием жестких преобразований евклидовой геометрии.

Координаты точек на плоскости - это двумерные векторы в R ² (двумерное пространство). Жесткие преобразования - это те, которые сохраняют расстояние между любыми двумя точками. Множество жестких преобразований в n -мерном пространстве называется специальной евклидовой группой на R ⁿ и обозначается SE ( n ) .

Смещения и движение

Движение каждого из компонентов парового двигателя Boulton & Watt (1784) моделируется непрерывным набором жестких перемещений.

Положение одного компонента механической системы относительно другого определяется путем введения системы отсчета , скажем M , на одном, который движется относительно фиксированной системы отсчета, F, на другом. Жесткое преобразование или смещение M относительно F определяет относительное положение двух компонентов. Смещение состоит из комбинации вращения и перевода .

Множество всех смещений М по отношению к F называется пространству конфигурации из M. гладкой кривой из одного положения в другое в этом конфигурационном пространстве представляет собой непрерывный набор смещений, называется движение из M относительно F. движения тело состоит из непрерывного набора поворотов и поступлений.

Матричное представление

Комбинация вращения и переноса в плоскости R ² может быть представлена ​​определенным типом матрицы 3 × 3, известной как однородное преобразование. Однородное преобразование 3 × 3 строится из матрицы вращения 2 × 2 A ( φ ) и вектора сдвига 2 × 1 d = ( d _x , d _y ), как:

$${\ Displaystyle [Т (\ phi, \ mathbf {d})] = {\ begin {bmatrix} A (\ phi) & \ mathbf {d} \\\ mathbf {0} & 1 \ end {bmatrix}} = { \ begin {bmatrix} \ cos \ phi & - \ sin \ phi & d_ {x} \\\ sin \ phi & \ cos \ phi & d_ {y} \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$$

В частности, пусть г определяют координаты точек в системе отсчета М , совпадающей с неподвижной рамой F . Затем, когда начало координат M смещается на вектор переноса d относительно начала координат F и поворачивается на угол φ относительно оси x F , новые координаты в F точек в M задаются следующим образом:

$${\ displaystyle \ mathbf {P} = [T (\ phi, \ mathbf {d})] \ mathbf {r} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ phi & - \ sin \ phi & d_ {x} \\ \ sin \ phi & \ cos \ phi & d_ {y} \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ 1 \ end {bmatrix}}.}$$

Однородные преобразования представляют собой аффинные преобразования . Этот состав необходимо , потому что перевод не линейное преобразование из R ² . Однако, используя проективную геометрию, так что R ² считается подмножеством R ³ , трансляции становятся аффинными линейными преобразованиями.

Чистый перевод

Если твердое тело движется так, что его система отсчета M не вращается ( θ = 0) относительно неподвижной системы отсчета F , движение называется чистым переносом. В этом случае траектория каждой точки тела представляет собой смещение траектории d ( t ) начала координат M, то есть:

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = [T (0, \ mathbf {d} (t))] \ mathbf {p} = \ mathbf {d} (t) + \ mathbf {p}.}$$

Таким образом, для тел в чистом перемещении скорость и ускорение каждой точки P в теле задаются как:

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) = {\ dot {\ mathbf {d}}} (t) = \ mathbf {v} _ { O}, \ quad \ mathbf {a} _ {P} = {\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) = {\ ddot {\ mathbf {d}}} (t) = \ mathbf {a} _ {O},}$$

Вращение тела вокруг фиксированной оси

Рисунок 1: Вектор угловой скорости Ω указывает вверх для вращения против часовой стрелки и вниз для вращения по часовой стрелке, как определено правилом правой руки . Угловое положение θ ( t ) изменяется со временем со скоростью ω ( t ) = d θ / d t .

Вращательная или угловая кинематика - это описание вращения объекта. В дальнейшем мы ограничимся простым вращением вокруг оси фиксированной ориентации. Г Оу был выбран для удобства.

Позиция

Это позволяет описывать вращение как угловое положение планарной системы отсчета M относительно фиксированной F относительно этой общей оси z . Координаты p = ( x , y ) в M связаны с координатами P = (X, Y) в F матричным уравнением:

$${\ Displaystyle \ mathbf {P} (t) = [A (t)] \ mathbf {p},}$$

куда

$${\ Displaystyle [A (t)] = {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta (t)) & - \ sin (\ theta (t)) \\\ sin (\ theta (t)) & \ cos (\ theta (t)) \ end {bmatrix}},}$$

Скорость

Если точка p не движется в M , ее скорость в F определяется выражением

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = {\ dot {\ mathbf {P}}} = [{\ dot {A}} (t)] \ mathbf {p}.}$$

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = [{\ точка {A}} (t)] [A (t) ^ {- 1}] \ mathbf {P} = [\ Omega] \ mathbf {P },}$$

$${\ displaystyle [\ Omega] = {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega \\\ omega & 0 \ end {bmatrix}},}$$

$${\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ theta} {dt}}.}$$

Ускорение

Ускорение P ( t ) в F получается как производная по времени от скорости,

$${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = {\ ddot {P}} (t) = [{\ dot {\ Omega}}] \ mathbf {P} + [\ Omega] {\ dot {\ mathbf {П} }},}$$

$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = [{\ dot {\ Omega}}] \ mathbf {P} + [\ Omega] [\ Omega] \ mathbf {P},}$$

$${\ displaystyle [{\ dot {\ Omega}}] = {\ begin {bmatrix} 0 & - \ alpha \\\ alpha & 0 \ end {bmatrix}},}$$

$${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}}.}$$

Затем описание вращения включает эти три величины:

• Угловое положение : ориентированное расстояние от выбранной исходной точки на оси вращения до точки объекта - это вектор r ( t ), определяющий положение точки. Вектор r ( t ) имеет некоторую проекцию (или, что то же самое, некоторую компоненту) r _⊥ ( t ) на плоскость, перпендикулярную оси вращения. Тогда угловое положение этой точки - это угол θ от опорной оси (обычно положительной оси x ) к вектору r _⊥ ( t ) в известном направлении вращения (обычно задаваемом правилом правой руки ).
• Угловая скорость : угловая скорость ω - это скорость, с которой угловое положение θ изменяется относительно времени t :
  $${\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ theta} {dt}}}$$

  
  Угловая скорость представлена ​​на рисунке 1 вектором Ω, направленным вдоль оси вращения с величиной ω и направлением, определяемым направлением вращения, заданным правилом правой руки .
• Угловое ускорение : величина углового ускорения α - это скорость, с которой угловая скорость ω изменяется во времени t :
  $${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {d \ omega} {dt}}}$$

  

Уравнения поступательной кинематики можно легко расширить до плоской кинематики вращения для постоянного углового ускорения с простой заменой переменных:

$${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {f}} = \ omega _ {\ mathrm {i}} + \ alpha t \!}$$

$${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {f}} - \ theta _ {\ mathrm {i}} = \ omega _ {\ mathrm {i}} t + {\ tfrac {1} {2}} \ alpha t ^ {2}}$$

$${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {f}} - \ theta _ {\ mathrm {i}} = {\ tfrac {1} {2}} (\ omega _ {\ mathrm {f}} + \ omega _ {\ mathrm {i}}) t}$$

$${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {f}} ^ {2} = \ omega _ {\ mathrm {i}} ^ {2} +2 \ alpha (\ theta _ {\ mathrm {f}} - \ theta _ {\ mathrm {i}}).}$$

Здесь θ _i и θ _f - соответственно начальное и конечное угловые положения, ω _i и ω _f - соответственно начальная и конечная угловые скорости, а α - постоянное угловое ускорение. Хотя положение в пространстве и скорость в пространстве являются истинными векторами (с точки зрения их свойств при вращении), как и угловая скорость, сам угол не является истинным вектором.

Точечные траектории движения тела в трех измерениях

Важные формулы кинематики определяют скорость и ускорение точек движущегося тела, когда они отслеживают траектории в трехмерном пространстве. Это особенно важно для центра масс тела, который используется для вывода уравнений движения с использованием второго закона Ньютона или уравнений Лагранжа .

Позиция

Чтобы определить эти формулы, движение компонента B механической системы определяется набором вращений [A ( t )] и перемещений d ( t ), собранных в однородное преобразование [T ( t )] = [A ( t ), d ( t )]. Если p - координаты точки P в B, измеренные в движущейся системе отсчета M , то траектория этой точки, отслеживаемая в F , задается следующим образом:

$${\ Displaystyle \ mathbf {P} (t) = [T (t)] \ mathbf {p} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {P} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} } A (t) & \ mathbf {d} (t) \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {p} \\ 1 \ end {bmatrix}}.}.$$

Это уравнение для траектории P можно инвертировать, чтобы вычислить вектор координат p в M как:

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = [T (t)] ^ {- 1} \ mathbf {P} (t) = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {p} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A (t) ^ {T} & - A (t) ^ {T} \ mathbf {d} (t) \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf { P} (t) \\ 1 \ end {bmatrix}}.}$$

$${\ Displaystyle [A (t)] ^ {T} [A (t)] = I. \!}$$

Скорость

Скорость точки P вдоль ее траектории P ( t ) получается как производная по времени от этого вектора положения,

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = [{\ dot {T}} (t)] \ mathbf {p} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {v} _ {P} \\ 0 \ конец {bmatrix}} = \ left ({\ frac {d} {dt}} {\ begin {bmatrix} A (t) & \ mathbf {d} (t) \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ right) {\ begin {bmatrix} \ mathbf {p} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dot {A}} (t) & {\ dot {\ mathbf {d}}} ( t) \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {p} \\ 1 \ end {bmatrix}}.}$$

Эта формула может быть изменена , чтобы получить скорость Р при работе на своей траектории Р ( т ) , измеренной в неподвижной раме F . Подставляя обратное преобразование для p в уравнение скорости, получаем:

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} _ {P} & = [{\ dot {T}} (t)] [T (t)] ^ {- 1} \ mathbf {P} (t ) \\ [4pt] & = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {v} _ {P} \\ 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dot {A}} & {\ dot {\ mathbf {d}}} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} A & \ mathbf {d} \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {P} (t) \\ 1 \ end {bmatrix}} \\ [4pt] & = {\ begin {bmatrix} {\ dot {A}} & {\ dot {\ mathbf {d}}} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} A ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} 1 & - \ mathbf {d} \\ 0 & A \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {P} (t) \ \ 1 \ end {bmatrix}} \\ [4pt] & = {\ begin {bmatrix} {\ dot {A}} A ^ {- 1} & - {\ dot {A}} A ^ {- 1} \ mathbf {d} + {\ dot {\ mathbf {d}}} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {P} (t) \\ 1 \ end {bmatrix}} \\ [4pt] & = {\ begin {bmatrix} {\ dot {A}} A ^ {T} & - {\ dot {A}} A ^ {T} \ mathbf {d} + {\ dot {\ mathbf { d}}} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {P} (t) \\ 1 \ end {bmatrix}} \\ [6pt] \ mathbf {v} _ {P} & = [S] \ mathbf {P}. \ End {выравнивается}}}$$

$${\ displaystyle [S] = {\ begin {bmatrix} \ Omega & - \ Omega \ mathbf {d} + {\ dot {\ mathbf {d}}} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$$

$${\ displaystyle [\ Omega] = {\ точка {A}} A ^ {T},}$$

Умножая на оператор [ S ], формула для скорости v _P принимает вид:

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = [\ Omega] (\ mathbf {P} - \ mathbf {d}) + {\ dot {\ mathbf {d}}} = \ omega \ times \ mathbf { R} _ {P / O} + \ mathbf {v} _ {O},}$$

$${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {P / O} = \ mathbf {P} - \ mathbf {d},}$$

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O} = {\ dot {\ mathbf {d}}},}$$

Ускорение

Ускорение точки P в движущемся теле B получается как производная по времени от его вектора скорости:

$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {v} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} \ left ([S] \ mathbf {P} \ right) = [{\ dot {S}}] \ mathbf {P} + [S] {\ dot {\ mathbf {P}}} = [{\ dot {S}}] \ mathbf { P} + [S] [S] \ mathbf {P}.}$$

Это уравнение можно сначала расширить, вычислив

$${\ displaystyle [{\ dot {S}}] = {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ Omega}} & - {\ dot {\ Omega}} \ mathbf {d} - \ Omega {\ dot {\ mathbf {d}}} + {\ ddot {\ mathbf {d}}} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ Omega}} & - {\ dot {\ Omega }} \ mathbf {d} - \ Omega \ mathbf {v} _ {O} + \ mathbf {A} _ {O} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$$

$${\ displaystyle [S] ^ {2} = {\ begin {bmatrix} \ Omega & - \ Omega \ mathbf {d} + \ mathbf {v} _ {O} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} ^ {2 } = {\ begin {bmatrix} \ Omega ^ {2} & - \ Omega ^ {2} \ mathbf {d} + \ Omega \ mathbf {v} _ {O} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}.}$$

Формула для ускорения A _P теперь может быть получена как:

$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = {\ dot {\ Omega}} (\ mathbf {P} - \ mathbf {d}) + \ mathbf {A} _ {O} + \ Omega ^ {2 } (\ mathbf {P} - \ mathbf {d}),}$$

$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = \ alpha \ times \ mathbf {R} _ {P / O} + \ omega \ times \ omega \ times \ mathbf {R} _ {P / O} + \ mathbf {A} _ {O},}$$

$${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {P / O} = \ mathbf {P} - \ mathbf {d},}$$

$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {O} = {\ ddot {\ mathbf {d}}}}$$

Кинематические ограничения

Кинематические ограничения - это ограничения на движение компонентов механической системы. Можно считать, что кинематические ограничения имеют две основные формы: (i) ограничения, которые возникают из шарниров, ползунов и кулачковых соединений, которые определяют конструкцию системы, называемые голономными связями , и (ii) ограничения, накладываемые на скорость системы, такие как ограничение лезвия коньков на плоской плоскости или катание без проскальзывания диска или сферы в контакте с плоскостью, которые называются неголономными связями . Ниже приведены некоторые общие примеры.

Кинематическая муфта

Кинематическая муфта точно ограничивает все 6 степеней свободы.

Катится без скольжения

Объект, который катится по поверхности без скольжения, подчиняется условию, что скорость его центра масс равна произведению его угловой скорости на вектор от точки контакта к центру масс:

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {G} (t) = {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times {\ boldsymbol {r}} _ {G / O}.}$$

В случае объекта, который не наклоняется и не поворачивается, это сокращается до . ${\ displaystyle v = r \ omega}$

Неэластичный шнур

Это тот случай, когда тела связаны идеализированным шнуром, который остается натянутым и не может менять длину. Ограничение состоит в том, что сумма длин всех сегментов шнура равна общей длине, и, соответственно, производная по времени этой суммы равна нулю. Динамическая задача этого типа - маятник . Другой пример - барабан, который вращается под действием силы тяжести при падающем грузе, прикрепленном к ободу нерастяжимым шнуром. Задачей равновесия (т.е. не кинематической) этого типа является цепная связь .

Кинематические пары

Рило назвал идеальные связи между компонентами, образующими в машине кинематические пары . Он проводил различие между более высокими парами, которые, как утверждается, имеют линейный контакт между двумя звеньями, и нижними парами, которые имеют контакт по площади между звеньями. Дж. Филлипс показывает, что существует множество способов построения пар, которые не подходят для этой простой классификации.

Нижняя пара

Нижняя пара представляет собой идеальное соединение или голономную связь, которая поддерживает контакт между точкой, линией или плоскостью в движущемся твердом (трехмерном) теле с соответствующей точечной линией или плоскостью в неподвижном твердом теле. Возможны следующие случаи:

• Поворотная пара или шарнирное соединение требует, чтобы линия или ось в движущемся теле оставалась коллинеарной с линией в неподвижном теле, а плоскость, перпендикулярная этой линии в движущемся теле, поддерживала контакт с аналогичной перпендикулярной плоскостью. в неподвижном теле. Это накладывает пять ограничений на относительное движение звеньев, которое, следовательно, имеет одну степень свободы, которая представляет собой чистое вращение вокруг оси шарнира.
• Призматический шарнир или ползун требует, чтобы линия или ось в движущемся теле оставалась коллинеарной с линией в неподвижном теле, а плоскость, параллельная этой линии в движущемся теле, поддерживала контакт с аналогичной параллельной плоскостью в движущемся теле. фиксированное тело. Это накладывает пять ограничений на относительное движение звеньев, которое, следовательно, имеет одну степень свободы. Эта степень свободы представляет собой расстояние скольжения по линии.
• Цилиндрическое соединение требует, чтобы линия или ось в движущемся теле оставалась коллинеарной с линией в неподвижном теле. Это комбинация поворотного и скользящего шарниров. Этот сустав имеет две степени свободы. Положение движущегося тела определяется как вращением вокруг, так и скольжением вдоль оси.
• Сферический шарнир или шаровой шарнир требует, чтобы точка в движущемся теле поддерживала контакт с точкой в ​​неподвижном теле. Этот сустав имеет три степени свободы.
• Плоское соединение требует, чтобы плоскость движущегося тела поддерживала контакт с плоскостью неподвижного тела. Этот сустав имеет три степени свободы.

Высшие пары

Вообще говоря, пара более высокого уровня - это ограничение, которое требует, чтобы кривая или поверхность в движущемся теле сохраняла контакт с кривой или поверхностью в неподвижном теле. Например, контакт между кулачком и его толкателем представляет собой более высокую пару, называемую кулачковым шарниром . Точно так же контакт между эвольвентными кривыми, которые образуют зубья зацепления двух шестерен, представляют собой кулачковые соединения.

Кинематические цепи

Иллюстрация четырехзвенной связи из http://en.wikisource.org/wiki/The_Kinematics_of_Machinery Kinematics of Machinery, 1876 г.

Жесткие тела («звенья»), соединенные кинематическими парами («шарнирами»), известны как кинематические цепи . Механизмы и роботы являются примерами кинематических цепей. Степень свободы кинематической цепи вычисляется из числа звеньев и количества и типа соединений , используя формулу мобильности . Эта формула также может использоваться для перечисления топологий кинематических цепей, которые имеют заданную степень свободы, что в машиностроении известно как синтез типов .

Примеры

Плоские одной степени свободы из- связей , собранные из N звеньев и J шарниров или скользящих соединений являются:

• N = 2, j = 1: двухзвенная навеска - рычаг;
• N = 4, j = 4: четырехзвенная навеска ;
• N = 6, j = 7: шестиконечная навеска . Он должен иметь две связи («тройные связи»), которые поддерживают три сустава. Есть две различные топологии, которые зависят от того, как связаны две тройные связи. В топологии Ватта два тройных звена имеют общий стык; в топологии Стефенсона две тройные связи не имеют общего соединения и связаны двоичными связями.
• N = 8, j = 10: восьмизвенная связь с 16 различными топологиями;
• N = 10, j = 13: связь с десятью стержнями с 230 различными топологиями;
• N = 12, j = 16: связь с двенадцатью стержнями с 6 856 топологиями.

Для более крупных цепей и их топологий связей см. RP Sunkari и LC Schmidt, «Структурный синтез плоских кинематических цепей путем адаптации алгоритма типа Маккея», Mechanism and Machine Theory # 41, pp. 1021–1030 (2006).

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

• Koetsier, Teun (1994), «§8.3 Кинематика», в Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , 2 , Routledge , pp. 994–1001, ISBN 0-415-09239-6
• Луна, Фрэнсис К. (2007). Машины Леонардо да Винчи и Франца Рило, кинематика машин от Возрождения до 20 века . Springer. ISBN 978-1-4020-5598-0.
• Эдуард Этюд (1913), переводчик Д.Х. Дельфениха, "Основы и цели аналитической кинематики" .

внешние ссылки

• Java-апплет одномерной кинематики
• Physclips: Механика с анимацией и видеоклипами от Университета Нового Южного Уэльса.
• Цифровая библиотека кинематических моделей для проектирования (KMODDL) , в которой представлены фильмы и фотографии сотен работающих моделей механических систем в Корнельском университете, а также библиотека электронных книг с классическими текстами по машиностроению и проектированию.
• Микродюймовое позиционирование с кинематическими компонентами