Процесс Орнштейна – Уленбека - Ornstein–Uhlenbeck process

Моделирование с θ = 1.0, σ = 3 и μ = (0, 0). Изначально в положении (10, 10) частица стремится переместиться в центральную точку μ .

Трехмерное моделирование с θ = 1.0, σ = 3, μ = (0, 0, 0) и начальным положением (10, 10, 10).

В математике процесс Орнштейна – Уленбека - это случайный процесс, имеющий приложения в финансовой математике и физических науках. Его первоначальное применение в физике было в качестве модели скорости массивной броуновской частицы под действием трения. Он назван в честь Леонарда Орнштейна и Джорджа Юджина Уленбека .

Процесс Орнштейна – Уленбека - это стационарный процесс Гаусса – Маркова , что означает, что это гауссовский процесс , марковский процесс , однородный во времени. Фактически, это единственный нетривиальный процесс, который удовлетворяет этим трем условиям, вплоть до разрешения линейных преобразований пространственных и временных переменных. Со временем процесс имеет тенденцию дрейфовать к своей средней функции: такой процесс называется возвратом к среднему .

Этот процесс можно рассматривать как модификацию случайного блуждания в непрерывном времени или винеровского процесса , в котором свойства процесса были изменены таким образом, что блуждание имеет тенденцию возвращаться к центральному месту с большее притяжение, когда процесс находится дальше от центра. Процесс Орнштейна – Уленбека также можно рассматривать как непрерывный аналог процесса AR (1) с дискретным временем .

Определение

Упрощенная формула процесса Орнштейна – Уленбека из фрески, показанной ниже.

Коллектив голландских художников De Strakke Hand: фреска Леонарда Орнштейна, изображающая Орнштейна как соучредителя Голландского физического общества ( Нидерландского физического общества ) за своим столом в 1921 году и дважды иллюстрирующая случайное блуждание пьяницы с упрощенной формулой Орнштейна-Уленбека процесс. Оостеркаде, Утрехт, Нидерланды, недалеко от лаборатории Орнштейна. Переведенный текст: Профессор Орнштейн исследует случайное движение 1930.

Процесс Орнштейна – Уленбека определяется следующим стохастическим дифференциальным уравнением : ${\ displaystyle x_ {t}}$

${\ displaystyle dx_ {t} = - \ theta \, x_ {t} \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$

где и - параметры, а обозначает винеровский процесс . ${\ displaystyle \ theta> 0}$${\ displaystyle \ sigma> 0}$${\ displaystyle W_ {t}}$

Иногда добавляется дополнительный термин дрейфа:

${\ displaystyle dx_ {t} = \ theta (\ mu -x_ {t}) \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$

где - постоянная. В финансовой математике это также известно как модель Васичека . ${\ displaystyle \ mu}$

Процесс Орнштейна – Уленбека иногда также записывают как уравнение Ланжевена вида

${\ displaystyle {\ frac {dx_ {t}} {dt}} = - \ theta \, x_ {t} + \ sigma \, \ eta (t)}$

где , также известный как белый шум , обозначает предполагаемую производную винеровского процесса. Однако не существует, потому что винеровский процесс нигде не дифференцируем, и поэтому уравнение Ланжевена, строго говоря, является только эвристическим. В физике и инженерных дисциплинах это обычное представление для процесса Орнштейна – Уленбека и подобных стохастических дифференциальных уравнений, подразумевающее, что шумовой член является производной дифференцируемой (например, Фурье) интерполяции винеровского процесса. ${\ Displaystyle \ eta (т)}$${\ displaystyle dW_ {t} / dt}$${\ displaystyle dW_ {t} / dt}$

Представление уравнения Фоккера – Планка.

Процесс Орнштейна – Уленбека также можно описать в терминах функции плотности вероятности, которая определяет вероятность обнаружения процесса в состоянии в момент времени . Эта функция удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка${\ Displaystyle Р (х, т)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial P} {\ partial t}} = \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (xP) + D {\ frac {\ partial ^ {2} P} {\ partial x ^ {2}}}}$

где . Это линейное параболическое уравнение в частных производных, которое может быть решено различными методами. Вероятность перехода, также известная как функция Грина , является гауссовой функцией со средним значением и дисперсией : ${\ Displaystyle D = \ sigma ^ {2} / 2}$${\ Displaystyle Р (х, т \ середина х ', т')}$${\ Displaystyle x'e ^ {- \ theta (т-т ')}}$${\ displaystyle {\ frac {D} {\ theta}} \ left (1-e ^ {- 2 \ theta (t-t ')} \ right)}$

${\ Displaystyle Р (х, т \ середина х ', т') = {\ sqrt {\ гидроразрыва {\ тета} {2 \ пи D (1-е ^ {- 2 \ тета (т-т ')}) }}} \ exp \ left [- {\ frac {\ theta} {2D}} {\ frac {(x-x'e ^ {- \ theta (t-t ')}) ^ {2}} {1 -e ^ {- 2 \ theta (t-t ')}}} \ right]}$

Это дает вероятность возникновения состояния в данный момент времени при заданном начальном состоянии во времени . Эквивалентно, это решение уравнения Фоккера-Планка с начальным условием . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x '}$${\ Displaystyle т '<т}$${\ Displaystyle Р (х, т \ середина х ', т')}$${\ Displaystyle Р (х, т ') = \ дельта (х-х')}$

Математические свойства

Предполагая, что это константа, среднее значение равно ${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle \ operatorname {\ mathbb {E}} (x_ {t}) = x_ {0} e ^ {- \ theta t} + \ mu (1-e ^ {- \ theta t})}$

и ковариации является

${\ displaystyle \ operatorname {cov} (x_ {s}, x_ {t}) = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ theta}} \ left (e ^ {- \ theta | ts |} -e ^ {- \ theta (t + s)} \ right)}$

Процесс Орнштейна – Уленбека является примером гауссовского процесса, который имеет ограниченную дисперсию и допускает стационарное распределение вероятностей , в отличие от винеровского процесса ; разница между ними заключается в их «дрейфующем» термине. Для винеровского процесса член дрейфа постоянен, тогда как для процесса Орнштейна – Уленбека он зависит от текущего значения процесса: если текущее значение процесса меньше (долгосрочного) среднего, дрейф будет положительный; если текущее значение процесса больше, чем (долгосрочное) среднее значение, дрейф будет отрицательным. Другими словами, среднее значение действует как уровень равновесия для процесса. Это дает процессу его информативное название «возврат к среднему».

Свойства образцов путей

Однородный во времени процесс Орнштейна – Уленбека можно представить как масштабированный, преобразованный во времени винеровский процесс :

${\ displaystyle x_ {t} = {\ frac {\ sigma} {\ sqrt {2 \ theta}}} e ^ {- \ theta t} W_ {e ^ {2 \ theta t}}}$

где - стандартный винеровский процесс. Это примерно теорема 1.2 дюйма. Эквивалентно, при замене переменной это становится ${\ displaystyle W_ {t}}$${\ displaystyle s = e ^ {2 \ theta t}}$

${\ displaystyle W_ {s} = {\ frac {\ sqrt {2 \ theta}} {\ sigma}} s ^ {1/2} x _ {(\ ln s) / (2 \ theta)}, \ qquad s > 0}$

Используя это отображение, можно преобразовать известные свойства в соответствующие операторы для . Например, закон повторного логарифма для принимает вид ${\ displaystyle W_ {t}}$${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle W_ {t}}$

${\ displaystyle \ limsup _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {x_ {t}} {\ sqrt {(\ sigma ^ {2} / \ theta) \ ln t}}} = 1, \ quad {\ текст {с вероятностью 1.}}}$

Формальное решение

Стохастическое дифференциальное уравнение для формально может быть решено путем варьирования параметров . Пишу ${\ displaystyle x_ {t}}$

${\ Displaystyle е (х_ {т}, т) = х_ {т} е ^ {\ тета т} \,}$

мы получаем

${\ Displaystyle {\ begin {align} df (x_ {t}, t) & = \ theta \, x_ {t} \, e ^ {\ theta t} \, dt + e ^ {\ theta t} \, dx_ {t} \\ [6pt] & = e ^ {\ theta t} \ theta \, \ mu \, dt + \ sigma \, e ^ {\ theta t} \, dW_ {t}. \ end {выровнено} }}$

Интегрируя из в, мы получаем ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle x_ {t} e ^ {\ theta t} = x_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ theta s} \ theta \, \ mu \, ds + \ int _ { 0} ^ {t} \ sigma \, e ^ {\ theta s} \, dW_ {s} \,}$

после чего мы видим

${\ displaystyle x_ {t} = x_ {0} \, e ^ {- \ theta t} + \ mu \, (1-e ^ {- \ theta t}) + \ sigma \ int _ {0} ^ { t} e ^ {- \ theta (ts)} \, dW_ {s}. \,}$

Из этого представления показано, что первый момент (т.е. среднее значение) равен

${\ displaystyle \ operatorname {E} (x_ {t}) = x_ {0} e ^ {- \ theta t} + \ mu (1-e ^ {- \ theta t}) \! \}$

предполагая постоянный. Более того, изометрия Itō может быть использована для вычисления ковариационной функции по формуле${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {cov} (x_ {s}, x_ {t}) & = \ operatorname {E} [(x_ {s} - \ operatorname {E} [x_ {s}] ) (x_ {t} - \ operatorname {E} [x_ {t}])] \\ [5pt] & = \ operatorname {E} \ left [\ int _ {0} ^ {s} \ sigma e ^ { \ theta (us)} \, dW_ {u} \ int _ {0} ^ {t} \ sigma e ^ {\ theta (vt)} \, dW_ {v} \ right] \\ [5pt] & = \ sigma ^ {2} e ^ {- \ theta (s + t)} \ operatorname {E} \ left [\ int _ {0} ^ {s} e ^ {\ theta u} \, dW_ {u} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ theta v} \, dW_ {v} \ right] \\ [5pt] & = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ theta}} \, e ^ {- \ theta (s + t)} (e ^ {2 \ theta \ min (s, t)} - ​​1) \\ [5pt] & = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ theta}} \ left (e ^ {- \ theta | ts |} -e ^ {- \ theta (t + s)} \ right). \ end {align}}}$

Поскольку интеграл Ито от детерминированного подынтегрального выражения имеет нормальное распределение, мы легко имеем

${\ displaystyle x_ {t} = x_ {0} e ^ {- \ theta t} + \ mu (1-e ^ {- \ theta t}) + {\ frac {\ sigma} {\ sqrt {2 \ theta} }}} e ^ {- \ theta t} W_ {e ^ {2 \ theta t} -1}}$

Числовая выборка

При использовании дискретно выбранных данных на временных интервалах шириной , оценки максимального правдоподобия для параметров процесса Орнштейна – Уленбека являются асимптотически нормальными по отношению к их истинным значениям. Точнее, ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ left ({\ begin {pmatrix} {\ widehat {\ theta}} _ {n} \\ {\ widehat {\ mu}} _ {n} \\ {\ widehat {\ sigma}} _ {n} \ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} \ theta \\\ mu \\\ sigma \ end {pmatrix}} \ right) {\ xrightarrow {d}} \ { \ mathcal {N}} \ left ({\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} {\ frac {e ^ {2t \ theta} -1} { t ^ {2}}} & 0 & {\ frac {\ sigma ^ {2} (e ^ {2t \ theta} -1-2t \ theta)} {t ^ {2} \ theta}} \\ 0 & {\ frac {\ sigma ^ {2} \ left (e ^ {t \ theta} +1 \ right)} {2 \ left (e ^ {t \ theta} -1 \ right) \ theta}} & 0 \\ {\ frac {\ sigma ^ {2} (e ^ {2t \ theta} -1-2t \ theta)} {t ^ {2} \ theta}} & 0 & {\ frac {\ sigma ^ {4} \ left [\ left ( e ^ {2t \ theta} -1 \ right) ^ {2} + 2t ^ {2} \ theta ^ {2} \ left (e ^ {2t \ theta} +1 \ right) + 4t \ theta \ left ( e ^ {2t \ theta} -1 \ right) \ right]} {t ^ {2} \ left (e ^ {2t \ theta} -1 \ right) \ theta ^ {2}}} \ end {pmatrix} }\Правильно)}$

три выборочных пути различных OU-процессов с θ  = 1, μ  = 1,2, σ  = 0,3:
синий : начальное значение a  = 0 ( as )
зеленый : начальное значение a  = 2 (as)
красный : начальное значение нормально распределено, так что процесс имеет инвариантную меру

Интерпретация предела масштабирования

Процесс Орнштейна – Уленбека можно интерпретировать как масштабный предел дискретного процесса, точно так же, как броуновское движение является масштабным пределом случайных блужданий . Рассмотрим урну с синими и желтыми шарами. На каждом шаге случайным образом выбирается шар и заменяется шаром противоположного цвета. Позвольте быть количеством синих шаров в урне после шагов. Затем сходится по закону к процессу Орнштейна – Уленбека, поскольку стремится к бесконечности. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ frac {X _ {[nt]} - n / 2} {\ sqrt {n}}}}$${\ displaystyle n}$

Приложения

По физическим наукам

Процесс Орнштейна – Уленбека является прототипом зашумленного процесса релаксации . Рассмотрим, например, пружину Гука с жесткостью пружины , динамика которой сильно демпфируется с коэффициентом трения . При наличии тепловых колебаний с температурой длина пружины будет стохастически колебаться вокруг длины опоры пружины ; его стохастическая динамика описывается процессом Орнштейна – Уленбека с: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle х (т)}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ theta & = k / \ gamma, \\\ mu & = x_ {0}, \\\ sigma & = {\ sqrt {2k_ {B} T / \ gamma}}, \ конец {выровнено}}}$

где получено из уравнения Стокса – Эйнштейна для эффективной постоянной диффузии. ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle D = \ sigma ^ {2} / 2 = k_ {B} T / \ gamma}$

В физических науках стохастическое дифференциальное уравнение процесса Орнштейна – Уленбека переписывается как уравнение Ланжевена

${\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = - {\ frac {k} {\ gamma}} (x (t) -x_ {0}) + \ xi (t)}$

где это белый гауссов шум с флуктуациями соотносятся как ${\ Displaystyle \ xi (т)}$${\ Displaystyle \ langle \ xi (t_ {1}) \ xi (t_ {2}) \ rangle = 2k_ {B} T / \ gamma \, \ delta (t_ {1} -t_ {2}).}$

${\ displaystyle \ langle (x (t_ {0}) - x_ {0}) (x (t_ {0} + t) -x_ {0}) \ rangle = {\ frac {k_ {B} T} {k }} \ exp (- | t | / \ tau)}$

со временем корреляции . ${\ Displaystyle \ тау = \ гамма / к}$

В состоянии равновесия пружина накапливает среднюю энергию в соответствии с теоремой о равнораспределении . ${\ displaystyle \ langle E \ rangle = k \ langle (x-x_ {0}) ^ {2} \ rangle / 2 = k_ {B} T / 2}$

В финансовой математике

Процесс Орнштейна – Уленбека - один из нескольких подходов, используемых для стохастического моделирования (с модификациями) процентных ставок, обменных курсов валют и цен на сырьевые товары. Параметр представляет собой равновесное или среднее значение, поддерживаемое фундаментальными показателями ; степень волатильности вокруг нее, вызванной шоками , и скорость, с которой эти шоки рассеиваются, и переменная возвращается к среднему значению. Одним из применений этого процесса является торговая стратегия, известная как парная торговля . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ theta}$

В эволюционной биологии

Процесс Орнштейна-Уленбека был предложен как усовершенствование модели броуновского движения для моделирования изменения фенотипов организма с течением времени. Модель броуновского движения подразумевает, что фенотип может двигаться без ограничений, тогда как для большинства фенотипов естественный отбор требует слишком большого продвижения в любом направлении. Мета-анализ 250 временных рядов фенотипа окаменелостей показал, что модель Орнштейна-Уленбека лучше всего подходит для 115 (46%) исследованных временных рядов, поддерживая застой как общий эволюционный паттерн.

Обобщения

Можно распространить процессы Орнштейна – Уленбека на процессы, в которых фоновым движущим процессом является процесс Леви (вместо простого броуновского движения).

Кроме того, в финансах используются стохастические процессы, в которых волатильность увеличивается при больших значениях . В частности, процесс CKLS (Чан – Кароли – Лонгстафф – Сандерс) с заменой члена летучести на может быть решен в закрытой форме как для , так и для , что соответствует традиционному процессу OU. Другой частный случай - это модель Кокса – Ингерсолла – Росса (CIR-модель). ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ сигма \, х ^ {\ гамма} \, dW_ {т}}$${\ displaystyle \ gamma = 1}$${\ displaystyle \ gamma = 0}$${\ displaystyle \ gamma = 1/2}$

Высшие измерения

Многомерная версия процесса Орнштейна – Уленбека, обозначаемая N -мерным вектором , может быть определена следующим образом: ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {t}}$

${\ displaystyle d \ mathbf {x} _ {t} = - {\ boldsymbol {\ beta}} \, \ mathbf {x} _ {t} \, dt + {\ boldsymbol {\ sigma}} \, d \ mathbf {W} _ {t}.}$

где - N -мерный винеровский процесс, и - постоянные матрицы размера N × N. Решение ${\ displaystyle \ mathbf {W} _ {t}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {t} = e ^ {- {\ boldsymbol {\ beta}} t} \ mathbf {x} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} e ^ { - {\ boldsymbol {\ beta}} (t-t ')} {\ boldsymbol {\ sigma}} \, d \ mathbf {W} _ {t'}}$

и среднее значение

${\ displaystyle \ operatorname {E} (\ mathbf {x} _ {t}) = e ^ {- {\ boldsymbol {\ beta}} t} \ operatorname {E} (\ mathbf {x} _ {0}) .}$

Обратите внимание, что в этих выражениях используется экспоненциальная матрица .

Процесс также можно описать с помощью функции плотности вероятности , которая удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка ${\ Displaystyle Р (\ mathbf {х}, т)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial P} {\ partial t}} = \ sum _ {i, j} \ beta _ {ij} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} (x_ {j} P) + \ sum _ {i, j} D_ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} P} {\ partial x_ {i} \, \ partial x_ {j}}}.}$

где матрица с компонентами определяется как . Что касается 1d случая, процесс представляет собой линейное преобразование гауссовских случайных величин и, следовательно, сам должен быть гауссовским. Из-за этого вероятность перехода является гауссовой, которая может быть записана явно. Если действительные части собственных значений больше нуля, кроме того, существует стационарное решение , задаваемое формулой ${\ displaystyle {\ boldsymbol {D}}}$${\ displaystyle D_ {ij}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {D}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} / 2}$${\ Displaystyle P (\ mathbf {x}, т \ mid \ mathbf {x} ', t')}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$${\ Displaystyle Р _ {\ текст {st}} (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle P _ {\ text {st}} (\ mathbf {x}) = (2 \ pi) ^ {- N / 2} (\ det {\ boldsymbol {\ omega}}) ^ {- 1/2} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {T} {\ boldsymbol {\ omega}} ^ {- 1} \ mathbf {x} \ right)}$

где матрица определяется из уравнения Ляпунова . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ boldsymbol {\ omega}} {\ boldsymbol {\ beta}} ^ {T} = 2 {\ boldsymbol {D}}}$

Смотрите также

• Стохастическое исчисление
• Винеровский процесс
• Гауссовский процесс
• Математические финансы
• Vasicek модель из процентных ставок
• Краткосрочная модель
• Диффузия
• Теорема флуктуации-диссипации

Примечания

использованная литература

• Bibbona, E .; Панфило, Г .; Тавелла, П. (2008). «Процесс Орнштейна-Уленбека как модель белого шума, прошедшего фильтр нижних частот». Метрология . 45 (6): S117 – S126. Bibcode : 2008Metro..45S.117B . DOI : 10.1088 / 0026-1394 / 45/6 / S17 . hdl : 2318/58227 .
• Чан, KC; Кароли, Джорджия; Лонгстафф, Ф.А.; Сандерс, А.Б. (1992). «Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки» . Журнал финансов . 47 (3): 1209–1227. DOI : 10.1111 / j.1540-6261.1992.tb04011.x .
• Дуб, JL (апрель 1942 г.). «Броуновское движение и стохастические уравнения». Анналы математики . 43 (2): 351–369. DOI : 10.2307 / 1968873 . JSTOR  1968873 .
• Гиллеспи, Д. Т. (1996). «Точное численное моделирование процесса Орнштейна – Уленбека и его интеграла» . Phys. Rev. E . 54 (2): 2084–2091. Bibcode : 1996PhRvE..54.2084G . DOI : 10.1103 / PhysRevE.54.2084 . PMID  9965289 .
• Люнг, Тим; Ли, Синь (2015). «Торговля с оптимальным возвратом к среднему с транзакционными издержками и выходом по стоп-лоссу». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 18 (3): 1550020. arXiv : 1411.5062 . DOI : 10.1142 / S021902491550020X .
• Рискен, Х. (1989). Уравнение Фоккера – Планка: метод решения и приложения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387504988.
• Уленбек, GE; Орнштейн, LS (1930). «К теории броуновского движения». Phys. Ред . 36 (5): 823–841. Bibcode : 1930PhRv ... 36..823U . DOI : 10.1103 / PhysRev.36.823 .
• Мартинс, EP (1994). «Оценка скорости фенотипической эволюции по сравнительным данным». Амер. Nat . 144 (2): 193–209. DOI : 10.1086 / 285670 . S2CID  85300707 .

внешние ссылки

• Инструментарий стохастических процессов для управления рисками , Дамиано Бриго, Антонио Далессандро, Маттиас Нойгебауэр и Фарес Трики
• Моделирование и калибровка процесса Орнштейна – Уленбека , М.А. ван ден Берг
• Оценка максимального правдоподобия процессов возврата к среднему , Хосе Карлос Гарсиа Франко
• «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах» . Архивировано из оригинала на 2015-09-20 . Проверено 3 июля 2015 .