Леви процесс - Lévy process
В теории вероятностей , процесс Левите , названный в честь французского математика Пола Леви , является случайным процессом с независимыми, стационарными приращениями: он представляет собой движение точки, последовательные перемещения являются случайными , в котором смещение в интервалах времени попарно непересекающихся независимо, а смещения в разные временные интервалы одинаковой длины имеют идентичные распределения вероятностей. Таким образом, процесс Леви можно рассматривать как непрерывный аналог случайного блуждания .
Наиболее известными примерами процессов Леви являются винеровский процесс , часто называемый процессом броуновского движения , и процесс Пуассона . Другие важные примеры включают процесс гамма, процесс Паскаля и процесс Мейкснера. За исключением броуновского движения со сносом, все остальные собственные (то есть недетерминированные) процессы Леви имеют разрывные траектории. Все процессы Леви являются аддитивными .
Математическое определение
Стохастический процесс называется процесс Леви , если она удовлетворяет следующим свойствам:
- почти наверняка ;
- Независимость приращений : Для любого,взаимно независимы ;
- Стационарные приращения: Для любого , равно по распределению
- Непрерывность в вероятности: для любого, и он считает, что
Если это процесс Lévy , то можно построить версию таким образом, что это почти наверняка непрерывна справа с левыми пределами .
Характеристики
Независимые приращения
Стохастический процесс с непрерывным временем присваивает случайную величину X t каждой точке t ≥ 0 во времени. Фактически это случайная функция от t . В приращения такого процесса являются различия Х S - X т между его значениями в разное время т < з . Назвать приращения процесса независимыми означает, что приращения X s - X t и X u - X v являются независимыми случайными величинами всякий раз, когда два временных интервала не перекрываются, и, в более общем смысле, любое конечное число приращений, назначенных для попарного неперекрытия. временные интервалы взаимно (а не попарно ) независимы.
Стационарные приращения
Назвать приращения стационарным означает, что распределение вероятностей любого приращения X t - X s зависит только от длины t - s временного интервала; приращения на одинаково длительные интервалы времени распределяются одинаково.
Если это винеровский процесс , распределение вероятностей X t - X s является нормальным с ожидаемым значением 0 и дисперсией t - s .
Если это процесс Пуассона , распределение вероятностей X t - X s является распределением Пуассона с ожидаемым значением λ ( t - s ), где λ> 0 - «интенсивность» или «скорость» процесса.
Бесконечная делимость
Распределение процесса Леви обладает свойством бесконечной делимости : дано любое целое число п , то закон процесса Леви в момент времени T может быть представлен как закон п независимых случайных величин, которые являются в точности приращения процесса Леви с течением времени интервалы длины t / n, которые независимы и одинаково распределены согласно предположениям 2 и 3. И наоборот, для каждого бесконечно делимого распределения вероятностей существует процесс Леви , для которого закон задается формулой .
Моменты
В любом процессе Lévy с конечными моментами , то п - й момент , является полиномиальной функцией от т ; эти функции удовлетворяют биномиальному тождеству :
Представление Леви – Хинчина
Распределение процесса Леви характеризуется его характеристической функцией , которая задается формулой Леви – Хинчина (общей для всех безгранично делимых распределений ):
Если - процесс Леви, то его характеристическая функция определяется выражением
где , и является σ -конечной мера называется Lévy мера из , удовлетворяющих свойству
В приведенном выше описании , является функцией индикатора . Поскольку характеристические функции однозначно определяют лежащие в их основе распределения вероятностей, каждый процесс Леви однозначно определяется «тройкой Леви – Хинчина» . Члены этого триплета предполагают, что процесс Леви можно рассматривать как имеющий три независимых компонента: линейный дрейф, броуновское движение и процесс скачка Леви, как описано ниже. Отсюда сразу получается, что единственный (недетерминированный) непрерывный процесс Леви - это броуновское движение со сносом; аналогично каждый процесс Леви является семимартингалом .
Разложение Леви – Ито
Поскольку характеристические функции независимых случайных величин умножаются, теорема Леви – Хинчина предполагает, что каждый процесс Леви представляет собой сумму броуновского движения со сносом и другой независимой случайной величины, скачкообразного процесса Леви. Разложение Леви – Ито описывает последнее как (стохастическую) сумму независимых пуассоновских случайных величин.
Пусть - то есть ограничение на , перенормированное на вероятностную меру; аналогично пусть (но не масштабируется). потом
Первый является характерной функцией составного пуассоновского процесса с интенсивностью и дочерним распределением . Последний представляет собой компенсированный обобщенный пуассоновский процесс (CGPP): процесс со счетным количеством скачкообразных разрывов на каждом интервале as , но такой, что эти разрывы имеют величину меньше . Если , то CGPP - это чистый скачкообразный процесс .
Обобщение
Случайное поле Леви - это многомерное обобщение процесса Леви. Еще более общими являются разложимые процессы.
Смотрите также
- Независимые и одинаково распределенные случайные величины
- Винеровский процесс
- Пуассоновский процесс
- Гамма-процесс
- Марковский процесс
- Леви рейс
использованная литература
- Эпплбаум, Дэвид (декабрь 2004 г.). «Процессы Леви - от вероятности к финансам и квантовым группам» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 51 (11): 1336–1347. ISSN 1088-9477 .
- Конт, Рама; Танков, Петр (2003). Финансовое моделирование с помощью скачкообразных процессов . CRC Press. ISBN 978-1584884132..
- Сато, Кен-Ити (2011). Процессы Леви и безгранично делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521553025..
- Киприану, Андреас Э. (2014). Колебания процессов Леви с приложениями. Вводные лекции. Издание второе . Springer. ISBN 978-3642376313..