Процесс Гаусса – Маркова - Gauss–Markov process

Случайные процессы Гаусса – Маркова (названные в честь Карла Фридриха Гаусса и Андрея Маркова ) - это случайные процессы, которые удовлетворяют требованиям как для гауссовских, так и для марковских процессов . Стационарный процесс Гаусса – Маркова уникален с точностью до масштабирования; такой процесс также известен как процесс Орнштейна – Уленбека .

Основные свойства

Каждый процесс Гаусса – Маркова X ( t ) обладает тремя следующими свойствами:

1. Если h ( t ) - ненулевая скалярная функция от t , то Z ( t ) = h ( t ) X ( t ) также является процессом Гаусса – Маркова.
2. Если f ( t ) - неубывающая скалярная функция от t , то Z ( t ) = X ( f ( t )) также является процессом Гаусса – Маркова.
3. Если процесс невырожденный и непрерывный в среднем квадратическом, то существуют ненулевая скалярная функция h ( t ) и строго возрастающая скалярная функция f ( t ) такие, что X ( t ) = h ( t ) W ( f ( t )), где W ( t ) - стандартный винеровский процесс .

Свойство (3) означает, что любой невырожденный среднеквадратичный непрерывный процесс Гаусса – Маркова может быть синтезирован из стандартного винеровского процесса (SWP).

Прочие свойства

Стационарный процесс Гаусса – Маркова с дисперсией и постоянной времени обладает следующими свойствами. ${\ displaystyle {\ textbf {E}} (X ^ {2} (t)) = \ sigma ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ beta ^ {- 1}}$

• Экспоненциальная автокорреляция :
  $${\ displaystyle {\ textbf {R}} _ {x} (\ tau) = \ sigma ^ {2} e ^ {- \ beta | \ tau |}.}$$

  
• Функция спектральной плотности мощности (СПМ), имеющая ту же форму, что и распределение Коши :
  $${\ displaystyle {\ textbf {S}} _ {x} (j \ omega) = {\ frac {2 \ sigma ^ {2} \ beta} {\ omega ^ {2} + \ beta ^ {2}}} .}$$

  
  (Обратите внимание, что распределение Коши и этот спектр различаются масштабными факторами.)
• Вышеупомянутое дает следующую спектральную факторизацию:
  $${\ displaystyle {\ textbf {S}} _ {x} (s) = {\ frac {2 \ sigma ^ {2} \ beta} {- s ^ {2} + \ beta ^ {2}}} = { \ frac {{\ sqrt {2 \ beta}} \, \ sigma} {(s + \ beta)}} \ cdot {\ frac {{\ sqrt {2 \ beta}} \, \ sigma} {(- s + \ бета)}}.}$$

  
  что важно в винеровской фильтрации и других областях.

Из всего вышеперечисленного также есть несколько банальных исключений.

Рекомендации