Гипотеза Оппермана - Oppermann's conjecture
 |
Нерешенная задача по математике : Каждая пара квадратного числа и пронического числа (оба больше единицы) разделены хотя бы одним простым числом?
(больше нерешенных задач по математике)
|
Гипотеза Оппермана - нерешенная проблема математики о распределении простых чисел . Она тесно связана с , но сильнее , чем гипотеза Лежандра , гипотезы Andrica в , и гипотеза брокара . Он назван в честь датского математика Людвига Оппермана , объявившего о нем в неопубликованной лекции в марте 1877 года.
утверждение
Гипотеза утверждает, что для любого целого числа x > 1 существует по крайней мере одно простое число между
- х ( х - 1) и х 2 ,
и хотя бы еще одно простое число между
- х 2 и х ( х + 1).
Это также можно сформулировать эквивалентно, как указание, что функция подсчета простых чисел должна принимать неравные значения в конечных точках каждого диапазона. То есть:
- π ( x 2 - x) < π ( x 2 ) < π ( x 2 + x ) для x > 1
где π ( x ) - количество простых чисел, меньших или равных x . Конечные точки этих двух диапазонов представляют собой квадрат между двумя проническими числами , причем каждое из пронических чисел является двойным парным треугольным числом . Сумма пары треугольных чисел и есть квадрат.
Последствия
Если предположение верно, то размер зазора будет порядка
- .
Это также означает, что между x 2 и ( x + 1) 2 будет как минимум два простых числа (одно в диапазоне от x 2 до x ( x + 1), а второе в диапазоне от x ( x + 1) до ( x + 1) 2 ), усиливая гипотезу Лежандра о том, что в этом диапазоне есть хотя бы одно простое число. Поскольку между любыми двумя нечетными простыми числами есть по крайней мере одно непростое число, это также подразумевает гипотезу Брокара о том, что существует по крайней мере четыре простых числа между квадратами последовательных нечетных простых чисел. Кроме того, это означало бы, что наибольшие возможные промежутки между двумя последовательными простыми числами могут быть не более чем пропорциональны удвоенному квадратному корню из чисел, как утверждает гипотеза Андрицы.
Гипотеза также подразумевает, что по крайней мере одно простое число можно найти в каждой четверти оборота спирали Улама .
Положение дел
Даже для малых значений x количество простых чисел в диапазонах, заданных гипотезой, намного больше 1, что дает веское доказательство того, что гипотеза верна. Однако по состоянию на 2015 год гипотеза Оппермана не была доказана.