Гипотеза Андрицы - Andrica's conjecture

(а) Функция для первых 100 простых чисел. ${\ displaystyle A_ {n}}$

(б) Функция для первых 200 простых чисел. ${\ displaystyle A_ {n}}$

(c) Функция для первых 500 простых чисел. ${\ displaystyle A_ {n}}$

Графическое доказательство гипотезы Андрицы для первых (а) 100, (б) 200 и (в) 500 простых чисел. Предполагается, что функция всегда меньше 1. ${\ displaystyle A_ {n}}$

Гипотеза Андрицы (названная в честь Дорина Андрица ) - это гипотеза о пробелах между простыми числами .

Гипотеза утверждает, что неравенство

${\ displaystyle {\ sqrt {p_ {n + 1}}} - {\ sqrt {p_ {n}}} <1}$

выполняется для всех , где - n- е простое число. Если обозначает n- ую пробел в простом числе , то гипотезу Андрицы также можно переписать в виде ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle g_ {n} = p_ {n + 1} -p_ {n}}$

${\ displaystyle g_ {n} <2 {\ sqrt {p_ {n}}} + 1.}$

Эмпирическое доказательство

Имран Гори использовал данные о наибольших разрывах между простыми числами, чтобы подтвердить гипотезу о величинах до 1,3002 × 10 ¹⁶ . Используя таблицу максимальных зазоров и указанное выше неравенство зазоров, значение подтверждения можно полностью расширить до 4 × 10 ¹⁸ . ${\ displaystyle n}$

Дискретная функция показана на рисунках напротив. Знаки высокой воды для происходят по п  = 1, 2 и 4, с A ₄ ≈ 0.670873 ..., без увеличения стоимости среди первых 10 ⁵ простых чисел. Поскольку функция Андрика убывает асимптотически при увеличении n , необходим пробел постоянно увеличивающегося размера, чтобы разница была больше, чем больше n . Поэтому представляется весьма вероятным, что эта гипотеза верна, хотя это еще не доказано. ${\ displaystyle A_ {n} = {\ sqrt {p_ {n + 1}}} - {\ sqrt {p_ {n}}}}$${\ displaystyle A_ {n}}$

Обобщения

Значение x в обобщенной гипотезе Андрицы для первых 100 простых чисел с пометкой предполагаемого значения x _min .

В качестве обобщения гипотезы Андрицы было рассмотрено следующее уравнение:

${\ displaystyle p_ {n + 1} ^ {x} -p_ {n} ^ {x} = 1,}$

где есть п - е простого числа и х может быть любым положительным числом. ${\ displaystyle p_ {n}}$

Легко увидеть, что наибольшее возможное решение для x происходит для n = 1, когда x _max  = 1. Предполагается, что наименьшее решение для x будет x _min  ≈ 0,567148 ... (последовательность A038458 в OEIS ), которое имеет место для n  = 30.

Эта гипотеза также была сформулирована как неравенство , обобщенная гипотеза Андричи:

${\ displaystyle p_ {n + 1} ^ {x} -p_ {n} ^ {x} <1}$ за ${\ displaystyle x <x _ {\ min}.}$

Смотрите также

• Гипотеза Крамера
• Гипотеза Лежандра
• Гипотеза Фирозбахта

Ссылки и примечания

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . ISBN   978-0-387-20860-2 . Zbl   1058.11001 .

внешние ссылки

• Гипотеза Андрицы в PlanetMath
• Обобщенная гипотеза Андрицы в PlanetMath
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Андрицы" . MathWorld .