Логарифмическая форма - Logarithmic form

В контекстах, включая сложные многообразия и алгебраическую геометрию , логарифмическая дифференциальная форма является мероморфной дифференциальной формой с полюсами определенного типа. Эту концепцию представил Делинь .

Пусть X комплексное многообразие, D ⊂ X делителем , а со голоморфную р -форма на X - D . Если ω и d ω имеет полюс порядка не более одной вдоль D , то ω называется иметь логарифмический полюс вдоль D . ω также известна как логарифмическая p- форма. Логарифмические p -формы составляют подпучок мероморфных p -форм на X с полюсом вдоль D , обозначаемый

${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D).}$

В теории римановых поверхностей встречаются логарифмические одноформы, которые имеют локальное выражение

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {df} {f}} = \ left ({\ frac {m} {z}} + {\ frac {g '(z)} {g (z)}} \ right ) dz}$

для некоторой мероморфной функции (соответственно рациональной функции ) , где g голоморфна и не обращается в нуль в 0, а m - порядок f в 0 . То есть для некоторого открытого покрытия существуют локальные представления этой дифференциальной формы в виде логарифмической производной (слегка модифицированной внешней производной d вместо обычного дифференциального оператора d / dz ). Заметим, что у ω есть только простые полюсы с целыми вычетами. На многомерных комплексных многообразиях вычет Пуанкаре используется для описания отличительного поведения логарифмических форм вдоль полюсов. ${\ Displaystyle е (г) = г ^ {м} г (г)}$

Голоморфный бревенчатый комплекс

По определению и тому факту, что внешнее дифференцирование d удовлетворяет d ² = 0, имеем ${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D)}$

${\ Displaystyle d \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D) (U) \ subset \ Omega _ {X} ^ {p + 1} (\ log D) (U)}$.

Это означает , что существует комплекс пучков , известные как голоморфному лог комплекс , соответствующий делитель D . Это подкомплекс , где это включение , и представляет собой комплекс пучков голоморфных форм на X - D . ${\ displaystyle (\ Omega _ {X} ^ {\ bullet} (\ log D), d)}$${\ displaystyle j _ {*} \ Omega _ {XD} ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle j: XD \ rightarrow X}$${\ displaystyle \ Omega _ {XD} ^ {\ bullet}}$

Особый интерес представляет случай, когда D имеет простые нормальные пересечения . Тогда , если есть гладкие, неприводимые компоненты D , один имеет с встречей в поперечном направлении. Локально D представляет собой объединение гиперплоскостей с локальными определяющими уравнениями вида в некоторых голоморфных координатах. Можно показать , что ножка на р удовлетворяет ${\ displaystyle \ {D _ {\ nu} \}}$${\ Displaystyle D = \ сумма D _ {\ nu}}$${\ displaystyle D _ {\ nu}}$${\ displaystyle z_ {1} \ cdots z_ {k} = 0}$${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1} (\ журнал D)}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1} (\ log D) _ {p} = {\ mathcal {O}} _ {X, p} {\ frac {dz_ {1}} {z_ {1} }} \ oplus \ cdots \ oplus {\ mathcal {O}} _ {X, p} {\ frac {dz_ {k}} {z_ {k}}} \ oplus {\ mathcal {O}} _ {X, p} dz_ {k + 1} \ oplus \ cdots \ oplus {\ mathcal {O}} _ {X, p} dz_ {n}}$

и это

${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {k} (\ log D) _ {p} = \ bigwedge _ {j = 1} ^ {k} \ Omega _ {X} ^ {1} (\ log D) _{п}}$.

Некоторые авторы, например, используют термин лог-комплекс для обозначения голоморфного лог-комплекса, соответствующего дивизору с нормальными пересечениями.

Пример многомерного

Рассмотрим эллиптическую кривую с проколом, заданную как геометрическое место D комплексных точек ( x , y ), удовлетворяющих условию где и - комплексное число. Тогда D - гладкая неприводимая гиперповерхность в C ² и, в частности, дивизор с простыми нормальными пересечениями. На C ² существует мероморфная двойная форма${\ Displaystyle г (х, у) = у ^ {2} -f (х) = 0,}$${\ Displaystyle е (х) = х (х-1) (х- \ лямбда)}$${\ displaystyle \ lambda \ neq 0,1}$

${\ displaystyle \ omega = {\ гидроразрыва {dx \ wedge dy} {g (x, y)}}}$

которая имеет простой полюс вдоль D . Пуанкаре остаток от со вдоль D задается голоморфному одной формы

${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {D} (\ omega) = \ left. {\ frac {dy} {\ partial g / \ partial x}} \ right | _ {D} = \ left.- {\ frac {dx} {\ partial g / \ partial y}} \ right | _ {D} = \ left .- {\ frac {1} {2}} {\ frac {dx} {y}} \ right | _ {D}.}$

Жизненно важным для теории вычетов логарифмических форм является последовательность Гизина , которая в некотором смысле является обобщением теоремы о вычетах для компактных римановых поверхностей. Это может быть использовано , чтобы показать, что , например, продолжается до голоморфной одной формы на проективное замыкание из D в P ² , гладкой эллиптической кривых. ${\ displaystyle dx / y | _ {D}}$

Теория Ходжа

Голоморфный лог-комплекс может быть применен к теории Ходжа комплексных алгебраических многообразий. Пусть X - комплексное алгебраическое многообразие и хорошая компактификация. Это означает, что Y - компактное алгебраическое многообразие, а D = Y - X - дивизор на Y с простыми нормальными пересечениями. Естественное включение комплексов пучков ${\ displaystyle j: X \ hookrightarrow Y}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {Y} ^ {\ bullet} (\ log D) \ rightarrow j _ {*} \ Omega _ {X} ^ {\ bullet}}$

оказывается квазиизоморфизмом. Таким образом

${\ displaystyle H ^ {k} (X; \ mathbf {C}) = \ mathbb {H} ^ {k} (Y, \ Omega _ {Y} ^ {\ bullet} (\ log D))}$

где обозначает гиперкогомологии комплекса абелевых пучков. Имеется убывающая фильтрация, определяемая выражением ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {\ bullet}}$${\ Displaystyle W _ {\ bullet} \ Omega _ {Y} ^ {p} (\ log D)}$

${\ Displaystyle W_ {m} \ Omega _ {Y} ^ {p} (\ log D) = {\ begin {cases} 0 & m <0 \\\ Omega _ {Y} ^ {p} (\ log D) & m \ geq p \\\ Omega _ {Y} ^ {pm} \ wedge \ Omega _ {Y} ^ {m} (\ log D) & 0 \ leq m \ leq p \ end {cases}}}$

который, наряду с тривиальной возрастающей фильтрацией на логарифмических p -формах, дает фильтрации на когомологиях ${\ Displaystyle F ^ {\ bullet} \ Omega _ {Y} ^ {p} (\ log D)}$

${\ displaystyle W_ {m} H ^ {k} (X; \ mathbf {C}) = {\ text {Im}} (\ mathbb {H} ^ {k} (Y, W_ {mk} \ Omega _ { Y} ^ {\ bullet} (\ log D)) \ rightarrow H ^ {k} (X; \ mathbf {C}))}$

${\ displaystyle F ^ {p} H ^ {k} (X; \ mathbf {C}) = {\ text {Im}} (\ mathbb {H} ^ {k} (Y, F ^ {p} \ Omega _ {Y} ^ {\ bullet} (\ log D)) \ rightarrow H ^ {k} (X; \ mathbf {C}))}$.

Один показывает , что на самом деле может быть определена над Q . Тогда фильтрации на когомологиях порождают смешанную структуру Ходжа на . ${\ displaystyle W_ {m} H ^ {k} (X; \ mathbf {C})}$${\ displaystyle W _ {\ bullet}, F ^ {\ bullet}}$${\ Displaystyle Н ^ {к} (Х; \ mathbf {Z})}$

Классически, например в теории эллиптических функций , логарифмические дифференциальные формы признавались дополнительными к дифференциалам первого рода . Иногда их называли дифференциалами второго рода (а иногда, с досадной непоследовательностью, и третьего рода ). Классическая теория теперь считается одним из аспектов теории Ходжа. Для римановой поверхности S , например, дифференциалы первого рода учитывают член H ^1,0 в H ¹ ( S ), когда изоморфизм Дольбо интерпретируется как группа когомологий пучка H ⁰ ( S , Ω) ; это тавтологично, учитывая их определение. Н ^1,0 прямое слагаемое в H ¹ ( S ), а также интерпретируется как H ¹ ( S , О) , где О есть пучок голоморфных функций на S , может быть определен более конкретно с векторным пространством логарифмических дифференциалов .

Связка логарифмических форм

В алгебраической геометрии , то пучок из логарифмических дифференциального р - форм на гладком проективное многообразие X вдоль гладкий делитель определен и вписывается в точную последовательность локально свободных пучки: ${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D)}$ ${\ Displaystyle D = \ сумма D_ {j}}$

${\ displaystyle 0 \ to \ Omega _ {X} ^ {p} \ to \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D) {\ overset {\ beta} {\ to}} \ oplus _ {j } {i_ {j}} _ {*} \ Omega _ {D_ {j}} ^ {p-1} \ to 0, \, p \ geq 1}$

где - включения неприводимых дивизоров (и прямые вдоль них продолжаются нулем), а β называется отображением вычетов, когда p равно 1. ${\ displaystyle i_ {j}: D_ {j} \ to X}$

Например, если x - замкнутая точка на, а не на , то ${\ Displaystyle D_ {j}, 1 \ leq j \ leq k}$${\ displaystyle D_ {j}, j> k}$

${\ displaystyle {du_ {1} \ over u_ {1}}, \ dots, {du_ {k} \ over u_ {k}}, \, du_ {k + 1}, \ dots, du_ {n}}$

образуют основу в точке x , где - локальные координаты вокруг x , являющиеся локальными параметрами для . ${\ Displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1} (\ журнал D)}$${\ displaystyle u_ {j}}$${\ Displaystyle и_ {j}, 1 \ leq j \ leq k}$${\ Displaystyle D_ {j}, 1 \ leq j \ leq k}$

Смотрите также

• Формула присоединения
• Гомологии Бореля – Мура
• Дифференциал первого рода
• Теорема об остатке
• Остаток Пуанкаре

Рекомендации

• Айз Йохан де Йонг, Алгебраические когомологии де Рама .
• Пьер Делинь , Дифференциальные уравнения в точках, регулирующих сингулярность. Конспект лекций по математике. 163.