Лог-полярные координаты - Log-polar coordinates

В математике , лог-полярные координаты (или логарифмические полярные координаты ) представляют собой систему координат в двух измерениях, где точка идентифицируются два числами, один для логарифма расстояния до определенной точки, и один для угла . Лог-полярные координаты тесно связаны с полярными координатами , которые обычно используются для описания областей на плоскости с некоторой вращательной симметрией . В таких областях, как гармонический и комплексный анализ , лог-полярные координаты более каноничны, чем полярные.

Определение и преобразования координат

Лог-полярные координаты на плоскости состоят из пары действительных чисел (ρ, θ), где ρ - логарифм расстояния между данной точкой и началом координат, а θ - угол между линией отсчета ( осью x ) и линия, проходящая через начало координат и точку. Угловая координата такая же, как и для полярных координат, а радиальная координата преобразуется по правилу

${\ Displaystyle г = е ^ {\ rho}}$.

где - расстояние до начала координат. Формулы для преобразования декартовых координат в лог-полярные координаты имеют вид ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ rho = \ log {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \\\ theta = \ arctan y / x {\ hbox {if}} x > 0. \ end {case}}}$

а формулы для преобразования лог-полярных координат в декартовы имеют вид

${\ displaystyle {\ begin {cases} x = e ^ {\ rho} \ cos \ theta, \\ y = e ^ {\ rho} \ sin \ theta. \ end {cases}}}$

Используя комплексные числа ( x ,  y ) =  x  +  iy , последнее преобразование можно записать как

${\ Displaystyle х + iy = е ^ {\ rho + я \ тета}}$

т.е. комплексная экспоненциальная функция. Из этого следует, что основные уравнения в гармоническом и комплексном анализе будут иметь такую ​​же простую форму, что и в декартовых координатах. Это не относится к полярным координатам.

Некоторые важные уравнения в лог-полярных координатах

Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа в двух измерениях дается выражением

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} = 0 }$

в декартовых координатах. Запись того же уравнения в полярных координатах дает более сложное уравнение

${\ displaystyle r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {\ partial ^ {2} u } {\ partial \ theta ^ {2}}} = 0}$

или эквивалентно

${\ displaystyle \ left (r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) ^ {2} u + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial \ theta ^ {2}} } = 0}$

Однако из соотношения следует, что так уравнение Лапласа в лог-полярных координатах, ${\ Displaystyle г = е ^ {\ rho}}$${\ displaystyle r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial \ rho ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial \ theta ^ {2}}} = 0}$

имеет то же простое выражение, что и в декартовых координатах. Это верно для всех систем координат, в которых преобразование в декартовы координаты осуществляется конформным отображением . Таким образом, при рассмотрении уравнения Лапласа для части плоскости с вращательной симметрией, например кругового диска, лог-полярные координаты являются естественным выбором.

Уравнения Коши – Римана

Аналогичная ситуация возникает при рассмотрении аналитических функций . Аналитическая функция, записанная в декартовых координатах, удовлетворяет уравнениям Коши – Римана: ${\ Displaystyle f (x, y) = u (x, y) + iv (x, y)}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial v} {\ partial y}}, \ \ \ \ \ \ {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial v} {\ partial x}}}$

Если вместо этого функция выражается в полярной форме , уравнения Коши – Римана принимают более сложный вид ${\ Displaystyle f (re ^ {я \ theta}) = Re ^ {я \ Phi}}$

${\ displaystyle r {\ frac {\ partial \ log R} {\ partial r}} = {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ theta}}, \ \ \ \ \ \ \ {\ frac {\ partial \ log R} {\ partial \ theta}} = - r {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial r}},}$

Как и в случае с уравнением Лапласа, простая форма декартовых координат восстанавливается путем преобразования полярных координат в логополярные (let ): ${\ Displaystyle P = \ log R}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial P} {\ partial \ rho}} = {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ theta}}, \ \ \ \ \ \ \ {\ frac {\ partial P} {\ partial \ theta}} = - {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ rho}}}$

Уравнения Коши – Римана также можно записать в одном уравнении в виде

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} + я {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right) f (x + iy) = 0}$

Выражая и через и, это уравнение можно записать в эквивалентной форме ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial y}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} + я {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) е (е ^ {\ rho + я \ тета }) = 0}$

Уравнение Эйлера

Когда кто-то хочет решить задачу Дирихле в области с вращательной симметрией, обычно нужно использовать метод разделения переменных для уравнений в частных производных для уравнения Лапласа в полярной форме. Это значит, что вы пишете . Затем уравнение Лапласа разделяется на два обыкновенных дифференциальных уравнения ${\ Displaystyle и (г, \ тета) = р (г) \ тета (\ тета)}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ Theta '' (\ theta) + \ nu ^ {2} \ Theta (\ theta) = 0 \\ r ^ {2} R '' (r) + rR '(r ) - \ nu ^ {2} R (r) = 0 \ end {case}}}$

где - константа. Первый из них имеет постоянные коэффициенты и легко решается. Второй - частный случай уравнения Эйлера ${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle r ^ {2} R '' (r) + crR '(r) + dR (r) = 0}$

где - константы. Это уравнение обычно решается анзацем , но с помощью лог-полярного радиуса его можно преобразовать в уравнение с постоянными коэффициентами: ${\ displaystyle c, d}$${\ Displaystyle R (г) = г ^ {\ лямбда}}$

${\ Displaystyle P '' (\ rho) + (c-1) P '(\ rho) + dP (\ rho) = 0}$

При рассмотрении уравнения Лапласа, и поэтому уравнение для принимает простую форму ${\ displaystyle c = 1}$${\ displaystyle d = - \ nu ^ {2}}$${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle P '' (\ rho) - \ nu ^ {2} P (\ rho) = 0}$

При решении задачи Дирихле в декартовых координатах это в точности уравнения для и . Таким образом, снова естественным выбором для домена с вращательной симметрией являются не полярные, а скорее лог-полярные координаты. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Дискретная геометрия

Дискретная система координат в круглом диске, заданная логополярными координатами ( n  = 25)

Дискретная система координат в круглом диске, которую легко выразить в логополярных координатах ( n  = 25)

Часть фрактала Мандельброта, демонстрирующая спиральное поведение

Чтобы решить УЧП численно в области, в этой области должна быть введена дискретная система координат. Если область имеет вращательную симметрию и вам нужна сетка, состоящая из прямоугольников, полярные координаты - плохой выбор, поскольку в центре круга они образуют треугольники, а не прямоугольники. Однако это можно исправить, введя лог-полярные координаты следующим образом. Разделите плоскость на сетку квадратов со стороной 2 / n , где n - положительное целое число. Используйте комплексную экспоненциальную функцию, чтобы создать лог-полярную сетку на плоскости. Затем левая полуплоскость отображается на единичный диск с числом радиусов, равным  n . Вместо этого может быть даже более выгодно отобразить диагонали в этих квадратах, что дает дискретную систему координат в единичном диске, состоящем из спиралей, см. Рисунок справа. ${\ displaystyle \ pi}$

Оператор Дирихле-Неймана

Последняя система координат подходит, например, для решения задач Дирихле и Неймана. Если дискретная система координат интерпретируется как неориентированный граф в единичном диске, ее можно рассматривать как модель для электрической сети. Каждому отрезку линии на графике соответствует проводимость, заданная функцией . Затем электрическая сеть будет служить дискретной моделью для задачи Дирихле в единичном диске, где уравнение Лапласа принимает форму закона Кирхгофа. В узлах на границе круга определяется электрический потенциал (данные Дирихле), который индуцирует электрический ток (данные Неймана) через граничные узлы. Линейный оператор преобразования данных Дирихле в данные Неймана называется оператором Дирихле-Неймана и зависит от топологии и проводимости сети. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Lambda _ {\ gamma}}$

В случае непрерывного диска следует, что если проводимость однородна, скажем везде, то оператор Дирихле-Неймана удовлетворяет следующему уравнению ${\ displaystyle \ gamma = 1}$

${\ displaystyle \ Lambda _ {\ gamma} ^ {2} + {\ frac {\ partial ^ {2} \} {\ partial \ theta ^ {2}}} = 0}$

Чтобы получить хорошую дискретную модель задачи Дирихле, было бы полезно найти граф в единичном круге, чей (дискретный) оператор Дирихле-Неймана обладает тем же свойством. Несмотря на то, что полярные координаты не дают нам никакого ответа, это приблизительно / асимптотически, что нам дает вращательно-симметричная сеть, заданная логополярными координатами.

Анализ изображений

Уже в конце 1970-х годов приложения для дискретной спиральной системы координат были даны в анализе изображений. Представление изображения в этой системе координат, а не в декартовой системе координат, дает вычислительные преимущества при повороте или масштабировании изображения. Кроме того, фоторецепторы в сетчатке глаза человека распределены таким образом, чтобы иметь большое сходство со спиральной системой координат. Его также можно найти во фрактале Мандельброта (см. Рисунок справа).

Лог-полярные координаты также можно использовать для построения быстрых методов преобразования Радона и его обратного.

Смотрите также

• Полярные координаты
• Декартовы координаты
• Цилиндрические координаты
• Сферические координаты

внешняя ссылка

• Сайт неньютоновского исчисления

Ссылки