Пространство Линделёфа - Lindelöf space

В математике , линделёфовый является топологическим пространством , в котором каждое открытом покрытии имеет счетное подпокрытие. Свойство Линделёфа является ослаблением более широко используемого понятия компактности , которое требует существования конечного подпокрытия.

Наследственно линделёфовый топологическое пространство такие , что каждое подпространство линделёфово. Такое пространство иногда называют сильно Линделёфом , но сбивает с толку тот факт, что терминология иногда используется в совершенно другом значении. Термин « наследственно Линделёф» более распространен и однозначен.

Пространства Линделёфа названы в честь финского математика Эрнста Леонарда Линделёфа .

Свойства пространств Линделёфа

  • Любое компактное пространство и вообще каждое σ-компактное пространство является линделёфским. В частности, каждое счетное пространство линделёфское.
  • Пространство Линделёфа компактно тогда и только тогда, когда оно счетно компактно .
  • Каждое счетное пространство Линделёфа, но не наоборот. Например, есть много компактных пространств, которые не являются вторыми счетными.
  • Метрическое пространство линделёфово тогда и только тогда , когда оно отделимо , а если и только если она является вторым счетной .
  • Каждое регулярное пространство Линделёфа нормально .
  • Каждое регулярное пространство Линделёфа паракомпактно .
  • Счетное объединение подпространств Линделёфа топологического пространства - это Линделёф.
  • Каждое замкнутое подпространство в пространстве Линделёфа линделёфское. Следовательно, любое множество F σ в пространстве Линделёфа является линделёфским.
  • Произвольные подпространства в пространстве Линделёфа не обязательно должны быть Линделёфскими.
  • Непрерывный образ пространства Линделёфа - это Линделёф.
  • Произведение пространства Линделёфа и компактного пространства есть Линделёф.
  • Произведение пространства Линделёфа и σ-компакта есть Линделёф. Это следствие предыдущего свойства.
  • Произведение двух пространств Линделёфа не обязательно должно быть Линделёфом. Например, линия Соргенфрея - это Линделёф, но плоскость Соргенфрея - это не Линделёф.
  • В пространстве Линделёфа любое локально конечное семейство непустых подмножеств не более чем счетно.

Свойства наследственно линейных пространств Линделёфа

  • Пространство наследственно линделёфское тогда и только тогда, когда каждое его открытое подпространство линделёфское.
  • Наследственно пространства Линделёфа замкнуты относительно счетных объединений, подпространств и непрерывных образов.
  • Регулярное пространство Линделёфа наследственно линделёфское тогда и только тогда, когда оно совершенно нормально .
  • Каждое второсчетное пространство наследственно линделёфское.
  • Каждое счетное пространство наследственно Линделёф.
  • Каждое пространство Суслина наследственно линделёфское.
  • Каждая мера Радона на наследственно линделёфском пространстве модерирована.

Пример: самолет Зоргенфри - это не Линделёф.

Продукт линделёфовых пространств не обязательно Линделёф. Обычным примером этого является плоскость Соргенфри , которая является произведением действительной прямой в топологии полуоткрытого интервала с самой собой. Открытые множества в плоскости Соргенфрея представляют собой соединения полуоткрытых прямоугольников, которые включают южные и западные края и опускают северные и восточные края, включая северо-западные, северо-восточные и юго-восточные углы. Антидиагональ из есть множество точек , такая , что .

Рассмотрим открытое покрытие из которых состоит из:

  1. Множество всех прямоугольников , лежащих на антидиагонали.
  2. Множество всех прямоугольников , лежащих на антидиагонали.

Здесь следует отметить, что каждая точка антидиагонали содержится ровно в одном наборе покрытия, поэтому все эти множества необходимы.

Другой способ увидеть, что это не Линделёф, - это заметить, что антидиагональ определяет замкнутое и несчетное дискретное подпространство . Это подпространство не является Линделёфом, и поэтому все пространство также не может быть Линделёфом (поскольку замкнутые подпространства пространств Линделёфа также являются Линделёфом).

Обобщение

Следующее определение обобщает определения компакта и Линделёфа: топологическое пространство является -компактным (или -Lindelöf ), где любой кардинал , если каждое открытое покрытие имеет подпокрытие мощности строго меньше, чем . Компактный тогда -компактный, и тогда Линделёф -компактный.

Степень Линделёфа или число Линделёфа - это наименьший кардинал, такой, что каждое открытое покрытие пространства имеет подпокрытие максимального размера . В этих обозначениях - это Линделёф, если . Число Линделёфа, как определено выше, не различает компактные пространства и некомпактные пространства Линделёфа. Некоторые авторы назвали число Линделёфа другому понятию: наименьший кардинал, такой, что каждое открытое покрытие пространства имеет дополнительное покрытие размером строго меньше, чем . В этом последнем (и менее используемом) смысле число Линделёфа является наименьшим кардиналом из таких, что топологическое пространство является -компактным. Это понятие иногда также называют степенью компактности пространства .

Смотрите также

Примечания

использованная литература