Разложение Леви - Levi decomposition
| Поле | Теория представлений |
|---|---|
| Предполагается |
Вильгельм убивает Эли Картана |
| Предполагается в | 1888 г. |
| Первое доказательство | Эухенио Элиа Леви |
| Первое доказательство в | 1905 г. |
В теории Ли и теории представлений , то разложение Леви , высказал гипотезу , по Wilhelm Killing и Эли Картана и доказал Эухенио Элиа Леви ( 1905 ), гласит , что любое конечномерное вещественное алгебра г является полупрямым произведением решаемой идеала и полупрост подалгебра . Один из них является его радикалом , максимальным разрешимым идеалом, а другой - полупростой подалгеброй, называемой подалгеброй Леви . Из разложения Леви следует, что любая конечномерная алгебра Ли является полупрямым произведением разрешимой алгебры Ли и полупростой алгебры Ли.
Когда рассматривается как фактор-алгебры г , эта полупростая алгебра Ли также называют фактором Леви из г . В определенной степени это разложение можно использовать для сведения задач о конечномерных алгебрах Ли и группах Ли к разделению задач об алгебрах Ли в этих двух специальных классах, разрешимых и полупростых.
Более того, Мальцев (1942) показал, что любые две подалгебры Леви сопряжены (внутренним) автоморфизмом вида
где z входит в нильрадикал ( теорема Леви – Мальцева ).
Аналогичный результат верен для ассоциативных алгебр и называется основной теоремой Веддерберна .
Расширения результатов
В теории представлений разложение Леви параболических подгрупп редуктивной группы необходимо для построения большого семейства так называемых параболически индуцированных представлений. Разложение Langlands небольшое уточнение разложения Леви для параболических подгрупп , используемых в данном контексте.
Аналогичные утверждения верны для односвязных групп Ли и, как показал Джордж Мостоу , для алгебраических алгебр Ли и односвязных алгебраических групп над полем нулевой характеристики .
Аналога разложения Леви для большинства бесконечномерных алгебр Ли не существует; например, аффинные алгебры Ли имеют радикал, состоящий из их центра, но не могут быть записаны как полупрямое произведение центра и другой алгебры Ли. Разложение Леви также не работает для конечномерных алгебр над полями положительной характеристики.
Смотрите также
использованная литература
- ^ Киллинг, W. (1888). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen" . Mathematische Annalen . 31 (2): 252–290. DOI : 10.1007 / BF01211904 .
- ^ Картан, Эли (1894), Sur la structure des groupes de преобразований finis et continus , Thesis, Nony
Список используемой литературы
- Джейкобсон, Натан (1979). Алгебры Ли . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0486638324 . OCLC 6499793 .
- Леви, Эухенио Элиа (1905), «Сулла, группа конечных и непрерывных» , Атти делла Реале Академия делле Scienze ди Турин. (на итальянском языке ), XL : 551-565, СУЛ 36.0217.02 , архивируются с оригинала на 5 марта 2009 Печатается в: Opere Vol. 1, Edizione Cremonese, Рим (1959), стр. 101.
- Мальцев, Анатолий И. (1942), "О представлении алгебры в виде прямой суммы радикала и полупростой подалгебры", Докл. Sci. УРСС , Новая серия, 36 : 42–45, MR 0007397 , Zbl 0060.08004 .
внешние ссылки
- А.И. Штерн (2001) [1994], "Разложение Леви-Мальцева" , Энциклопедия математики , EMS Press