Бесконечный продукт - Infinite product

В математике для последовательности комплексных чисел a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... бесконечное произведение

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ cdots}$

определяется , чтобы быть пределом из частичных произведений _{1 2} ... _п а п неограниченно возрастает. Говорят, что произведение сходится, если предел существует и не равен нулю. В противном случае говорят, что продукт расходится . Предел нуля рассматривается специально, чтобы получить результаты, аналогичные результатам для бесконечных сумм . Некоторые источники допускают сходимость к 0, если имеется только конечное число нулевых множителей и произведение ненулевых множителей не равно нулю, но для простоты мы не допустим этого здесь. Если продукт сходится, то предел последовательности _п а п неограниченно возрастает должен быть равен 1, в то время как обратное, вообще говоря, не верно.

Наиболее известными примерами бесконечных произведений являются, вероятно, некоторые из формул для π , такие как следующие два произведения, соответственно, Виете ( формула Вьете , первое опубликованное бесконечное произведение в математике) и Джона Уоллиса ( произведение Уоллиса ):

${\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} { 2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdot \; \ cdots}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ left ({\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ right) \ cdot \; \ cdots = \ prod _ {n = 1} ^ { \ infty} \ left ({\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} \ right).}$

Критерии сходимости

Произведение положительных действительных чисел

${\ Displaystyle \ prod _ {п = 1} ^ {\ infty} а_ {п}}$

сходится к ненулевому действительному числу тогда и только тогда, когда сумма

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} \ журнал (а_ {п})}$

сходится. Это позволяет переводить критерии сходимости для бесконечных сумм в критерии сходимости для бесконечных произведений. Же критерий относится к продуктам произвольных комплексных чисел ( в том числе и отрицательных чисел) , если логарифм понимаются как фиксированная ветвь логарифма , которая удовлетворяет условию Ln (1) = 0, при условии , что бесконечный расходится продукт , когда бесконечно много _п выходит за пределами область LN, тогда как конечное число таких в _п можно пренебречь в сумме.

Для произведений вещественных чисел, в которых каждое , записанное, например, как , где , границы ${\ Displaystyle а_ {п} \ geq 1}$${\ displaystyle a_ {n} = 1 + p_ {n}}$${\ displaystyle p_ {n} \ geq 0}$

${\ displaystyle 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} \ leq \ prod _ {n = 1} ^ {N} \ left (1 + p_ {n} \ right) \ leq \ ехр \ влево (\ сумма _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} \ right)}$

покажите, что бесконечное произведение сходится, если сходится бесконечная сумма p _n . Это основано на теореме о монотонной сходимости . Мы можем показать обратное, заметив, что если , то ${\ displaystyle p_ {n} \ to 0}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log (1 + p_ {n})} {p_ {n}}} = \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ журнал (1 + x)} {x}} = 1,}$

и из теста сравнения пределов следует, что две серии

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ log (1 + p_ {n}) \ quad {\ text {and}} \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n},}$

эквивалентны, что означает, что либо они сходятся, либо расходятся.

То же доказательство также показывает, что если для некоторых , то сходится к ненулевому числу тогда и только тогда, когда сходится. ${\ displaystyle a_ {n} = 1-q_ {n}}$${\ Displaystyle 0 \ Leq Q_ {п} <1}$${\ textstyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q_ {n})}$${\ textstyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} q_ {п}}$

Если ряд расходится до , то последовательность частичных произведений a _n сходится к нулю. Говорят, что бесконечное произведение расходится к нулю . ${\ textstyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} \ журнал (а_ {п})}$${\ displaystyle - \ infty}$

Для случая, когда у них есть произвольные знаки, сходимость суммы не гарантирует сходимость произведения . Например, если , то сходится, но расходится до нуля. Однако, если он сходится, то продукт сходится абсолютно, то есть факторы могут быть переставлены в любом порядке, не изменяя ни сходимость, ни предельное значение бесконечного продукта. Кроме того, если сходится, то сумма и произведение либо сходятся, либо расходятся. ${\ displaystyle p_ {n}}$${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n}}$${\ textstyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$${\ displaystyle p_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {\ sqrt {n}}}}$${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n}}$${\ textstyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | p_ {n} |}$${\ textstyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | p_ {n} | ^ {2}}$${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n}}$${\ textstyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$

Представление функций продукта

Одним из важных результатов, касающихся бесконечных произведений, является то, что каждая целая функция f ( z ) (то есть каждая функция, голоморфная на всей комплексной плоскости ) может быть разложена на бесконечное произведение целых функций, каждая из которых имеет не более одного корня. В общем, если f имеет корень порядка m в начале координат и другие комплексные корни в u ₁ , u ₂ , u ₃ , ... (перечисленные с кратностями, равными их порядкам), то

${\ displaystyle f (z) = z ^ {m} e ^ {\ phi (z)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {u_ {n) }}} \ right) \ exp \ left \ lbrace {\ frac {z} {u_ {n}}} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {z} {u_ {n}) }} \ right) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ left ({\ frac {z} {u_ {n}}} \ right) ^ {\ лямбда _ {n}} \ right \ rbrace}$

где λ _n - неотрицательные целые числа, которые могут быть выбраны так, чтобы произведение сходилось, и является некоторой целой функцией (что означает, что член перед произведением не будет иметь корней в комплексной плоскости). Вышеупомянутая факторизация не является единственной, так как она зависит от выбора значений для λ _n . Однако для большинства функций будет некоторое минимальное неотрицательное целое число p такое, что λ _n = p дает сходящееся произведение, называемое каноническим представлением произведения . Этот p называется рангом канонического произведения. В случае p = 0 это принимает вид ${\ Displaystyle \ фи (г)}$

${\ displaystyle f (z) = z ^ {m} e ^ {\ phi (z)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {u_ {n) }}}\верно).}$

Это можно рассматривать как обобщение основной теоремы алгебры , поскольку для многочленов произведение становится конечным и постоянным. ${\ Displaystyle \ фи (г)}$

В дополнение к этим примерам следует особо отметить следующие изображения:

Функция	Бесконечное представление продукта (я)	Заметки
Простой полюс	${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {c} {cz}} & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {{\ frac {1} {n}} \, \ left ({\ frac {z} {c}} \ right) ^ {n}} \\ {\ frac {1} {1-z}} & = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ слева (1 + z ^ {2 ^ {n}} \ right) \ end {выравнивается}}}$
Функция Sinc	${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ pi z} {\ pi z}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2}}} \ right)}$	Это связано с Эйлером . Формула Уоллиса для π - частный случай этого.
Взаимная гамма-функция	${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} & = ze ^ {\ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1+ {\ frac {z} {n}} \ right) e ^ {- {\ frac {z} {n}}} \\ & = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac { 1 + {\ frac {z} {n}}} {\ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {z}}} \ end {align}}}$	Schlömilch
Сигма-функция Вейерштрасса	${\ displaystyle \ sigma (z) = z \ prod _ {\ omega \ in \ Lambda _ {*}} \ left (1 - {\ frac {z} {\ omega}} \ right) e ^ {{\ frac {z ^ {2}} {2 \ omega ^ {2}}} + {\ frac {z} {\ omega}}}}$	Вот решетка без начала координат. ${\ displaystyle \ Lambda _ {*}}$
Символ Q-Pochhammer	${\ displaystyle (z; q) _ {\ infty} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1-zq ^ {n})}$	Широко используется в теории q-аналога . Функция Эйлера - частный случай.
Тета-функция Рамануджана	${\ displaystyle {\ begin {align} f (a, b) & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a ^ {\ frac {n (n + 1)} {2}} b ^ {\ frac {n (n-1)} {2}} \\ & = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1 + a ^ {n + 1} b ^ {n}) ( 1 + a ^ {n} b ^ {n + 1}) (1-a ^ {n + 1} b ^ {n + 1}) \ end {выровнено}}}$	Выражение тройного произведения Якоби , также используемое в выражении тета-функции Якоби
Дзета-функция Римана	${\ displaystyle \ zeta (z) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p_ {n} ^ {- z}}}}$	Здесь p n обозначает n- е простое число . Это частный случай произведения Эйлера .

Последнее из них не является представлением произведения того же типа, что обсуждалось выше, поскольку ζ не является целым. Скорее, приведенное выше представление произведения ζ ( z ) сходится точно при Re ( z )> 1, где это аналитическая функция. Используя методы аналитического продолжения , эту функцию можно однозначно расширить до аналитической функции (все еще обозначаемой ζ ( z )) на всей комплексной плоскости, за исключением точки z = 1, где она имеет простой полюс .

Смотрите также

• Бесконечные произведения в тригонометрии
• Бесконечная серия
• Непрерывная дробь
• Бесконечное выражение
• Итерированная бинарная операция

Рекомендации

• Кнопп, Конрад (1990). Теория и применение бесконечных рядов . Dover Publications . ISBN   978-0-486-66165-0 .
• Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Бостон: Макгроу Хилл . ISBN   0-07-054234-1 .
• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Dover Publications . ISBN   978-0-486-61272-0 .

Внешние ссылки

• Бесконечные продукты от Wolfram Math World
• Коллекция бесконечных продуктов - I
• Коллекция бесконечных продуктов - II