Модель Ходжкина – Хаксли - Hodgkin–Huxley model

Основные компоненты моделей типа Ходжкина – Хаксли. Модели типа Ходжкина – Хаксли представляют биофизические характеристики клеточных мембран. Липидный бислой представлен в виде емкости ( C _м ). Каналы для ионов по напряжению и утечки представлены нелинейными ( g _n ) и линейными ( g _L ) проводимостью соответственно. Электрохимические градиенты, управляющие потоком ионов, представлены батареями (E), а ионные насосы и теплообменники представлены источниками тока ( I _p ).

Модель Ходжкина-Хаксли , или модель на основе проводимости , представляет собой математическую модель, которая описывает, как потенциалы действия в нейронах инициируются и распространяются. Это набор нелинейных дифференциальных уравнений, который аппроксимирует электрические характеристики возбудимых клеток, таких как нейроны и сердечные миоциты . Это динамическая система с непрерывным временем .

Алан Ходжкин и Эндрю Хаксли описали модель в 1952 году, чтобы объяснить ионные механизмы, лежащие в основе инициирования и распространения потенциалов действия в гигантском аксоне кальмара . За эту работу они получили Нобелевскую премию по физиологии и медицине 1963 года .

Основные компоненты

Типичная модель Ходжкина-Хаксли рассматривает каждый компонент возбудимой клетки как электрический элемент (как показано на рисунке). Липидный бислой представлен в виде емкости (С _м ). Управляемые напряжением ионные каналы представлены электрическими проводимостью ( g _n , где n - конкретный ионный канал), которые зависят как от напряжения, так и от времени. Каналы утечки представлены линейной проводимостью ( g _L ). В электрохимических градиентах движущего поток ионов представлены источники напряжения ( Е _п ) , чьи напряжения определяются отношением внутри- и внеклеточных концентраций ионных частиц , представляющего интереса. Наконец, ионные насосы представлены источниками тока ( I _p ). Мембранный потенциал обозначается через V _м .

Математически ток, протекающий через липидный бислой, записывается как

{\ displaystyle I_ {c} = C_ {m} {\ frac {{\ mathrm {d}} V_ {m}} {{\ mathrm {d}} t}}}

а ток через данный ионный канал - произведение

{\ displaystyle I_ {i} = {g_ {i}} (V_ {m} -V_ {i}) \;}

где - потенциал обращения i-го ионного канала. Таким образом, для ячейки с натриевыми и калиевыми каналами полный ток через мембрану определяется выражением: ${\ displaystyle V_ {i}}$

{\ displaystyle I = C_ {m} {\ frac {{\ mathrm {d}} V_ {m}} {{\ mathrm {d}} t}} + g_ {K} (V_ {m} -V_ {K }) + g_ {Na} (V_ {m} -V_ {Na}) + g_ {l} (V_ {m} -V_ {l})}

где I - общий ток мембраны на единицу площади, C _m - емкость мембраны на единицу площади, g _K и g _Na - проводимость калия и натрия на единицу площади, соответственно, V _K и V _Na - потенциалы обращения калия и натрия. соответственно, а g _l и V _l - проводимость утечки на единицу площади и потенциал обращения утечки соответственно. Элементами этого уравнения, зависящими от времени, являются V _m , g _Na и g _K , где два последних проводимости также явно зависят от напряжения.

Характеристика ионного тока

В потенциалозависимых ионных каналах проводимость канала является функцией как времени, так и напряжения ( на рисунке), в то время как в каналах утечки является постоянной ( на рисунке). Ток, генерируемый ионными насосами, зависит от ионных частиц, характерных для этого насоса. В следующих разделах эти составы будут описаны более подробно. ${\ displaystyle g_ {l}}$ ${\ Displaystyle g_ {п} (т, В)}$ ${\ displaystyle g_ {l}}$ ${\ displaystyle g_ {L}}$

Управляемые по напряжению ионные каналы

Используя серию экспериментов по фиксации напряжения и варьируя внеклеточные концентрации натрия и калия, Ходжкин и Хаксли разработали модель, в которой свойства возбудимой клетки описываются набором четырех обыкновенных дифференциальных уравнений . Вместе с уравнением для полного тока, упомянутым выше, это:

{\ displaystyle I = C_ {m} {\ frac {{\ mathrm {d}} V_ {m}} {{\ mathrm {d}} t}} + {\ bar {g}} _ {\ text {K }} n ^ {4} (V_ {m} -V_ {K}) + {\ bar {g}} _ {\ text {Na}} m ^ {3} h (V_ {m} -V_ {Na} ) + {\ bar {g}} _ {l} (V_ {m} -V_ {l}),}

{\ displaystyle {\ frac {dn} {dt}} = \ alpha _ {n} (V_ {m}) (1-n) - \ beta _ {n} (V_ {m}) n}

{\ displaystyle {\ frac {dm} {dt}} = \ alpha _ {m} (V_ {m}) (1-m) - \ beta _ {m} (V_ {m}) m}

{\ displaystyle {\ frac {dh} {dt}} = \ alpha _ {h} (V_ {m}) (1-h) - \ beta _ {h} (V_ {m}) h}

где я это ток на единицу площади, а также и являются константы скорости я -го ионного канала, которые зависят от напряжения , но не время. - максимальное значение проводимости. n , m и h - безразмерные величины от 0 до 1, которые связаны с активацией калиевого канала, активацией натриевого канала и инактивацией натриевого канала соответственно. Для , и принять форму ${\ displaystyle \ alpha _ {я}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {я}}$ ${\ displaystyle {\ bar {g}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle р = (п, м, ч)}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {p}}$

{\ Displaystyle \ альфа _ {p} (V_ {m}) = p _ {\ infty} (V_ {m}) / \ tau _ {p}}

{\ displaystyle \ beta _ {p} (V_ {m}) = (1-p _ {\ infty} (V_ {m})) / \ tau _ {p}.}

${\ displaystyle p _ {\ infty}}$ и являются значениями установившегося состояния для активации и дезактивации, соответственно, и обычно представляются уравнениями Больцмана как функции от . В оригинальной статье Ходжкина и Хаксли функции и задаются формулами ${\ Displaystyle (1-р _ {\ infty})}$ ${\ displaystyle V_ {m}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$

{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} \ alpha _ {n} (V_ {m}) = {\ frac {0,01 (10 + V)} {\ exp {\ big (} {\ frac {10+) V} {10}} {\ big)} - 1}} & \ alpha _ {m} (V_ {m}) = {\ frac {0,1 (25 + V)} {\ exp {\ big (} {\ frac {25 + V} {10}} {\ big)} - 1}} & \ alpha _ {h} (V_ {m}) = 0,07 \ exp {\ bigg (} {\ frac {V} {20} } {\ bigg)} \\\ beta _ {n} (V_ {m}) = 0,125 \ exp {\ bigg (} {\ frac {V} {80}} {\ bigg)} & \ beta _ {m } (V_ {m}) = 4 \ exp {\ bigg (} {\ frac {V} {18}} {\ bigg)} & \ beta _ {h} (V_ {m}) = {\ frac {1 } {\ exp {\ big (} {\ frac {30 + V} {10}} {\ big)} + 1}} \ end {array}}}

где обозначает отрицательную деполяризацию в мВ. ${\ displaystyle V = V_ {rest} -V_ {m}}$

Хотя во многих современных программах модели типа Ходжкина – Хаксли обобщают и позволяют ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$

{\ displaystyle {\ frac {A_ {p} (V_ {m} -B_ {p})} {\ exp {\ big (} {\ frac {V_ {m} -B_ {p}} {C_ {p}) }} {\ big)} - D_ {p}}}}

Чтобы охарактеризовать каналы с ограничением по напряжению, уравнения соответствуют данным фиксации напряжения. Для вывода уравнений Ходжкина – Хаксли при ограничении напряжения см. Вкратце, когда мембранный потенциал поддерживается на постоянном значении (т.е. фиксируется по напряжению), для каждого значения мембранного потенциала нелинейные уравнения стробирования сводятся к уравнениям вида:

{\ displaystyle m (t) = m_ {0} - [(m_ {0} -m _ {\ infty}) (1-e ^ {- t / \ tau _ {m}})] \,}

{\ displaystyle h (t) = h_ {0} - [(h_ {0} -h _ {\ infty}) (1-e ^ {- t / \ tau _ {h}})] \,}

{\ displaystyle n (t) = n_ {0} - [(n_ {0} -n _ {\ infty}) (1-e ^ {- t / \ tau _ {n}})] \,}

Таким образом, для любого значения мембранного потенциала натриевые и калиевые токи можно описать как ${\ displaystyle V_ {m}}$

{\ displaystyle I _ {\ mathrm {Na}} (t) = {\ bar {g}} _ {\ mathrm {Na}} m (V_ {m}) ^ {3} h (V_ {m}) (V_ {m} -E _ {\ mathrm {Na}}),}

{\ displaystyle I _ {\ mathrm {K}} (t) = {\ bar {g}} _ {\ mathrm {K}} n (V_ {m}) ^ {4} (V_ {m} -E _ {\ mathrm {K}}).}

Чтобы прийти к полному решению для распространяющегося потенциала действия, нужно записать член тока I в левой части первого дифференциального уравнения через V , чтобы уравнение превратилось в уравнение только для напряжения. Связь между I и V может быть получена из теории кабеля и дается формулой

{\ displaystyle I = {\ frac {a} {2R}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial x ^ {2}}},}

где это радиус аксона , R представляет собой удельное сопротивление от аксоплазма , и х является положением вдоль нервного волокна. Подстановка этого выражения на I преобразует исходную систему уравнений в систему уравнений в частных производных , поскольку напряжение становится функцией как x, так и t .

Алгоритм Левенберга-Марквардт часто используется , чтобы соответствовать этим уравнениям для данных напряжения зажима.

В то время как в первоначальных экспериментах рассматривались только натриевые и калиевые каналы, модель Ходжкина-Хаксли также может быть расширена для учета других видов ионных каналов .

Каналы утечки

Каналы утечки учитывают естественную проницаемость мембраны для ионов и имеют форму уравнения для каналов, управляемых напряжением, где проводимость является константой. Таким образом, ток утечки из-за пассивных ионных каналов утечки в формализме Ходжкина-Хаксли равен . ${\ Displaystyle g_ {утечка}}$ ${\ Displaystyle I_ {l} = g_ {утечка} (V-V_ {утечка})}$

Насосы и теплообменники

Мембранный потенциал зависит от поддержания на нем градиентов ионной концентрации. Поддержание этих градиентов концентрации требует активного транспорта ионных частиц. Из них наиболее известны обменники натрий-калий и натрий-кальций. Некоторые из основных свойств обменника Na / Ca уже хорошо известны: стехиометрия обмена составляет 3 Na ⁺ : 1 Ca ^2+, а обменник является электрогенным и чувствительным к напряжению. Обменник Na / K также был подробно описан со стехиометрией 3 Na ⁺ : 2 K ⁺ .

Математические свойства

Модель Ходжкина-Хаксли можно рассматривать как дифференциальное уравнение системы с четырьмя переменными состояния , и , что изменение по времени . Систему сложно изучать, потому что это нелинейная система и не может быть решена аналитически. Однако для анализа системы доступно множество численных методов. Можно доказать, что существуют определенные свойства и общие закономерности, такие как предельные циклы . ${\ Displaystyle V_ {м} (т), п (т), м (т)}$ ${\ Displaystyle ч (т)}$ ${\ displaystyle t}$

Моделирование модели Ходжкина – Хаксли в фазовом пространстве в терминах напряжения v (t) и регулирующей переменной n (t) калия. Замкнутая кривая называется предельным циклом .

Центральный коллектор

Поскольку существует четыре переменных состояния, визуализировать путь в фазовом пространстве может быть сложно. Обычно выбираются две переменные, напряжение и переменная стробирования калия , что позволяет визуализировать предельный цикл . Однако нужно быть осторожным, потому что это специальный метод визуализации четырехмерной системы. Это не доказывает существования предельного цикла. ${\ Displaystyle V_ {m} (т)}$ ${\ Displaystyle п (т)}$

Лучшая проекция может быть построена на основе тщательного анализа якобиана системы, вычисленного в точке равновесия . В частности, собственные значения якобиана указывают на существование центрального многообразия . Точно так же собственные векторы якобиана показывают ориентацию центрального многообразия . Модель Ходжкина – Хаксли имеет два отрицательных собственных значения и два комплексных собственных значения с немного положительными действительными частями. Собственные векторы, связанные с двумя отрицательными собственными значениями, уменьшатся до нуля с увеличением времени t . Оставшиеся два комплексных собственных вектора определяют центральное многообразие. Другими словами, 4-мерная система коллапсирует на 2-мерную плоскость. Любое решение, начинающееся с центрального коллектора, будет распадаться по направлению к центральному коллектору. Кроме того, предельный цикл содержится на центральном многообразии.

Напряжение v ( t ) (в милливольтах) модели Ходжкина – Хаксли, построенное за 50 миллисекунд. Вводимый ток варьируется от -5 наноампер до 12 наноампер. График проходит через три стадии: стадию равновесия, стадию одиночного пика и стадию предельного цикла.

Бифуркации

Если введенный ток использовался в качестве параметра бифуркации , то модель Ходжкина – Хаксли претерпевает бифуркацию Хопфа . Как и в случае с большинством нейронных моделей, увеличение вводимого тока увеличит скорость возбуждения нейрона. Одним из следствий бифуркации Хопфа является минимальная скорость стрельбы. Это означает, что либо нейрон вообще не срабатывает (соответствует нулевой частоте), либо срабатывает с минимальной частотой срабатывания. Из-за принципа « все или ничего» не происходит плавного увеличения амплитуды потенциала действия , а скорее происходит внезапный «скачок» амплитуды. Получившийся переход известен как утка . ${\ displaystyle I}$

Улучшения и альтернативные модели

Модель Ходжкина – Хаксли считается одним из величайших достижений биофизики ХХ века. Тем не менее современные модели типа Ходжкина – Хаксли были расширены несколькими важными способами:

Дополнительные популяции ионных каналов были включены на основе экспериментальных данных.
Модель Ходжкина – Хаксли была модифицирована для включения теории переходного состояния и создания термодинамических моделей Ходжкина – Хаксли.
Модели часто включают очень сложные геометрические формы дендритов и аксонов , часто основанные на данных микроскопии.
Стохастические модели поведения ионных каналов, приводящие к стохастическим гибридным системам.
Модель Пуассона – Нернста – Планка (PNP) основана на приближении среднего поля ионных взаимодействий и континуальных описаниях концентрации и электростатического потенциала.

Также было разработано несколько упрощенных нейронных моделей (таких как модель ФитцХью – Нагумо ), облегчающих эффективное крупномасштабное моделирование групп нейронов, а также математическое понимание динамики генерации потенциала действия.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (апрель 1952 г.). «Токи, переносимые ионами натрия и калия через мембрану гигантского аксона Лолиго» . Журнал физиологии . 116 (4): 449–72. DOI : 10.1113 / jphysiol.1952.sp004717 . PMC 1392213 . PMID 14946713 .
Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (апрель 1952 г.). «Компоненты проводимости мембраны в гигантском аксоне Лолиго» . Журнал физиологии . 116 (4): 473–96. DOI : 10.1113 / jphysiol.1952.sp004718 . PMC 1392209 . PMID 14946714 .
Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (апрель 1952 г.). «Двойное влияние мембранного потенциала на проводимость натрия в гигантском аксоне Лолиго» . Журнал физиологии . 116 (4): 497–506. DOI : 10.1113 / jphysiol.1952.sp004719 . PMC 1392212 . PMID 14946715 .
Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф. (август 1952 г.). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению в нерве» . Журнал физиологии . 117 (4): 500–44. DOI : 10.1113 / jphysiol.1952.sp004764 . PMC 1392413 . PMID 12991237 .
Ходжкин А.Л., Хаксли А.Ф., Кац Б. (апрель 1952 г.). «Измерение вольт-амперных отношений в мембране гигантского аксона Лолиго» . Журнал физиологии . 116 (4): 424–48. DOI : 10.1113 / jphysiol.1952.sp004716 . PMC 1392219 . PMID 14946712 .

внешние ссылки

Интерактивное моделирование модели HH с помощью Javascript. Работает в любом браузере с поддержкой HTML5. Позволяет изменять параметры модели и тока впрыска.
Интерактивный Java-апплет модели HH Параметры модели могут быть изменены, а также возможны параметры возбуждения и построение графиков в фазовом пространстве всех переменных.
Прямая ссылка на модель Ходжкина – Хаксли и описание в базе данных биомоделей
Нейронные импульсы: потенциал действия в действии , Гаррет Неске, The Wolfram Demonstrations Project
Интерактивная модель Ходжкина – Хаксли от Шимона Марома, Демонстрационный проект Вольфрама
ModelDB База данных исходного кода вычислительной нейробиологии, содержащая 4 версии (в разных симуляторах) исходной модели Ходжкина-Хаксли и сотни моделей, которые применяют модель Ходжкина-Хаксли к другим каналам во многих типах электрически возбудимых клеток.
Несколько статей о стохастической версии модели и ее связи с оригинальной.

Languages

In other projects